一次函数的综合题

1、一次函数的综合题【题型一】一次函数的面积问题【例1】（2016丹阳市校级一模）如图，将矩形ABCD置于平面直角坐标系中，其中AD边在x轴上，AB=2，直线MN：y=x4沿x轴的负方向以每秒1个单位的长度平移，设在平移过程中该直线被矩形ABCD的边截得的线段长度为m，平移时间为t，m与t的函数图象如图2所示（1）点A的坐标为，矩形ABCD的面积为；（2）求a，b的值；（3）在平移过程中，求直线MN扫过矩形ABCD的面积S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围解：（1）令直线y=x4的y=0得：x4=0，解得：x=4，点M的坐标为（4，0）由函数图象可知：当t=3时，直线MN经过点A，点A的坐

2、标为（1，0）沿x轴的负方向平移3个单位后与矩形ABCD相交于点A，y=x4沿x轴的负方向平移3个单位后直线的解析式是：y=x+34=x1，点A的坐标为（1，0）；由函数图象可知：当t=7时，直线MN经过点D，点D的坐标为（3，0）AD=4矩形ABCD的面积=ABAD=42=8（2）如图1所示；当直线MN经过点B时，直线MN交DA于点E点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（1，2）设直线MN的解析式为y=x+c，将点B的坐标代入得；1+c=2c=1直线MN的解析式为y=x+11将y=0代入得：x+1=0，解得x=1，点E的坐标为（1，0）BE=2a=2如图2所示，当直线MN经过点C时，直线MN

3、交x轴于点F点D的坐标为（3，0），点C的坐标为（3，2）设MN的解析式为y=x+d，将（3，2）代入得：3+d=2，解得d=5直线MN的解析式为y=x+5将y=0代入得x+5=0，解得x=5点F的坐标为（5，0）b=4（5）=9（3）当0t3时，直线MN与矩形没有交点s=0当3t5时，如图3所示；S=；当5t7时，如图4所示：过点B作BGMN由（2）可知点G的坐标为（1，0）FG=t5S=SBEFG+SABG=2（t5）+=2t8当7t9时，如图5所示2FD=t7，CF=2DF=2（t7）=9tS=SABCDSCEF=8=综上所述，S与t的函数关系式为S=【过关检测】1、（2016徐州二模）

4、如图，直线y=4x与两坐标轴分别相交于A、B点，点M是线段AB上任意一点（A、B两点除外），过M分别作MCOA于点C，MDOB于点D（1）当点M在AB上运动时，则四边形OCMD的周长=（2）当四边形OCMD为正方形时，将正方形OCMD沿着x轴的正方向移动，设平移的距离为a（0a4），在平移过程中，当平移距离a为多少时，正方形OCMD的面积被直线AB分成1：3两个部分？解：（1）设OC=x，则CM=4xMCOA，MDOB，ODOC，四边形OCMD为矩形，四边形OCMD的周长=OD+OC+CM+DM=2（CO+CM）=2（x+4x）=24=8故答案为：8（2）当四边形为OCMD为正方形时，OC=C

5、M，即x=4x，解得：x=2，S正方形OCMD的面积=4正方形OCMD的面积被直线AB分成1：3两个部分，两部分的面积分别为1和3当0a2时，如图1所示：3直线AB的解析式为y=4x，BAO=45MME为等腰直角三角形MM=MEMM2=1MM=，即a=当2a4时，如图2所示：BAO=45，eqoac(,EO)A为等腰直角三角形EO=OAOA2=1，解得：OA=将y=0代入y=4x得；4x=0，解得；x=4，OA=4OO=4，即a=4综上所述，当平移的距离为a=或a=4时，正方形OCMD的面积被直线AB分成1：3两个部分【补救练习】（2016春澄城县期末）如图，直线y=kx+6分别与x轴、y轴相

