最好的高等数学复习要点及对应练习 第一章函数极限连续

1、第一章函数、极限、连续 TOC o 1-3 h z u HYPERLINK l _Toc233108420 函数 PAGEREF _Toc233108420 h 2 HYPERLINK l _Toc233108421 甲内容要点 PAGEREF _Toc233108421 h 2 HYPERLINK l _Toc233108422 一、函数的概念 PAGEREF _Toc233108422 h 2 HYPERLINK l _Toc233108423 二、根本初等函数 PAGEREF _Toc233108423 h 2 HYPERLINK l _Toc233108424 三、复合函数与初等函数

2、PAGEREF _Toc233108424 h 3 HYPERLINK l _Toc233108425 四、函数的几种性质 PAGEREF _Toc233108425 h 3 HYPERLINK l _Toc233108426 乙典型例题 PAGEREF _Toc233108426 h 4 HYPERLINK l _Toc233108427 一、求函数的定义域 PAGEREF _Toc233108427 h 4 HYPERLINK l _Toc233108428 二、求函数的值域 PAGEREF _Toc233108428 h 5 HYPERLINK l _Toc233108429 三、求复合

3、函数有关表达式 PAGEREF _Toc233108429 h 5 HYPERLINK l _Toc233108430 四、有关四种性质 PAGEREF _Toc233108430 h 7 HYPERLINK l _Toc233108431 1.2 极限 PAGEREF _Toc233108431 h 9 HYPERLINK l _Toc233108432 甲内容要点 PAGEREF _Toc233108432 h 9 HYPERLINK l _Toc233108433 一、极限的概念与根本性质 PAGEREF _Toc233108433 h 9 HYPERLINK l _Toc2331084

4、34 二、无穷小量 PAGEREF _Toc233108434 h 10 HYPERLINK l _Toc233108435 三、求极限的方法 PAGEREF _Toc233108435 h 11 HYPERLINK l _Toc233108436 乙典型例题 PAGEREF _Toc233108436 h 13 HYPERLINK l _Toc233108437 一、通过各种根本技巧化简后直接求出极限 PAGEREF _Toc233108437 h 13 HYPERLINK l _Toc233108438 二、用两个重要公式 PAGEREF _Toc233108438 h 16 HYPERL

5、INK l _Toc233108439 三、用夹逼定理求极限 PAGEREF _Toc233108439 h 17 HYPERLINK l _Toc233108440 四、用定积分定义求数列的极限 PAGEREF _Toc233108440 h 18 HYPERLINK l _Toc233108441 五、用洛必达法那么求极限 PAGEREF _Toc233108441 h 19 HYPERLINK l _Toc233108442 六、用无穷小量重要性质和等价无穷小量代换 PAGEREF _Toc233108442 h 21 HYPERLINK l _Toc233108443 七、用泰勒公式求

6、极限 PAGEREF _Toc233108443 h 22 HYPERLINK l _Toc233108444 八、用导数定义求极限 PAGEREF _Toc233108444 h 18 HYPERLINK l _Toc233108445 九、求递归数列的极限 PAGEREF _Toc233108445 h 18 HYPERLINK l _Toc233108446 十、求分段函数的极限 PAGEREF _Toc233108446 h 18 HYPERLINK l _Toc233108447 十一、求极限的反问题 PAGEREF _Toc233108447 h 19 HYPERLINK l _T

7、oc233108448 1.3 连续 PAGEREF _Toc233108448 h 20 HYPERLINK l _Toc233108449 (甲)内容要点 PAGEREF _Toc233108449 h 20 HYPERLINK l _Toc233108450 一、函数连续的概念 PAGEREF _Toc233108450 h 20 HYPERLINK l _Toc233108451 二、函数的间断点及其分类 PAGEREF _Toc233108451 h 20 HYPERLINK l _Toc233108452 三、初等函数的连续性 PAGEREF _Toc233108452 h 21

8、HYPERLINK l _Toc233108453 四、闭区间上连续函数的性质 PAGEREF _Toc233108453 h 21 HYPERLINK l _Toc233108454 (乙)典型例题 PAGEREF _Toc233108454 h 21 HYPERLINK l _Toc233108455 一、讨论函数的连续性 PAGEREF _Toc233108455 h 22 HYPERLINK l _Toc233108456 二、函数的连续性求未知参数 PAGEREF _Toc233108456 h 22 HYPERLINK l _Toc233108457 三、求函数的间断点并确定其类型

