信息分析方法-指数平滑法

1、第四节指数平滑法指数平滑法是在移动平均法基础上发展而来的一种时间序列分析预测法，它是通过计算 指数平滑值，配合一定的时间序列预测模型，对现象的未来进行预测。它既可用于市场趋势 变动预测，也可用于市场季节变动预测。在市场趋势变动预测中，根据平滑次数不同，指数 平滑法又可分为一次指数平滑法、二次指数平滑法、三次指数平滑法。一、一次指数平滑法一次指数平滑法，是指根据本期观察和上期一次指数平滑值，计算其加权平均值，并 将其作为下期预测值的方法。它仅适用于各期数据大体呈水平趋势变动的时间序列的分析 预测，并且仅能向下作一期预测。（一）平滑公式和预测模型设时间序列各期观察值为Y1、，Y”则一次指数平滑公式

2、为S（i）=以 Y + （1 -以）S（i）（7-16） TOC o 1-5 h z ttt-1式中：S.为第t期的一次指数平滑值；a为平滑系数，且0a V1； Yt为第t期的观察值。将第t期的一次指数平滑值S：)作为第t+1期的预测值Yt+1，即Y = S (7-17)t+1t为进一步说明指数平滑法的实质，现将(7-16 )式展开。由于S(1)=以 Y + (1 -以)S(1) ttt -1S(1)= a Y+ (1 - a )S(1)t-1t-1t-2S(1)= a Y. + (1 - a )S(1)所以 Y =a Y + (1 - a )S d)=a Y + (1 - a ) a Y +

3、 (1 - a )S tt-1t-2=aY + a (1 - a )Y , + a (1 - a )t-1 Y, + (1 - a )t S (1)=af (1 -a)jY + + (1 -a)tS(7-18)j = 0由于0a 1,当tf8时，(1-a )tf 0,于是将(7-27)式改写为- v，一 .一、Y = aZ (1 -a)jY(7-19)j=0由于aZ(1-a )j = 1，各期权数由近及远依指数规律变化，且又具有平滑数据功能， j=0指数平滑法由此而得名。(二)平滑系数a的选择平滑系数的选择，既是指数平滑法的灵活性所在，又是运用指数平滑法的难点之一，迄 今仍没有从理论上完全解决

4、，它的确定带有一定的经验性。由(7-19)式知，平滑系数a反映了历史各期数据对预测值影响作用大小。a值愈大，各 期历史数据的影响作用由近及远愈迅速衰减；a值愈小，各期历史数据的影响作用由近及远 愈缓慢减弱。由(7-19)推知Y = S(i)，则有t t-1Y =a Y +(1-a 泞(7-20)或者Y = Y +a (Y -Y )(7-21)t+1tt t从(7-20)可以看出，第t+1期的预测值等于第t期的观察值与预测值的加权平均数。a 值的大小反映了第t期观察值和预测值在第t+1期预测值中所占的比重。a值愈大，第t 期的观察值所占比重愈大，同期的预测值所占比重愈小，反之亦然。换言之，a值的

5、大小， 体现了预测模型对时间序列实际观察值的反应速度。a值愈大，预测模型灵敏度愈高，愈能 跟上实际观察值的变化。从(7-21)可以看出，第t+1期的预测值等于第t期的预测值加上该期的修正预测误差。 a值决定修正预测误差的幅度。a值愈大，修正幅度愈大；a值愈小，修正幅度愈小。基于上述分析，平滑系数可根据时间序列数据的波动状况作如下选择：第一，若时间序列数据不规则波动较大，a宜取较大值(如0.60.9)，以加大近期数 据的比重，提高修正误差的幅度，使预测模型能迅速跟上实际观察值的变化。第二，若时间序列数据不规则变动较小，a宜取较小值(如0.10.3)，使各期数据权 数由近及远缓慢变小，减小修正误差

6、的幅度，预测模型不易受不规则变动的影响。在实际应用中，对于特定的时间序列，往往同时选用n个不同的a值进行试算，最终选 择使均方误差(MSE)较小的哪个a值用于预测。平滑初始值S ；1)的确定在次指数平滑法中，只有首先确定了一次指数平滑初始值S01)后，才能计算第一期的一次指数平滑值S(1)和递推计算第t期的一次指数平滑值S：)。但由(7-18)式知，S01)的系S：)对第t+1期的预数是(1-a )t由于1-a 0，当时间序列项数n较少(即t值较小)时， 测值影响较大；当时间序列项数n较多(即t值很大)时，S01)对第t+ 1期的预测值影响很 小。因此，一次指数平滑初始值S通常可采用如下方法加

