中考数学复习学案：专题复习七+几何图形综合题+题型1+与三角形、四边形有关的几何综合题(人教版含答案)

1、第 页共17页几何图形综合题几何图形综合题是四川各地中考的必考题，难度较大，分值也较大，要想在中考中取得较高的分数，必须强化这类题目的训练题型1与三角形、四边形有关的几何综合题类型1操作探究题如图，点P是正方形ABCD内一点，点P到点A,B和D的距离分别为1,2蠱，远0.ADP沿点A旋转至ABP,连PP,并延长AP与BC相交于点Q.P（1）求证：AAPP是等腰直角三角形；求ZBPQ的大小；求CQ的长.【思路点拨】（1）利用旋转相等的线段、相等的角APP是等腰直角三角形；（2）利用勾股定理逆定理证BPP是直角三角形，再利用（1）的结论，得ZBPQ的大小；（3）过点B作BM丄AQ于M,充分利用等腰

2、直角三角形、直角三角形的性质，特别是锐角三角函数，先求得正方形的边长和BQ的长，进而求得CQ的长度.【解答】（1）证明：由旋转可得：AP=APz,ZBAPz=ZDAP.四边形ABCD是正方形，.ZBAD=90.ZPAPz=ZPAB+ZBAPz=ZPAB+ZDAP=ZBAD=90.APP是等腰直角三角形.（2）由（1）知ZPAP=90,AP=AP=1,PP=V2.PB=PD=：70,PB=2；2,PB2=PP2+PB2.ZPPB=90.APP是等腰直角三角形，.ZAPP=45.ZBPQ=1809045=45.过点B作BM丄AQ于M.VZBPQ=45,.PMB为等腰直角三角形.由已知，BP=;2,

3、.BM=PM=2.AM=AP+PM=3.在RtAABM中，AB=AM2+BM2=1；32+22=冷13.AMAB口口3V13COSZQAB=AB=AQ，即而=百，AQ=13亍.QC=BCBQ=；73213尹13=亍.1图形的旋转涉及三角形的全等，会出现相等的线段或者角若旋转角是直角，则会出现等腰直角三角形，若旋转角是60度，则会出现等边三角形2旋转的题目中若出现三条线段的长度，则不妨考虑通过旋转将条件集中，看是否存在直角三角形针对训练31在AABC中，AB=AC=5,cosZABj，将“Be绕点C顺时针旋转得到A1B1C.图1图2如图1,当点片在线段BA延长线上时.求证：BBCAj求ABC的面

4、积;(2)如图2,点E是BC上的中点，点F为线段AB上的动点，在厶ABC绕点C顺时针旋转过程中，点F的对应点是.，求线段Eg长度的最大值与最小值的差.2将两块全等的三角板如图1摆放，其中ZA1CB1=ZACB=90，ZA1=ZA=30.图1图2图34将图1中的A1B1C顺时针旋转45。得图2,点P是AR与AB的交点，点Q是A占与BC的交点，求证：CP1=CQ；在图2中，若AP=2，则CQ等于多少？如图3,在Bp上取一点E,连接BE、P设BC=1，当BE丄P时，求PE面积的最大值3.如图，在等边AABC中，AB=3,D,E分别是AB,AC上的点，且DEBC，将ADE沿DE翻折，与梯形BCED重叠

5、的部分为图形L.求厶ABC的面积；设AD=x，图形L的面积为y,求y关于x的函数解析式;(3)已知图形L的顶点均在00上，当图形L的面积最大时，求00的面积.类型2动态探究题如图1,四边形ABCD中,ZB=ZD=90，AB=3,BC=2,tanA=4.求CD边的长；如图2,将直线CD边沿箭头方向平移，交DA于点P,交CB于点Q(点Q运动到点B停止),设DP=x，四边形PQCD的面积为y,求y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围.AA图1图2【思路点拨】分别延长AD、BC相交于E,通过构造的RtAABE、RtADCE求解;利用EDCs&PQ及S四边形pqcd=LpqDC求解【解答】(1)分