9、 PAGEREF _Toc233108457 h 23 HYPERLINK l _Toc233108458 四、求连续函数的极限 PAGEREF _Toc233108458 h 24 HYPERLINK l _Toc233108459 五、利用介值定理的推论判断方程的根 PAGEREF _Toc233108459 h 251.1函数甲内容要点一、函数的概念设D是一个非空的实数集，如果有一个对应规划f，对每一个，都能对应惟一的一个实数y，那么这个对应规划f称为定义在D上的一个函数，记以y=f(x)，称x为函数的自变量，y为函数的因变量或函数值，D称为函数的定义域，并把实数集称为函数的值域。如果自

10、变量在定义域内不同的值，函数不能用同一个表达式表示，而要用两上或两个以上的表达式来表示。这类函数称为分段函数。例如是一个分段函数，它有两个分段点，x1和x1，它们两侧的函数表达式不同，因此讨论函数y=f(x)在分段点处的极限、连续、导数等问题时，必须分别先讨论左、右极限，左、右连续性和左、右导数。需要强调：分段函数一般不是初等函数，不能用初等函数在定义域内皆连续这个定理。形如y=f(x)有函数称为显函数，由方程Fx，y=0确定的yy(x)称为隐函数，有些隐函数可以化为显函数不一定是一个单值函数，而有些隐函数那么不能化为显函数。如果y=f(x)可以解出是一个函数单值，那么称它为f(x)的反函数，

11、记以。有时也用表示。二、根本初等函数1.常值函数yC常数2.幂函数 常数3.指数函数 a0，a1常数，无理数4.对数函数 a0，a1常数常用对数 自然对数 5.三角函数 6.反三角函数 根本初等函数的概念、性质及其图像非常重要，影响深远。例如以后经常会用；等等，就需要对，的图像很清晰。三、复合函数与初等函数设定义域U定义域X，值域U*如果，那么是定义在X上的一个复合函数，其中u称为中间变量。由根本初等函数经过有限次四那么运算和复合所构成的用一个分析表达式表示的函数称为初等函数。四、函数的几种性质1.有界性：设函数y=f(x)在X内有定义，假设存在正数M，使都有，那么称f(x)在X上是有界的。2

12、.奇偶性：设区间关于原点对称，假设对，都有，那么称在上是奇函数；假设对，都有，那么称在上是偶函数。奇函数的图像关于原点对称；偶函数图像关于轴对称。3.单调性：设在上有定义，假设对任意都有，那么称在上是单调增加的；假设对任意都有，那么称在上是单调不减。注意：有些书上把这里单调增加称为严格单调增加；把这里单调不减称为单调增加。4.周期性：设在上有定义，如果存在常数，使得任意，都有，那么称是周期函数，称为的周期。由此可见，周期函数有无穷多个周期，一般我们把其中的最小正周期称为周期。乙典型例题一、求函数的定义域【例1】 求函数的定义域。解 要有定义，要有定义，因此，的定义域为【例2】 求的定义域。解

13、要有定义，和要有定义，因此，定义域为【例3】 设的定义域为，求的定义域。解 要求，那么， 当时，那么 当时， 也即或【例4】 设 求的定义域，并求.解 的定义域为，要求，那么；要求，那么，于是的定义域为。又二、求函数的值域【例1】 求的值域。解 我们先求出反函数，它的定义域就是原来函数的值域。它的定义域，且所以原来函数的值域为。三、求复合函数有关表达式f(x)和g(x)，求fg(x).【例1】，求.解，于是，【例2】设，求.n重复合解，假设，那么根据数学归纳法可知，对正整数n，g(x)和fg(x)，求f(x).【例1】设，求f(x).解令，于是【例2】，且，求f(x).解令，因此，四、有关四种

14、性质【例1】设，那么以下结论正确的选项是.A假设f(x)为奇函数，那么F(x)为偶函数B假设f(x)为偶函数，那么F(x)为奇函数C假设f(x)为周期函数，那么F(x)为周期函数D假设f(x)为单调函数，那么F(x)为单调函数解 (B)不成立，反例(C)不成立，反例(D)不成立，反例(A)成立。证明 为奇函数， 为偶函数。【例2】 求解 是奇函数，是奇函数， 因此是奇函数。于是 。【例3】 两个周期函数之和是否仍是周期函数？解不一定1周期为4周期为64和6的最小公倍数为12是以12为周期的函数2周期为周期为2和2没有最小公倍数不是周期函数3 周期为周期为虽然，不但都是周期函数，而且它们的周期有