7、以确定:0S(1)= Y1 + Y2+ Y303(n330)(n30)指数平滑法的EViews软件实现指数平滑的操作有三种方式可供选择:一是，利用命令smooth。即在主窗口命令行输入Smooth y表示对时间序列y进行指数平滑。二是，在主窗口点击 Quick/Series Statistic/Exponential Smoothing0三是，在序列对象窗口中点击Procs/Exponential Smoothing；上述三种方式都会得到相同的对话窗口。在这个对话窗口中有一系列的选项，包括：平 滑方法(Smoothing Method )；平滑后生成的序列名称(Smoothed Series

8、)；平滑系数 (Smoothing Parameter)；样本范围(Estimation Sample )；季节波动的周期(Cycle of Seasonal)0对话窗口的左上部分是平滑方法(Smoothing Method)，包括：一次指数平滑二次指数平滑霍特-温特斯无季节模型(即线性平滑模型)霍特-温特斯季节迭加模型霍特-温特斯季节乘法模型SingleDoubleHoltel-Winters-No seasonalHoltel-Wintesr-AdditiveHoltel-Wintesr-Multiplicative对话窗口的左下部分是平滑系数(SmoothingParameter)o包括

9、：Alpha(a ),Beta(0 ) 和Gamma(y )。平滑系数可以由用户指定，也可以由系统自动确定。如果由用户指定，可以 在这三个系数后的对话框中，将E改为需要的数。注意，若选用Single或Double方法只需 输入 Alpha(a )的值；选用 Holtel-Winter-No seasonal 方法要输入 Alpha(a )和 Beta(0 ) 的值；选用 Holtel-Winter-Additive 和 Holtel-Winter-Multiplicative 方法，需输入三 个平滑系数的值。如果平滑系数由系统自动确定，则不需要输入任何数字。平滑生成序列(Smoothed Se

10、ries)的名称可以由用户命名，也可以由系统指定。系统 自动指定的名称为在原序列名(如y)之后加SM(即ySM)指数平滑法可以由EViews软件来 实现，下面将并通过例题予以说明。【例9】某地区A商品近年来的销售量数据见表7-11第(2)栏，试用一次指数平滑法 预测其2006年的销售量。表7-11 某地区A商品销售量一次指数平滑值计算表单位：百件年份t销售量Yta =0.3a =0.6a =0.9StAYt人、(Y - Y)2 ttAYt人、(Y - Y)2 ttAYt人、(Y - Y)2(甲)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)1110.671998111431120.37111

11、0.671045.231110.671045.231110.671999210581101.661120.373889.891130.075193.801139.772000311311110.461101.66860.941086.831951.241066.182001410571094.421110.462858.061113.333173.171124.522002511921123.701094.429521.361079.5312648.971063.752003610991116.291123.70609.881147.012305.241179.182004710941109.

12、601116.29496.711118.21585.891107.022005811621125.321109.602745.661103.683400.981095.30Z22027.7330304.521045.236685.844202.064558.6416447.616428.06169.464448.6643985.55解：第一步，选取a值，现分别取a =0.3、0.6、0.9进行试算。第二步，确定初始值。由于n=830,因此，将序列最初三项数据的简单算术平均 数作为初始值，即=1110 .67Y, + Y + Y 1143 + 1058 + 113133第三步，按(4-18)和(

13、4-19)式计算各期一次指数平滑值和预测值，有关计算结果列入表 4-8之中。第四步，计算不同a值下的均方误差，比较确定适宜的a值。a =0.3 时 MSE = Y (Y - Y )2 = 22027,3 强 2753.47 N t t8t = 130304.52a =0.6 时 MSE = * 3788.078a =0.9 时 MSE = 4398*55 * 5498.19 8计算结果表明，a =0.3时，MSE较小，故选取a =0.3用于分析预测。第五步，进行预测。2006年该地区A商品的销售量预测值(t=9)为Y = S(d =1125.32(百件) 98利用EViews软件计算。在建立工

14、作文件、输入销售量数据后，再在主窗口命令行输入Smooth y在 Smoothing Method 中选用 Single,在 Smoothing Parameter 中的 Alpha 输入不同的 a = 0.3，运算结果见表7-12。表7-12一次指数平滑法EViews运算结果Original Series: Y （原序列Y）Forecast Series: YSM （预测序列即平滑后得序歹U YSM）Parameters: Alpha （平滑系数 a ）0.3000Sum of Squared Residuals （残差平方和）22532.22End of Period Levels:（样本

