一、问题的提出 如图1,有一条河,两个工厂P 和Q位于河岸L

1、一、问题的提出如图1，有一条河，两个工厂P 和Q位于河岸L（直线）的同一侧，工厂 P 和 Q 距离河岸L分别为8千米和10千米，两个工厂的距离为14千米，现要在河的工厂一侧选一点R，在R处建一个水泵站，向两工厂P、Q 输水，请你给出一个经济合理的设计方案。8l10Q14P河图1R即找一点 R ，使 R 到P、Q及直线 l 的距离之和为最小。1二、提出方案8l10Q14P河图12 水泵站R建立在河边（即L上），则问题转化为在L上找一点R，使|RP|RQ|为最小。方案一：8l10Q14P河图1R3 水泵站R建立在河边（即L上），则问题转化为在L上找一点R，使|RP|RQ|为最小。方案一：8l10Q

2、14P河图1水泵站R不建在河边，则问题转化为要在L的P、Q一侧找点R，使R到P、Q及L的距离之和最小。方案二：8l10Q14P河图2RR4三、论证方案8l10Q14P河图1R8l10Q14P河图2R方案一：方案二：5、对于方案一：联想平几知识，用光学性质建模： 作点Q关于直线L的对 称点Q ，连 P Q 交 L于R，则R为所求（如图） 这样所需直线输水管的总长度为：S(R )| PQ | 22.72千米。lPQRQS6三、论证方案8l10Q14P河图1R8l10Q14P河图2R方案一：方案二：72、对于方案二PQRQ这里建立的是关于x、y的二元函数模型，但求解困难。yxO思路一： 图 建立如图

3、的坐标系，则易得P（0，10）、Q（ 8 ，8）设点R(x , y ) ，则S(R)|PR| + |RQ| + |RM| 。8用判别式法可得 S(R)21或S(R) 3.因为S(R)0 故S(R)的最小值是21，代入(1)中得y 5，于是Q( , 2 )PQ的直线方程为y ，把y 5代入得x5，故|RP|= =10 (km), | RQ|= = 6(km) , R到河岸的距离为5(km)。yx如图4，过R作L/x 轴，则问题转化为在 L上找点R，使RPRQ为最小。作Q关于L的对称点 Q，则S(R)| RP | | RQ | y | PQ |y ，取这样的 R，使 S(R)| PQ |y 则S(

4、R) (1)思路二PQRMl图4Q9若把|PR| |RQ|看作定值，则R在以P、Q为焦点的椭圆上，故这需在椭圆找点R，作R到L的距离最小，因此可考虑运用椭圆的定义和直线与椭圆的关系建模。思路三： PQ图5o如图5所示，建立直角坐标系， P、Q为椭圆的焦点，L /L，且L切椭圆于R，根据题意，易求出直线L为：x4 y630 (1)设L为： x4 yn0 (2)yxLLR10椭圆方程为： (3)联立(2) (3)，化简得 (4)根据L为椭圆的切线，得0解得：n2 4 9（a248）。由题意n 0 ，则n7 ，所以直线L 为：x4 y7 0.所以L与L的距离为：故输水管的总长度：S(R) 2a 9

5、(5)用法，可得S(R)21或S(R) 3，由于S(R)0， 则S(R)21，即S(R)的最小值为21, 代入(5),解得a8,从而d5,进一步可求出|PR|10, |PQ|6。11思路四： 如图6 ， AB/L ， RH L， PRAQRB30. 设QB=x 则 PAx2，AR (x2)，RB x 由 AB8， 得 (x2) x 8 。 所以 x3 ，从而 RP10,PQ6 ,RH5 .PQRABCDH图6l联想经典的数学问题，运用费尔马点建模12四、论证结论R8l10Q14P河*方案二更经济合理* 即选这样的点 R ，使 R 到河岸 L 的距离为5千米，到工厂 P 的距离为10千米，到工厂 Q 的距离为6千米，这时所需总水管的长度为21千米。13、若将直线 L缩成一个点（如向水库取水），则问题就是在三角形内求一点R，使R到三角形三顶点的距离之和为最小（此点即为费尔马点）。五、问题引申河PQ图 、若取水的河道不是直线，是一段圆弧（如图），该如何选点？14 、数学建模就是把实际问题数学化。数学模型就是通过抽象和简化，使用数学语言、数学符号对实际现象给予推理、论证，从而