6、别延长AD、BC相交于E.AB=3,BE=4.BC=2,EC=2.在RtAABE中，AE=-jAB2+BE2=*3Ti2=5.sinE=T5DCEC6cd=5VZB=ZADC=90,ZE=ZE,ZECD=ZA.4tanZECD=tanA=.EDED48CD=T=3,解得ED=5.5如图4,A图4由PQDC，可知EDCsEPQ,86.EDDC.55口口6,3EP=PQ.8=PQ，即PQ=5+4X5+xVS=S-S,四边形PQCDEPQEDC11y=2PQEP-严ED1/63、/8、168=2(5+4x)(5+x)-2x5x53丄6=8x2+尹8如图5,当Q点到达B点时，EC=BC,DCPQ,可证

7、明DCEAHQC,从而得CH=ED=,58自变量x的取值方范围为：OVxW?5h动态型问题包括动点、动线、动形问题，解动态问题的关键就是：从特殊情形入手，变中求不变，动中求静，抓住静的瞬间，以静制动，把动态的问题转化为静态的问题来解决本题化动为静后利用三角形相似列比例式，表示出相关线段的长，求出函数关系针对训练如图，点B在线段AC上，点D,E在AC的同侧，ZA=ZC=90,BD丄BE,AD=BC.若AD=3,AB=5,点P为线段AB上的动点，连接DP,作PQ丄DP,交直线BE于点Q.DP当点P与A,B两点不重合时，求pQ的值；当点P从A点运动到AC的中点时，求线段DQ的中点所经过的路径（线段）

8、长.（直接写出结果,不必写出解答过程）如图1,矩形ABCD的两条边在坐标轴上，点D与坐标原点0重合，且AD=8,AB=6,如图2,矩形ABCD沿0B方向以每秒1个单位长度的速度运动，同时点P从A点出发也以每秒1个单位长度的速度沿矩形ABCD的边AB经过点B向点C运动，当点P到达C时，矩形ABCD和点P同时停止运动，设点P的运动时间为t秒.(1)当t=5时，请直接写出点D、点P的坐标;(2)当点P在线段AB或线段BC上运动时，求出PBD的面积S关于t的函数关系式，并写出相应t的取值范围;点P在线段AB或线段BC上运动时，作PE丄x轴，垂足为点E,当卩已0与4BCD相似时,求出相应的t值.如图，在

9、边长为2的正方形ABCD中，G是AD延长线上的一点，且DG=AD，动点M从A点出发，以每秒1个单位的速度沿着A、C、G的路线向G点匀速运动(M不与A、G重合)，设运动时间为t秒，连接BM并延长交AG于N.是否存在点M,使厶ABM为等腰三角形？若存在，分析点M的位置；若不存在，请说明理由;BC当点N在AD边上时，若BN丄HN,NH交ZCDG的平分线于H,求证：BN=NH；过点M分别作AB、AD的垂线，垂足分别为E、F,矩形AEMF与厶ACG重叠部分的面积为S,求S的最大值.类型3类比探究题已知AC,EC分别为四边形ABCD和EFCG的对角线，点E在厶ABC内，ZCAE+ZCBE=90.如图1,当

10、四边形ABCD和EFCG均为正方形时,连接BF.求证：CAEsCBF；若BE=1,AE=2，求CE的长.(2)如图2,当四边形ABCD和EFCG均为矩形，且ABBCEFFC=k时，若BE=1,AE=2,CE=3,求k的值；(3)如图3,当四边形ABCD和EFCG均为菱形，且ZDAB=ZGEF=45时，设BE=m,AE=n,CE=p，试探究m,n,p三者之间满足的等量关系.(直接写出结果，不必写出解答过程)【思路点拨】(1)利用“夹这个角的两边对应成比例”得ACAEsACBF,进而证明ZEBF=90。，利用勾股定理求EF,进而求CE；类比(1)解题思路以及相似三角形性质得到对应边成比例，进而用含