6、交于点E和点F，点E的坐标为（8，0），点A的坐标为（0，3）（1）求k的值；4（2）若点P（x，y）是第二象限内的直线上的一个动点，当点P运动过程中，试写出OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）探究：当P运动到什么位置时，OPA的面积为，并说明理由【解答】解：（1）直线y=kx+6分别与x轴、y轴相交于点E和点F，点E的坐标为（8，0），0=8k+6，k=；（2）如图，过P作PHOA于H，点P（x，x+6）是第二象限内的直线上的一个动点，PH=|x|=x，而点A的坐标为（0，3），S=3（x）=x（8x0）；（3）当S=时，x=，y=P坐标为（，）【题型二】一次函数

7、的角度问题【例1】（2016河西区一模）如图，将一个正方形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，其中A（1，0），C（0，1），P为AB边上一个动点，折叠该纸片，使O点与P点重合，折痕l与OP交于点M，与对角线AC交于Q点（）若点P的坐标为（1，），求点M的坐标；（）若点P的坐标为（1，t）5求点M的坐标（用含t的式子表示）（直接写出答案）求点Q的坐标（用含t的式子表示）（直接写出答案）（）当点P在边AB上移动时，QOP的度数是否发生变化？如果你认为不发生变化，写出它的角度的大小并说明理由；如果你认为发生变化，也说明理由解：（）过M作MEx轴于点E，如图1，由题意可知M为OP中点，E为OA中点，

8、OE=OA=，ME=AP=，M点坐标为（，）；（）同（），当P（1，t）时，可得M（，t）；过Q点作QDOA于D，作QEAB与E，连接QPQ点在AC上，QD=AD=AE=QE，在RtOQD和eqoac(,Rt)OPE中，RtOQDeqoac(,Rt)OPE，OD=PE，设OD=PE=x，则AD=1x，AE=t+x，则1x=t+x，解得x=，QD=AE=t+x=Q点坐标为（，）（）不变化，QOP=456理由如下：由（）可知Q点坐标为（，），根据勾股定理得，OQ2=OD2+QD2=（）2+（）2=，QP=OQ，OP2=OA2+AP2=1+t2，OQ2+QP2=OP2，OPQ是以OP为斜边的等腰直角

9、三角形，QOP=45，即QOP不变化【过关检测】1、（2016同安区一模）当某一面积S关于某一线段x是一次函数时，则称S是关于x的奇特面积如图，BAC=45，点D在AC边上，且DA=2点P，Q同时从D点出发，分别沿射线DC、射线DA运动，P点的运行速度是Q点的倍，当点Q到达A时，点P，Q同时停止运动过点Q作AC的垂线段QR，使QR=PQ，连接PR设QD=x，PQR和BAC重叠部分的面积为S，请问S是否存在关于x的奇特面积？若存在，求奇特面积S关于x的函数关系式；若不存在，请说明理由解：（）过M作MEx轴于点E，如图1，7由题意可知M为OP中点，E为OA中点，OE=OA=，ME=AP=，M点坐标

10、为（，）；（）同（），当P（1，t）时，可得M（，t）；过Q点作QDOA于D，作QEAB与E，连接QPQ点在AC上，QD=AD=AE=QE，在RtOQD和eqoac(,Rt)OPE中，RtOQDeqoac(,Rt)OPE，OD=PE，设OD=PE=x，则AD=1x，AE=t+x，则1x=t+x，解得x=，QD=AE=t+x=Q点坐标为（，）（）不变化，QOP=45理由如下：由（）可知Q点坐标为（，），根据勾股定理得，OQ2=OD2+QD2=（）2+（）2=，QP=OQ，OP2=OA2+AP2=1+t2，OQ2+QP2=OP2，OPQ是以OP为斜边的等腰直角三角形，QOP=45，即QOP不变化8

11、【补救练习】1、（2016泉州模拟）在平面直角坐标系中，直线y=+3与x轴、y轴相交于B、C两点，动点D在线段OB上，将线段DC绕着点D顺时针旋转90得到DE，过点E作直线lx轴于H，过点C作CFy轴，交直线l于F，设点D的横坐标为m（1）请直接写出点B、C的坐标；（2）当点E落在直线BC上时，求的值；解：（1）直线y=+3与x轴、y轴相交于B、C两点，令y=0，则0=+3，解得x=5，令x=0，则y=3，B（5，0），C（0，3）；（2）如图1，CDE=90，CDO+EDH=90，CDO+OCD=90，OCD=EDH，在OCD和HDE中，9OCDHDE（AAS），DH=OC=3，直线lx轴于

