例谈数学翻折问题的解题方法

1、例谈初中数学翻折问题的解题方法翻折作为几何变换的一种，在中考试卷中愈来愈受命题人的青睐，主要原因是想通过在考査平面几何变换的基础知识点的同时也要学生学会掌握运用数学思想与方法解决问题的能力。初中数学中的几何变换一般是指平移、对称（翻折）和旋转.数学课程标准在课程目标中已明确指出“经历探索物体与图形的基本性质、变换、位置关系的过程”我们知道，图形的变换不改变图形的形状、大小，只改变图形的位置，故解题时可充分利用图形变换的特征，把图形位置进行改变，从而达到优化图形结构，进一步整合图形（题设）信息的目的，使较为复杂的问题得以创造性地解决。要求初中阶段的学生理解基本的几何变换，通过有关数学知识的技能学

2、习,逐步领会方程思想、函数思想、分类讨论思想等基本数学思想。笔者下面以近几年各地中考中的翻折问题为例，简单叙述翻折问题的解答过程以及涉及到的数学思想与方法。一、纸片中的折叠例1.如图，有一条直的宽纸带，按图折叠，则Za的度数等于（）CD30BFEa2解：TZa=Z1，Z2=Z1Za=Z22Za+ZAEB=180，即2Za+30=180，解得Za=75.1A本题考查的是平行线的性质，同位角相等，及对称的性质，折叠的角与其对应角相等，和平角为180度的性质，注意AEAB是以折痕AB为底的等腰三角形。例2.如图，将一宽为2cm的纸条，沿BC，使ZCAB=45，则后重合部分的面积为。解：作CD丄AB，

3、.CEAB,Z1=Z2,根据翻折不变性，Z1=ZBCA，故Z2=ZBCA.AB=AC.又VZCAB=45，.在RtAADC中，AC=22，AB=22ABCABXCD=22在折叠问题中，一般要注意折叠前后图形之间的联系，将图形补充完整，对于矩形（纸片）折叠，折叠后会形成“平行线+角平分线”的基本结构，即重叠部分是一个以折痕为底边的等腰三角形ABC。二、三角形中的折叠例3、在AABC中，已知ZA=80,ZC=30,现把ACDE沿DE进行不同的折叠得ACDE,对折叠后产生的夹角进行探究：(1)(2)(3)如图如图如图(1)(2)(3)把厶CDE沿DE折叠在四边形ADEB内，则求Z1+Z2的和;把AC

4、DE沿DE折叠覆盖ZA,则求Z1+Z2的和；把厶CDE沿DE斜向上折叠，探求Z1、Z2、ZC的关系.再根据三角形内角分析：(1)根据折叠前后的图象全等可知,和定理比可求出答案；(2)连接DG，将ZADG+ZAGD作为一个整体，根据三角形内角和定理来求；A(3)将Z2看作180-2ZCED，Z1看作2ZCDE-180。，再根据三角形内角和定理来求.解:(1)如图D1CZ1+Z2=180-2ZCDE+180-2ZCEDC2=360-2(ZCDE+ZCED)EB图=360-2(180-ZC)C=2ZC=60；A1(2)如图(2)D2连接DG，Z1+Z2=180-ZC-(ZADG+ZAGD)G=180

5、-30-(180-80c=50；(3)如图(3)C图CEBAZ2-Z1=180-2ZCED-(2ZCDE-180)=360-2(ZCDE+ZCED)=360-2(180-ZC)1D=2ZC2B所以：Z2-Z1=2ZC.CE图由于等腰三角形是轴对称图形，所以在折叠三角形时常常会出现等腰三角形。例4：.如图，直角三角形纸片ABC中，AB=3,AC=4,D为斜边BC中点，第1次将纸片折叠，使点A与点D重合，折痕与AD交于点P；设PD的中点为D,第2次将纸片折叠，使点A与点D1重合，折痕与AD交于点P2；设P2D1的中点为D2，第3次将纸片折叠,使点A与点D2重合，折痕与AD交于点P3；设Pn-1Dn

6、-2的中点为Dn-1，第n次纸片折叠，使A与点Dn-1重合，折痕与AD交于点Pn(n2),则AP6长()解：AD=2第一次折叠后，AP=P1D，P1D1=D1D.AD5.AP】=4第二次折叠后，ap2=p2d1，P2D2=D2DAp2AD2AD-DD2AD-字21516第三次折叠后，ap3=p3d2AP3=学=AD严AD1-学215158-32=452=64即当n=1时，AP=4=22故ap6=35X5212此题考查了翻折变换的知识，解答本题关键是写出前面几个有关线段长度的表达式，从而得出一般规律，注意培养自己的归纳总结能力。、矩形中的折叠例5.如图，沿矩形ABCD的对角线BD折叠，点C落在点

7、E的位置，已知BC=8cm,AB=6cm,求折叠后重合部分的面积分析：点C与点E关于直线BD对称，Z1=Z2.ADBC,Z1=Z3AZ2=Z3FB=FD设FD=x,贝9FB=x,FA=8x在RtABAF中，BA2+AF2=BF262+(8-x)2=x2解得x25T1531X5当n=2时，AP2=16=244532X5当n=3时，AP3=64=263n-1X5则第n次折叠后,AP=n22n112575所以，阴影部分的面积S/d=2FDXAB=2x4x6=4cm2重合部分是以折痕为底边的等腰三角形例6：矩形ABCD中，AD=5,AB=3,将矩形ABCD沿某直线折叠，使点A的对应点A，落在线段BC上

8、,再打开得到折痕EF.（1）当A，与B重合时（如图1）,EF=；当折痕EF过点D时（如图2）,求线段EF的长；（2）观察图3和图4,设BA，=x,当x的取值范围是时，四边形AEAF是菱形；在的条件下，利用图4证明四边形AEAF是菱形.,A=,EAD=90解：5图1由折叠（轴对称）性质知AD=AD=5在RtAADC中，DC二AB=3AC=52-32=4.AB=BCAC二54二1设AE二AE=x,则BE二3x在RtAEBA中，AE2=BE2AB2解得：x=5在RtAAEF中，EF=AE2+AD2=(2)3x5证明：由折叠(轴对称)性质知ZAEF二,FEAAE=AE,AF=AF又JADBC,ZAFE

9、=ZFEA/ZAEF=ZAFE.AE=AFAE=AE=AF=AF四边形AEAF是菱形.注意折线的变化，使得得到的图形也发生变化，翻折是全等变换，关注对应边、对应角的相等，结合勾股定理，平行线的性质就可解决问题。四、圆中的折叠例7.如图，将半径为8的0O沿AB折叠，弧AB恰好经过与AB垂直的半径OC的中点D,则折痕AB长为。解：延长CO交AB于E点，连接OB,TCE丄AB,E为AB的中点，由题意可得CD=4,OD=4,OB=8,DE=2(8X2-4)=6OE=6-4=2,在RtAOEB中，根据勾股定理可得：AB=415注意折叠过程中形成的对应边，利用勾股定理求解例8.如图，将弧BC沿弦BC折叠交直径AB于点D,若AD=5,DB=7，则BC的长是多少？解：连接CA、CD；根据对称的性质，得：弧CB=弧BDCZCAB=ZCBD+ZBCD；VZCDA=ZCBD+ZBCD,ZCAD=ZCDA,即厶CAD是等腰三角形；过C作CE丄AB于E,则AE=DE=2.5；BE=BD+DE=9.5；在RtAACB中，CE丄AB,ABCCBE，得：BC2=BEAB=9.5X12=114；故BC=114此题考查的是对称的性质、圆周角定理、以及相似三角形的判定和性质；能