15、末期）Mean （截距）1124.547 Root Mean Squared Error （均方根误差）53.0710利用EViews软件计算的最后一期为1124.547,与前面计算基本相同（误差是由于小数点 保留和初始平滑值的确定不同所引起）。二、布朗（Brown）二次指数平滑法布朗二次指数平滑法是在对时间序列作一次指数平滑后，对所形成的一次指数值序列再 进行一次指数平滑。它不是将第t期的二次指数平滑值直接用于第t+1期的预测，而是根据 一次指数平滑与实际观察值滞后误差、二次指数平滑值与一次指数平滑值滞后误差的变动规 律，建立起线性趋势预测模型进行外推预测。布朗二次指数平滑法适用于各期数据大

16、体呈线 性上升或下降的时间序列的预测。（一）平滑公式和预测模型二次指数平滑值的计算公式为：S（2）=以 S + （1 -以）S（2）（7-22）ttt-1其中：S；2）为第t期的二次指数平滑值；S（1）为第t期的一次指数平滑值；a为平滑系 数。经过二次指数平滑后的时间序列，若从第t期开始具有明显的线性变动趋势，可根据 St和St（2）建立如下趋势分析预测方程：Y = a + b T（7-23）其中：Yt+t为第t+T期的预测值；T为以第t期为始点的向前预测期数；at为趋势直线 的截距；bt为趋势直线的斜率。布朗曾证明，当Y - S=*b ； S-S=上里b时，参数估计公式为 t t a t t

17、 t * ta = 2S-S（2）Latt（7-24）b =（S-S（2）由（7-24）式可以看出，线性趋势分析预测模型（7-23）中的截距和斜率不是固定不变的， 随着新的观察值的出现而不断调整。（二）平滑初始值Sa）、S（2）的确定由于平滑初始值S（i）、S（2）对未来的分析预测值的影响不是很大，在市场预测实践中，S01）、S02）通常按如下方式近似确定：S（i）= S（2）= Y -（Y4 - Y1）（n30）0013S（1）= S（2）= Y.（n330）（7-25）有关二次指数平滑法的计算步骤和EViews软件应用，将通过例题予以说明。【例10】某地区19982005年的人口数据如表7

18、-13,运用二次指数平滑法预测该地区 2006年底的人口数。表7-13二次指数平滑值计算表（a =0.4）单位：人年份tYtS（1）1S（2）t19981114333113496.2113161.519992115823114426.9113667.620003117171115524.5114410.420014118517116721.5115334.820025119850117972.9116390.120036121121119232.1117526.920047122389120494.9118714.120058123626121747.3119927.4Z解：取a =0.4,

19、S=S（2）= Y -（Y4 - YJ =112938.3。计算S和S（2），列表于表 7-130013tt之中。2005 年的 S（i）=121747.3, S（2）=119927.4 代入（7-44）式，得到a 8 =2 X 121747.3-119927.4=123567.2b = 0.4 （121747.3 -119927.4） =1213.2781-0.4于是，所求t=8时的趋势预测模型为：Y = 123567.2 + 1213.27T8 + T预测2006年底该镇人口数，则8+T=9,T=1Y 9=123567.2+1213.27 X 1=124780 （人）若利用EViews软件

20、计算，在进入指数平滑窗口后中，选择Double, Alpha（a ）之后输入0.4，点击OK，得到运算结果，见表7-13。表7-13二次指数平滑计算结果Original Series: Y（原序列 Y）Forecast Series: YSM （预测序列即平滑后得序列YSM ）0.4000Parameters: Alpha （平滑系数 a ）End of Period Levels:(样本末期)Mean （截距 a ）123677.6Trend （斜率 b ）1309.641Sum of Squared Residuals （残差平方和） Root Mean Squared Error （均方

21、根误差）73807.4796.05173所建立得趋势分析预测模型为云8 t = 123677 .6 + 1309 .6T运用EViews软件计算的结果与前面的计算结果略有差异，主要是由于初始平滑的确定 不同所引起。而运用它们进行预测所得结果则十分接近。利用EViews软件得到的模型预测 2004年底人口数，则9 = 8 1 = 123677 .6 + 1309 .6 x 1 w 124987(人)三、霍特(Holt)双参数线性指数平滑法霍特双参数线性指数平滑法是使用两个参数(即平滑系数)分别对原时间序列的数据水 平和序列的趋势增量进行平滑，以此为基础建立线性趋势模型进行预测。霍特双参数线性指