15、最小公倍数。但是，却不是周期函数。因为没有最小正周期。【例4】 设，是恒大于零的可导函数，且，那么当时，以下结论成立的是(A) (B)(C) (D)解 ，单调减少于是xN时，就有.2任给，存在正整数X，当xX时，就有.3任给，存在正整数X，当xX时，就有.4任给，存在正整数X，当|x|X时，就有.5任给，存在正数，当时，就有。6用表示任给，存在正数，当时，就有7用表示任給，存在正数，当时，就有。其中称为在处右极限值，称为在处左极限值。有时我们用表示上述六类函数的极限，它具有的性质，上述六类函数极限皆具有这种性质。有时我们把，即数列极限也看作这种抽象的变量的极限的特例，以便于讨论。2.极限的根本

16、性质定理1极限的惟一性设，則。定理2极限的不等式性质设，假设变化一定以后，总有，那么反之，那么变化一定以后，有注：当情形也称为极限的保号性定理3极限的局部有界性设，那么当变化一定以后，有界的。定理4设，那么12345二、无穷小量1.无穷小量定义：假设，那么称为无穷小量注：无穷小量与的变化过程有关，当时为无穷小量，而或其他时，不是无穷小量2.无穷大量定义：任給，当变化一定以后，总有，那么称为无穷大量，记。3.无穷小量与无穷大量的关系：在的同一个变化过程中，假设为无穷大量，那么为无穷小量，假设为无穷小量且，那么为无穷大量。4.无穷小量与极限的关系 其中5.两个无穷小量的比拟设，且(1)，称是比高阶

17、的无穷小量，记以称是比低阶的无穷小量，(2) ，称与是同阶无穷小量。(3)，称与是等价无穷小量，记以6.常见的等价无穷小量 当时为实常数。7.无穷小量的重要性质有界变量乘无穷小量仍是无穷小量。三、求极限的方法1. 利用极限的四那么运算和幂指数运算法那么2. 两个准那么准那么1 单调有界数列极限一定存在。1假设为正整数，又为正整数那么存在且2假设为正整数，又为正整数那么存在且准那么2 夹逼定理设假设，那么3.两个重要公式公式1 公式2 ；4.用无穷小量重要性质和等价无穷小量代换5.用泰勒公式比用等价无穷小量更深刻当时为实常数6.洛必达法那么法那么1设1，2变化过程中，皆存在3或那么 或(注：如果

18、不存在且不是无穷大量情形，那么不能得出不存在且不是无穷大量情形)法那么2设1，2变化过程中，皆存在3或那么或7.利用导数定义求极限根本公式：8.利用定积分定义求极限根本公式： 9.其他综合方法10.求极限的反问题有关方法乙典型例题一、通过各种根本技巧化简后直接求出极限【例1】设，求解【例2】设，求.解特例：1求解例2中取，可知原式2【例3】求.解分子、分母用3n除之，原式注：主要用当时，【例4】设l是正整数，求.解因此原式特例：1l12l2【例6】设d0为常数，求.解原式特例： 【例7】求以下各极限12解1解一原式解二原式解三用洛必达法那么1原式2解一原式解二类似1中解二用等价无穷小量代换解三

19、类似1中解三用洛必达法那么【例8】求以下极限1设，2解1分子分母都乘1-r，那么原式2原式二、用两个重要公式【例1】求。解 当x=0时，原式=1当x0时，原式=【例2】求以下极限12解12解一解二【例3】求以下极限123解1令那么，当时于是2令那么，当时，于是3三、用夹逼定理求极限【例1】 求.解令，那么0 xnyn，于是由夹逼定理可知，于是原极限为0.【例2】 求以下极限12解1而由夹逼定理可知2而那么夹逼定理可知四、用定积分定义求数列的极限【例1】求.分析如果还想用夹逼定理中方法来考虑而，由此可见，无法再用夹逼定理，因此我们改用定积分定义来考虑.解【例2】设，求.解原式五、用洛必达法那么求

