新教材人教版高中数学必修第二册 6.2.3向量的数乘运算 教学课件

1、第6章 平面向量及其应用6.2.3 向量的数乘运算创设情境aCaABaO-aQ-aMN-aP已知非零向量 a （如图）a试作出： a+a+a 和 (-a)+(-a)+(-a)由向量加法的法则可得小组合作探究活动1:相同向量相加后，和的长度与方向有什么变化？OABC 由图可知，向量OC=OA+AB+BC=a+a+a,我们把a+a+a记作3 a，即OC=3a. 显然，3a的方向与a的方向相同，3a 的长度是a的长度的3倍，即|3a | = 3 |a |.重要结论PQMN由图可知， PN=PQ+QM+MN=(-a)+(-a)+(-a)，把(-a)+(-a)+(-a)记作-3 a，即PN= - 3a显

2、然，-3a的方向与a的方向相反，-3a的长度是a的长度的3倍，即|-3a | =3 | a | 。重要结论（1） 一般地，我们规定实数与向量 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作 ，它的长度和方向规定如下：（2）当 时， 的方向与 的方向相同； 当 时， 的方向与 的方向相反。特别的，当 时， a 是一个向量； a 的长度等于的绝对值与向量a的长度的乘积。向量数乘和实数乘法有哪些相同点?哪些不同点?重要结论= (1) 根据定义，求作向量3(2a)和(6a) (a为非零向量)，并进行比较。(2) 已知向量 a,b，求作向量2(a+b)和2a+2b，并进行比较。小组合作探究活动2:设 为实

3、数，那么特别的，我们有 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线形运算.对于任意向量 ，以及任意实数 ，恒有第一分配律第二分配律重要结论牛刀小试思考:定理:当a与b同方向时，有b=a;当a与b反方向时，有b=-a，所以始终有一个实数，使b=a。 向量b与非零向量a共线当且仅当有唯一一个实数，使得 b=a.1、如果 b=a , 那么，向量a与b是否共线？2、如果非零向量a与b共线，那么是否有，使b=a ？ 对于向量a(a0)、b，如果有一个实数，使得b=a , 那么，由数乘向量的定义知：向量a与b共线。 若向量a与b共线，a0，且向量b的长度是a的长度的倍，即有|b|=|a|,且牛刀小试设O、A、B、C为平面上任意四点，且存在实数 s，t，使思考：若A、B、C三点共线，则 ； 反之，若s+t=1，则 。结论：牛刀小试本节课小结一、a 的定义及运算律 向量共线定理 (a0) b=a 向量a与b共线 二、定理的应用： 1. 证明 向量共线 2. 证明 三点共线: AB=BC