12《二次函数》知识点梳理与总结

1、九年级二次函数知识梳理与总结考点1、二次函数的概念定义：一般地，如果yax2bxc(a,b,c是常数，a0)，那么y叫做x的二次函数.注意点：（1）二次函数是关于自变量x的二次式，二次项系数a必须为非零实数，即a0，而b、c为任意实数。（2）当b=c=0时，二次函数yax2是最简单的二次函数。（3）二次函数yax2bxc(a,b,c是常数，a0)自变量的取值为全体实数（ax2bxc为整式）典型例题：例1：函数y=（m2）xm222x1是二次函数，则m=例2：已知函数y=ax2bxc（其中a，b，c是常数），当a时，是二次函数；当a，b时，是一次函数；当a，b，c时，是正比例函数例3：函数y=（

2、mn）x2mxn是二次函数的条件是（）Am、n为常数，且m0Cm、n为常数，且n0Bm、n为常数，且mnDm、n可以为任何常数例4：下列函数中是二次函数的有（）11y=xx；y=3（x1）22；y=（x3）22x2；y=x2xA1个B2个C3个D4个考点2、三种函数解析式：（1）一般式：y=ax2+bx+c（a0），第1页共17页bb4acb2，对称轴：直线x=顶点坐标：()2a2a4a（2）顶点式：yaxh2k（a0），对称轴：直线x=h顶点坐标为（h,k）（3）交点式：y=a（x-x1）（x-x2）（a0）,对称轴:直线x=x1x22(其中x1、x2是二次函数与x轴的两个交点的横坐标).例

3、1：抛物线yx22x8的顶点坐标为；对称轴是。例2：二次函数y=-4（1+2x）（x-3）的一般形式是例3：已知函数ymx2(m2m)x2的图象关于y轴对称，则m_；例4：抛物线y=x2-4x+3与x轴的交点坐标是_.例5：把方程x（x+2）=5（x-2）化为一元二次方程的一般形式后a=(),b=(),c=()例6：考点3、用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：yax2bxc.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式.（2）顶点式：yaxh2k.已知图像的顶点或对称轴或最值，通常选择顶点式.第2页共17页（3）交点式：已知图像与x轴的交点坐标x、x，通常选用交点式：yaxx121x

4、x.2例1：一个二次函数的图象顶点坐标为（-5，1），形状与抛物线y=2x2相同，这个函数解析式为_例2：已知抛物线的顶点坐标是（2，1），且过点（1，2），求抛物线的解析式。例3：已知二次函数的图像经过（0，1），（2，1）和（3，4），求该二次函数的解析式。例4：已知二次函数的图像与x轴的2个交点为（1，0），（2，0），并且过（3，4），求该二次函数的解析式。考点4.二次函数的图象1、二次函数yax2bxc的图像是对称轴平行于（包括重合）y轴的抛物线.2、二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：yax2；yax2k；yaxh2；yaxh2k；yax2bxc.注：二次函数的图象可以通过抛

5、物线的平移得到3、二次函数yax2bxc的图像的画法因为二次函数的图像是抛物线，是轴对称图形，所以作图时步骤是：(1)先找出顶点坐标，画出对称轴；(2)找出抛物线上关于对称轴的四个点(如与坐标轴的交点等)；(3)把上述五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来.典型例题：例1：函数y=x2的顶点坐标为若点（a，4）在其图象上，则a的值是例2：若点A（3，m）是抛物线y=x2上一点，则m=例3：函数y=x2与y=x2的图象关于对称，也可以认为y=x2，是函数y=x2的图象绕旋转得到例4：若二次函数y=ax2（a0），图象过点P（2，8），则函数表达式为第3页共17页例6：点A（，b）是抛物线y=x

6、2上的一点，则b=；点A关于y轴的对称点B是，它在函例5：函数y=x2的图象的对称轴为，与对称轴的交点为，是函数的顶点12数上；点A关于原点的对称点C是，它在函数上例7：若a1，点（a1，y）、（a，y）、（a1，y）都在函数y=x2的图象上，判断y、y、y的大小关系？123123例8：如图，A、B分别为y=x2上两点，且线段ABy轴，若AB=6，则直线AB的表达式为（Ay=3By=6Cy=9Dy=36）考点5.二次函数的性质函数解析式开口方向对称轴顶点坐标yax2x0（y轴）（0,0）yax2kx0（y轴）(0,k)yaxh2当a0时开口向上xh(h,0)yaxh2k当a0时yax2bxcx