20、极限1.“型和“型.【例1】求.解离散型不能直接用洛必达法那么，故考虑原式.【例2】求.解假设直接用“型洛必达法那么1，那么得不好办了，分母x的次数反而增加，为了防止分子求导数的复杂性，我们先用变量替换，令，于是(“型)2. “-型和“0型.【例1】求.解“型【例2】求.解原式【例3】求.解原式(“型)3. “1型，“00”型和“0”型这类都是形式，可化为，而都是“0型，按2的情形处理.【例1】求.解令，见2中例3【例2】求前面已用重要公式的方法.解令，“型，【例3】求.解令，六、用无穷小量重要性质和等价无穷小量代换【例1】求.解，根据有界变量乘无穷小量仍是无穷小量，可知原式0.【例2】求.解

21、用等价无穷小量代换原式【例3】求.解这个极限虽是“型，但分子、分母分别求导数后的极限不存在，因此不能用洛必达法那么.原式七、用泰勒公式求极限【例1】求.解当时原式八、用导数定义求极限【例1】设，求.解原式【例2】设曲线与在原点相切，求.解由题设可知，于是九、求递归数列的极限【例1】设，求.解算术平均值几何平均值又，那么因此单调减少，又有下界，根据准那么1，存在把两边取极限，得，A0，取，于是十、求分段函数的极限【例1】求以下函数在分段点处的极限解【例2】求.解十一、求极限的反问题【例1】设，求a和b.解 由题设可知，1+a+b=0再对极限用洛必达法那么 【例2】设，求a和b.解把极限用洛必达法

22、那么原式左边，如果，那么极限值为0，今极限为1，那么因此原式左边由，得出a=4.1.3 连续(甲)内容要点一、函数连续的概念处连续定义1设函数在点的某个邻域内有定义，如果当自变量的改变量初值为趋近于0时，相应的函数改变量也趋近于0，即或那么称函数在点处连续。函数在点处连续也可作如下定义。定义2设函数在点的某个邻域内有定义，如果当时，函数的极限值存在，且等于处的函数值，即那么称函数在点处连续，此时有并且有即如果函数在点处连续，那么在点处可以交换极限号和函数号的顺序。定义3设函数，如果，那么函数在点处左连续；如果，那么称函数在点处右连续。由上述定义2可知，如果函数在点处连续，那么在处既左连续也右连

23、续。2.函数在区间内上连续的定义如果函数在开区间内的每一点都连续，那么称在内连续。如果在开区间内连续，在区间端点右连续，在区间端点左连续，那么称在闭区间上连续。二、函数的间断点及其分类1.函数的间断点的定义如果函数在点不连续，那么称为的间断点。2.函数的间断点的分类函数的间断点分为两类：1第一类间断点设是函数的间断点，如果在间断点处的左、右极限都存在，那么称是的第一类间断点。第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点。2第二类间断点第一类间断点以外的其他间断点统称为第二类间断点。常见的第二类间断点有无穷间断点和振荡间断点。例如是的可去间断点，是的跳跃间断点，是的无穷间断点，是的振荡间断点。三、初等

24、函数的连续性1在区间连续的函数的和、差、积及商(分母不为零)，在区间仍是连续的。2由连续函数经有限次复合而成的复合函数在定义区间内仍是连续函数。3在区间连续且单调的函数的反函数，在对应区间仍连续且单调。4根本初等函数在它的定义域内是连续的。5初等函数在它的定义区间内是连续的。四、闭区间上连续函数的性质在闭区间上连续的函数，有以下几个根本性质，这些性质以后都要用到。定理1有界定理如果函数在闭区间上连续，那么必在上有界。定理2最大值和最小值定理如果函数在闭区间上连续，那么在这个区间上一定存在最大值和最小值。其中最大值和最小值的定义如下：定义设是区间上某点处的函数值，如果对于区间上的任一点，总有，那

25、么称为函数在上的最大值，同样可以定义最小值。定理3介值定理如果函数在闭区间上连续，且其最大值和最小值分别为和，那么对于介于和之间的任何实数，在上至少存在一个，使得推论如果函数在闭区间上连续，且与异号，那么在内至少存在一个点，使得这个推论也称为零点定理。思考题：什么情况下能保证推论中的是惟一的？(乙)典型例题一、讨论函数的连续性由于初等函数在它的定义区间内总是连续的，所以，函数的连续性讨论多是指分段函数在分段点处的连续性。对于分段函数在分段点处的连续性，假设函数在分段点两侧表达式不同时，需根据函数在一点连续的充要条件进行讨论。【例1】 讨论函数在点处的连续性。解因即有，故在点连续.【例2】 讨论函数在点的连续性.解因，因而不存