22、数平滑法由两个平滑公式和一个预测模型所组成。即平滑公式at=a Yt+(1-a )(at 1+bt 1)b 邛(a -a 1) + (1-p )b 1(7-26)预测模型t t I IY T = a + b T(7-27)上式中：at为序列第t期水平的指数平滑值，并作为线性趋势预测模型的截距；bt为序 列趋势增量的指数平滑值，并作为线性趋势预测模型的斜率；a、p为平滑系数，且0a 1,0P 1;其他符号意义同前。在霍特双参数线性指数平滑性中，平滑系数a、p的值，应根据序列各期数据增量的波 动情况，选用不同的a、p值进行多次试算，最终选择使均方误差、估计标准误差或者最近 几期相对误差绝对值较小的

23、那组a、p值进行预测；对于序列水平的平滑初始值a0和趋势 增量的平滑初始值b。，通常按如下方法确定，即令b (Y - Y ) + (Y - Y ) + (Y - Y ) Y -Y033a0=Y1-b0下面举例说明霍特双参数线性指数平滑法的应用。霍特双参数线性指数平滑法数据计算表表 7-14单位：百千瓦时b【例11】某地区19982005年农村用电量数据见表7-14第(2)栏，试预测2004年该 地区农村用电量。年份tYta(甲)（1）（2）（3）19981844.50844.50133.4319992963.2970.57128.28200031106.91102.87131.10200141

24、244.81239.38134.89200251473.91424.09169.76200361655.71624.77191.41200471812.71814.44190.19200581980.11992.36181.60Z解：应用plot命令绘散点图(略)知，该地区农村用电量大体呈线性上升趋势变动，因此可以应用霍特双参数线性指数平滑法预测。取a =0.5, p =0.7,b =J +J + (丫4一丫=133.4303a =Y-=844.5-133.43=711.07利用1 (7-26)式计算气、bt。例如：aja Y+(1-a )(a0+b0)=0.5X844.5+0.5X (711

25、.07+133.43)=844.5bjp (aa0) + (1-p )b0=0.7 X (844.5-711.07)+0.3 X 133.43=133.43气=0.5X963.2+0.5X (844.5+133.43)=970.57=0.7 X (970.57-844.5)+0.3 X 133.43=128.28其余类推，计算结果分别列于表7-14第(3)、(4)栏。当 t=8 时，气=1992.36b8=181.6于是，建立线性趋势预测模型为= 1992.36 + 181.6T8 + T预测2006年该地区农村用电量，则8+T=9,T=1,人- 、9=1992.36+181.6X 1 = 2

26、173.96(百千瓦时)霍特双参数线性指数平滑法适用于大体呈线性上升或下降趋势变动的时间序列。由于这 种方法使用了两个平滑系数，与布朗单参数线性指数平滑法(即二次指数平滑法)相比较，它 更具有灵活性；并且只要两个平滑系数选取得当，能够获得较好的预测效果，其预测精确程 度一般高于二次指数平滑法。但霍特双参数线性指数平滑法也有其不足，那就是选取两个适 宜的平滑系数值时，计算工作量大，需要进行多次试算。霍特双参数线性指数平滑法也可以借助于EViews软件来实现。在平滑方法中选择Holtel-Winter-No seasonal (霍特-温特斯无季节模型)；输入平滑系数 Alpha(a )和Beta(

27、 p )的值(在上例中a =0.5,p =0.7)；点击OK后，可迅速得到模型参数估计结果(见 表 7-15)。表7-15霍特双参数线性指数平滑法计算结果Original Series: YForecast Series: YSMParameters: AlphaBetaSum of Squared ResidualsRoot Mean Squared Error0.50000.700014357.9742.36444End of Period Levels: MeanTrend1989.965180.4921估计的模型为:云 8 t = 1989 .97 + 180 .49 T运用EView

28、s软件计算的结果与前面的计算结果略有差异，主要是由于初始平滑的确定 不同所引起。而运用它们进行预测所得结果则十分接近。利用EViews软件得到的模型预测 值为y9 = y8 1 = 1989 .97 + 180 .49 x 1 w 2170 .46 （百千瓦时）四、布朗三次指数平滑法布朗三次指数平滑法是在二次指数平滑后的时间序列基础上再作一次平滑，求得各期的 三次指数平滑值，并根据一次、二次、三次指数平滑值的滞后误差规律，建立二次抛物线趋 势预测模型，对现象未来进行外推预测的一种方法。三次指数平滑值的计算公式为：S（3）= S（2）+ （1 - a ）S（3）（7-28）ttt-1上式中：S；3）为第t期的三次指数平滑值；其它符号意义同前。由于经过三次平滑后，S01）、S02）、S