任意对任意激励的响应傅里叶积分和拉氏变换解析

1、任意对任意激励的响应傅里叶积分和拉氏变换解析39系统对任意鼓励的响应傅里叶积分 前面应用卷积积分计算任意非周期鼓励的响应随时间的变化规律，称为时域分析方法。但也可以从另一角度出发，借助傅里叶变换给出频率域响应的表达式，同时给出脉冲响应函数与复频率响应函数的傅里叶变换关系。单自由度线性系统受非周期鼓励的振动微分方程为令作用在系统上的鼓励具有如下的形式，即注意到f(t)的量纲与位移的量纲一样。 周期鼓励函数可以利用傅里叶级数来表示，即表达成为无穷个简谐分量的叠加。对于任意非周期鼓励函数F(t)=kf(t)，可视为周期T趋于无穷大的周期函数，也就是说，非周期函数可视为周期为无穷大的周期函数。这样，离

2、散频率愈来愈接近，直到成为连续为止。这时傅里叶级数就成为傅里叶积分。 考虑傅里叶级数的复数形式，即系数Cp为式中T=2/为鼓励函数的周期。傅里叶级数式和上式提供了有关周期函数f(t)的频率组成根据。令p=p，有p=p+1)-=2/T，将傅里叶展开式和上式)中的p以p，T以2/ p代替，写成当T，p0时，离散频率p，就成为连续频率，将TCp，记作的函数F()，称为鼓励的频谱函数。上面两式转化为傅里叶变换公式积分式称为关于函数f(t)的傅里叶变换，它给出了f(t)的连续频谱函数，称为关于函数f(t)的傅里叶变换，它给出了f(t)的连续频谱函数，积分式称为关于函数F()的傅里叶逆变换，它将非周期函数

3、f(t)表示为频率为、幅值为F()d的简谐分量的无穷叠加。f(t)和F()共称为傅里叶变换对。积分式 利用复频率响应函数H()，将f(t)以傅里叶变换式代人x(t)=H()f(t)，可得系统的稳态响应为在非周期鼓励作用下，系统的响应又可由傅里叶积分表示为式中因此x(t)与X()组成了傅里叶变换对。比较式得上式为系统响应的频率域表达式，系统在频率域的响应X()等于复频率响应H()与鼓励的傅里叶变换F()的乘积。 例3.9-1 试用傅里叶变换法计算单自由度无阻尼系统对图所示的矩形脉冲鼓励F(t)的响应x(t)，并画出频谱图。解：因为f(t)=F(t)k，函数f(t)可以定义为利用式，可以对f(t)

4、进展傅里叶变换，积分得当=0，复频率响应为得到于是，响应x(t)可以表示成傅里叶逆变换形式，即为了计算此积分，需要作复平面内的围道积分(这已经超出了本书的范围)，这里只给出积分的结果，有注意到本例题响应x(t)的结果与例题3.8-4的结果一样。与f(t)有关的频谱由方程给出，因为(eiT-e-iT)i2=sinT。方程简化为图表示F()对的频谱图。此外，与x(t)有关的频谱由方程给出，同理，简化为图表示X()对的频谱图。 将此例题与例题3.8-4相比较，可以看出，对于求响应x(t)的问题，用卷积积分要比用傅里叶变换法简单，因为卷积积分可以防止本例题中涉及的复平面内围道积分的计算。310 用拉普

5、拉斯变换法求系统响应传递函数 拉普拉斯(Laplace)变换作为一种工具已经广泛地应用于线性系统的研究中，除了为求解线性微分方程提供有效方法外，还可以用来表示联络鼓励和响应的简单代数式。拉普拉斯变换既适宜于瞬态振动，又适宜于强迫振动，这一方法的主要优点在于它可以比较容易地来处理不连续函数，并且可以自动地考虑初始条件。用符号 =Lx(t)表示x(t)的拉普拉斯变换，则x(t)的拉普拉斯变换定义为式中s一般为一复量，函数e-st称为变换的核。因为式是一个以t为积分变量的定积分，所以将得出一个以s为变量的函数。为了用拉普拉斯变换法求解系统的响应，需要计算导数量和譬的变换。应用分部积分，可以得出式中x

6、(0)为m的初始位移。同理，二阶导数的拉普拉斯变换可以表示为式中 为m的初始速度。激励函数的拉普拉斯变换简单地表示为两边进展变换，整理后得对方程或改写为上式称为微分方程的辅助方程。第一项表示强迫振动响应，第二项表示由初始条件引起的响应。如果不考虑方程的齐次解，即令x(O)= (O)=0，就可以将变换激励和变换响应之比写成如下形式函数 (s)称为系统的广义阻抗，包含反映系统特性的所有参数，是以s为变量的复数域的代数表达式。该域表示一复平面，称为拉普拉斯平面。令 (s)的倒数以 (s)表示，即(s)称为系统的导纳。 在研究变换响应与变换鼓励的关系时，还要建立一个更为普遍的概念，这一概念称为传递函数