7、bb4acb22a(2a4a)开口向下xh(h,k)，注：常用性质：1、开口方向：当a0时，函数开口方向向上；当a0时，在对称轴左侧，y随着x的增大而减少；在对称轴右侧，y随着x的增大而增大；当a0时，函数有最小值，并且当x=b2a，y最小4acb24a当a0时，当x为何值时，y=0；当x为何值时，y0时，函数开口方向向上；当a0，b0，c=0B.a0，b0，c=0C.a0，b0，c0，b0，c=0例2：在同一直角坐标系中，直线y=ax+b和抛物线的图象只可能是图中的（）第7页共17页例3：在同一直角坐标系中，函数的图象只可能是图中的（）例4：（2009年贵州黔东南州）抛物线的图象如图所示，根

8、据图象可知，抛物线的解析式可能是（）A、y=x2-x-2B、y=11x2122C、y=11x2x1D、y=x2x222（例5：2009年齐齐哈尔市）已知二次函数yax2bxc(a0)的图象如图所示，则下列结论：ac0；方程ax2bxc0的两根之和大于0；y随x的增大而增大；abc0，其中正确的个数（）A4个yB3个C2个D1个O1x第8页共17页（例6：2009丽水市）已知二次函数yax2bxc(a0)的图象如图所示，给出以下结论：a0.该函数的图象关于直线x1对称.当x1或x3时，函数y的值都等于0.其中正确结论的个数是（）A3B2C1D0Oyaxyax2k向上（k0）向下（k0）向下（k0

9、时，抛物线有最低点，函数有最小值，当x=，y最小1、b2a4acb24a当a0)时，方程ax2bxc0有两个不相等的实数根，即抛物线yax2bxc与x轴有两个不同的交点。当0时，方程ax2bxc0有两个相等的实数根，即抛物线yax2bxc与x轴有一个交点。当0)=b2-4acy=ax2+bx+cax2+bx+c=0ax2+bx+c0ax2+bx+c0yx1，2=b2a(-,x1)(x2,+（x1,x2）o（x1x2）)xy=0bbox1=x2=-2axx-2axy0y=0y0？例2：已知二次函数yx2(2m+1)xm2的图象与x轴有两个交点求m的取值范围；当这两个交点的横坐标的平方和为7时，求

10、m的值设二次函数yx2(2m+1)xm2的图象与x轴有两个交点为（x1，0），（x2，0），例3：已知抛物线yax2bxc的图象如图所示，则方程ax2bxc-3=0的根的情况是例4:已知抛物线y=x22x3，求抛物线与x轴的交点坐标；利用图象说明，当x为何值时，y0？，y=0？,y0？例5：已知二次函数ykx27x7的图象和x轴有两交点，则k的取值范围是例6：已知二次函数yax2+bx+c的图象如图所示，则：这个二次函数的解析式为；当x时，y3当x时，y0；当x时，y0例7：观察右图二次函数yx2mx4的图象回答：方程x2mx40的解是；不等式x2mx40的解集是，不等式x2mx40的解集是考

11、点14、二次函数的应用第14页共17页1、理论应用（基本性质的考查：解析式、图象、性质等）2、实际应用（求最值、最大利润、最大面积等）3、跨学科综合题（动点问题、存在性问题、探索性问题等）典型例题：例1:如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50m长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设它的长度为xm.(1)要使鸡场面积最大，鸡场的长度应为多少m？(2)如果中间有n(n是大于1的整数)道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，鸡场的长应为多少m？比较(1)(2)的结果，你能得到什么结论？x.例2:当运动中的汽车撞到物体时，汽车所受到的损坏程度可以用“撞击影响”来衡量某型汽车的撞击影响可以用公

12、式I=2v2来表示，其中v(千米/分)表示汽车的速度;(1)列表表示I与v的关系.(2)当汽车的速度扩大为原来的2倍时，撞击影响扩大为原来的多少倍？例3:(3).如图7，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈.已知篮圈中心到地面的距离为3.05米.(1)建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的表达式;(2)该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少.第15页共17页y(0,3.5)3.05mOx4m例4:某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可售出100件。现在他采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每提高1元，其销售量就要减少10件，如果他每天所赚利润为y元，试求出y与售出价x之间的函数关系式。(5).已知抛物线交于A、B两点，已知A点的横坐标是3，求A、B两点的坐标及抛物线的关系式。例5:某地解放大桥拱形钢梁呈抛物线状，拱顶A离桥面50m，桥面上拱形钢梁之间距离BC=120m，建立如图所示的直角坐标系。（1）写出A、B、C三点的坐标；（2）求该抛物线的解析式。例6:.某商场以每件20元的价格购进一种商品，试销中