12、H，CFy轴，四边形COHF是矩形，FH=OC=3，DH=HF，HDF=45，即HDE+FDE=45，CD=DE，CDE=90，DCE=45，OCD+ECF=45，ECF=FDE，OBC=ECF，=【题型三】一次函数与等腰直角三角形综合【例1】13-14华伦八下期末）如图，在平面直角坐标系中，点A（12，0），K（4，0）过点A的直线y=kx-4交y轴于点N过K点且垂直于x轴的直线与过A点的直线y=2x+b交于点M（1）试判断AMN的形状，并说明理由；E（2）将AN所在的直线l向上平移平移后的直线l与x轴和y轴分别交于点D、当直线l平移时（包括l与直线AN重合），在直线MK上是否存在点eqoa

13、c(,P)，使得PDE是以DE为直角边的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由（一次函数和等腰直角三角形综合问题，利用等腰构造的全等解题。对应过1，补1）10【答案】11【过关检测】1、如图，已知平面直角坐标系中，点A的坐标为（a，0），点B的坐标（0，b），且(a2)2|b4|0.（1）a=_，b=_。（2）求直线AB的函数解析式；（3）过原点O作直线y=mx，点C为直线y=mx上一点，问：是否存在实数eqoac(,m)，使ABC恰好是以点A为直角顶点的等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由。（相对比较简单）12答案：（1）a=2，b=4

14、（2）y=-2x+4（3）C（6,2）m=13x的图3C1（-2，-2），m=1【补救练习】1、（14-15延安八下期中）如图，一次函数yx7与正比例函数y4像交于点A，且与x轴交于点B，过点A作ACy轴于点C。动点P从点O出发，以每秒1个单位的速度，沿OCA的路线向A运动，同时点R以相同速度从B出发沿BO方向运动，过R作x轴的垂线交直线AB于点Q。当点P到达点A时，点R停止运动。在运动过程中，设动点P的运动时间为t秒。（1）求点A和点B的坐标。（2）当点P在线段OC上运动时，设APR的面积为S，求S与t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围（）（3）是否存在t值，使得APQ为等腰直角三角

15、形？若存在，求出t的值：若不存在，请说明理由。1314【题型四】一次函数与平行四边形综合【例1】如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的AB边在x轴上，AB=3，AD=2，经过点C的直线y=x-2与x轴、y轴分别交于点E、F（1）求：点D的坐标；经过点D，且与直线FC平行的直线的函数表达式；（2）在平面直角坐标系内确定点M，使得以点M、D、C、E为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点M的坐标（平行四边形三定一动模型，对应过关1，补救1）15（2）若四边形PQOB的面积是11【过关检测】1、如图，在平面直角坐标系xoy中，已知直线PA试一次函数y=x+m（m0）的图象，直线PB是一次函数

16、y=-3x+n（nm）的图象，点P是两直线的交点，点A、B、C、Q分别是两条直线与坐标轴的交点（1）用m、n分别表示点A、B、P的坐标及PAB的度数；2，且CQ：AO=1：2，试求点P的坐标，并求出直线PA与PB的函数表达式；（3）在（2）的条件下，是否存在一点D，使以A、B、P、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由答案：（1）A（-m，0）B（n4，n+3mP（nm3，0）4）PAB=45（2）m=4，n=6P（，）PA：y=x+4PB：y=-3x+6(3)存在，D（13，），D（-119，），D（-，）222222192259-122【补救练习】16如图，直线l1的解析表达式为：y=3x+3，且l1与x轴交于点D，直线l2经过点A，B，直线l1，l2交于点C（1）求直线l2的函数关系式；（2eqoac(,）求)ADC的面积；（3）若点H为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点H，使以A、D、C、H为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）设直线l2的函数关系式为y=kx+b，当x=4时，y=0；当x=3时，y=，代入得：，16解得：，则直线l2的函数关系式为y=x6；（2）由直线l1：y=3x+