7、。对于方程所描绘的二阶系统的特殊情形，传递函数具有下面的形式，即式中和n分别为相对阻尼系数和无阻尼系统的固有频率。注意到，如果令 (s)中的S=i并乘以k，就可以得到复频率响应函数H()。 方程可以改写为 传递函数可以视为是一个代数算子，它对变换鼓励进展运算就得出变换响应。方程可以用图表示，以代数算子 (s)表在拉普拉斯平面内的关系图。 响应x(t)可由拉普拉斯逆变换求得。从变换响应回到x(t)时，需要计算 (s)的拉普拉斯逆变换，可以表示为一般来讲，L-1的运算将涉及在复数域内的线积分，在很多情况下，这个积分可以用围道积分来代替，再转变为用复数代数中的剩余定理来计算。然而深入地研究拉普拉斯变

8、换理论已经超出了本书的范畴。如果能够寻找一种将 (s)分解成其逆变换为已知函数组合的方法，则在现有的知识结构中就可以得到简单响应问题的拉普拉斯逆变换的解答，这一方法可以通过部分分式法来实现。也就是说，把函数 (s)分解成几个已经知道其逆变换的简单函数之和。表给出了一些简单函数的拉普拉斯变换对表。 例3.10-1 脉冲响应。设在t=a处作用一单位脉冲鼓励。可以得出其拉普拉斯变换为先对方程作一些说明：对于任何不等于a的值，函数为零，以(t-a)乘任一函数ft，使f(t)在fa时的值都等于零；而当t=a时，f(t)=f(a)，于是有f(t)(t-a)=f(a)(t-a)。由于(t-a)的持续时间为无

9、穷小，所以式中的f(a)为常数。又因为方程中的e-st起f(t)的作用，所以得到e-stf(t-a)=e-as(t-a)，这里e为常数。把e-as放到积分号的外面，就得到了上面的结果。 对于脉冲响应来说，激励具有F(t)=(t)的形式，由此可以得出a=0和 (s)=1。根据方程，得到因而，脉冲响应的拉普拉斯变换 等于传递函数 (s)。由此，脉冲响应为 即脉冲响应可简单地表示为传递函数的拉普拉斯逆变换。考虑单自由度有阻尼系统，方程用局部分式的形式写出其传递函数，即因为得出脉冲响应为这与用经典方法得到的一样。因为当tO时，没有鼓励，所以方程应该乘以u(t)后，才与实际相符。 例3.10-2 阶跃响

10、应。设F(t)=u(t-a)，可以写出其拉普拉斯变换为显然，当F(t)=u(t)，即当a=0时，有 。代入方程，得到式中 (s)=Lg(t)为g(t)的拉普拉斯变换。因而阶跃响应为 考虑单自由度有阻尼系统，从方程可以用部分分式的形式写出 (s)，即可以得到阶跃响应为311复频率响应与脉响应之间的关系 可以证明，描绘系统响应特性的在时域和频域中分别定义的脉冲响应函数h(t)和复频率响应函数H()恰好组成傅里叶变换对。 令鼓励函数为单位脉冲形式此时系统的响应为脉冲响应，即得出该鼓励的傅里叶变换。得到有因为F(t)=k(t)，上式所给出的脉冲响应对应于弹簧常数k等于1。同样，有明显可以看出，复频率响

11、应H()和脉冲响应h(t)为傅里叶变换对。因此，系统的特性可以用复频率响应H()在频率域内描绘，也可以用脉冲响应h(t)在时间域内描绘，它们之间的关系如以下图，图中的双箭头表示傅里叶变换对。312 课堂讨论 如以下图为一内燃机排气阀系统简图。摇杆AB对转轴O的转动惯量为I，汽阀BC的质量为mv，阀簧质量为ms，弹簧刚度为ks，计算时根据考虑弹簧本身质量的瑞利(Rayleigh)法可近似地将ms3集中于B点，挺杆AD的质量为mt，弹簧刚度为kt。求系统固有频率和响应。 此系统可以简化为如图左侧所示的单自由度系统。系统的动能为注意到A点的速度为 =a ，上式变为因此，在A点的等效质量为系统的势能为

12、因此，在A点的等效刚度为注意到A点的位移为x=a，上式变为故系统的固有频率为 假设给出挺杆AD的长度L，截面积A，材料弹性模量E，那么根据受拉压杆等效刚度系数的计算方法，挺杆AD的刚度kt=EA/L；假设简化挺杆AD为一刚杆，那么刚度系数kt=0。此外，尽管阻尼的现实描绘比较困难，但实际系统不可防止地存在着阻尼，因此根据实际情况，给出阻尼系数c，并根据凸轮的鼓励函数F(t)，那么系统的运动微分方程为式中，为凸轮使挺杆运动的位移，凸轮按简谐规律运动，有据此可计算系统的稳态响应。将上式代入方程，并根据线性系统的叠加原理，可得以下方程，即令稳态响应为式中由叠加原理得周期鼓励的稳态响应为某发动机配气机构转速n=1200rmin，气门间隙=0.4 mm，升程h=13.5 mm，=t为凸轮轴转角，=40rads，升程阶段的总转角=。：挺杆质量m=0.2 kg，挺杆长度L=237 mm，截面积A=75mm2，材料弹性模量E=21000