11、有k的式子表示出CE,BF,并建立CE2,BF2的等量关系，从而求出k；类比(1)、(2)的思路及菱形的性质找m,n,p的关系.【解答】VZACE+ZECB=45,ZBCF+ZECB=45,AZACE=ZBCF.,AC=CE=厂BC=CF=2,CAEsCBF.需=需=迈,ae=2,：bf=V2.由厶CAEsCBF可得ZCAE=ZCBF.又ZCAE+ZCBE=90,AZCBF+ZCBE=90。，即ZEBF=90.EF=*BE2+BF2;3.ce=Sef=品连接BF,同理可得ZEBF=90,CF：EF：EC=1：k：；k2+l.由BB=EF=k，可得BC：AB：AC=l：k：,BCFCBC春AE,

12、BF2=AE2k汁1./.CE2=k71xEF2=(BE2+BF2),k2k2k?+l2即“十+丙)，解得A丁.p2n2=(2+冷2)皿2.提示：连接BF,同理可得ZEBF=90,过C作CH丄AB,交AB延长线于H,可解得AB2:BC2:AC2=1：1：(2+p2),EF2:FC2:EC2=1：1：(2,2),p2=(2+p2)EF2=(2+i/2)(BE2+BF2)=(2+/2)(m2+2；显)=(2+；2)m2+n2.本例是将某一问题的解决方法，运用到解决不同情境下的类似问题，这类题充分体现了实践性、探究性，其解答思路的突破点是紧扣题中交代的思想方法，结合不同情境中对应知识来解决问题针对训

13、练1阅读下列材料：bm+anmn如图1,在梯形ABCD中，ADBC，点M,N分别在边AB,DC上，且MNAD，记AD=a,BC卄AMm亠，丄、人=b若MB=n，则有结论：MN=请根据以上结论,解答下列问题：如图2,图3,BE,CF是厶ABC的两条角平分线，过EF上一点P分别作ABC三边的垂线段PP,PP,PP，交BC于点P，交AB于点P，交AC于点P.123123若点P为线段EF的中点.求证：PP=PP+PP；123图1图2图3（2）若点P为线段EF上的任意位置时，试探究PP1,PP2,PP3的数量关系，并给出证明.2.问题：如图1,点E、E分别在正方形ABCD的边BC、CD上，ZEAF=45

14、，试判断BE、EF、FD之间的数量关系发现证明小聪把ABE绕点A逆时针旋转90至厶ADG,从而发现EF=BE+FD，请你利用图1证明上述结论类比引申如图2,四边形ABCD中，ZBADM90,AB=AD，ZB+ZD=180，点E、F分别在边BC、CD上，则当ZEAF与ZBAD满足关系时，仍有EF=BE+FD.探究应用如图3,在某公园的同一水平面上，四条道路围成四边形ABCD.已知AB=AD=80米，ZB=60,ZADC=120,ZBAD=150,道路BC、CD上分别有景点E、F,且AE丄AD,DF=40（寸31）米，现要在E、F之间修一条笔直道路，求这条道路EF的长（结果取整数，参考数据：1.4

15、1,迈1.73）.参考答案类型1操作探究题(1)证明：AB=AC,ZB=ZACB.BC=BC,1第 页共17页.ZCBB=ZB.1又由旋转性质得ZA1CB1=ZACB,.ZCBB=ZACB.111BBCA.11过A作AG丄BC于G,过C作CH丄AB于H.AB=AC,AG丄BC,BG=CG.亠、BG3在RtAAGB中，cosZABC=匚，AB=5,AB5BG=3.BH=BH.BB=2BH.11BC=6.BC=BC=6.TBC=BC,CH丄AB,11亠、BH3TOC o 1-5 h z在RtABHC中，cosZABC=t,24BC518363611iBH=.BB=.AB=BBAB=5=,CH=t；

16、BC2BH25151155人111124132.SAABCABCHXuX=.12125525(2)过点C作CF丄AB于F,以点C为圆心，CF为半径画圆交BC于.，此时EJ最小.24此时在RtABFC中，CF=524:.CF=15EF的最小值为CFCE=以点C为圆心，BC为半径画圆父BC的延长线于F1,此时EF1有最大值.此时EFEC+CF=3+6=9.1936线段EF1的最大值与最小值的差95=丁(1)证明:VZBCB=45,ZBCA=90,fZBCQ=ZBCP,11.ZBCQ=ZBCP=45.在BCQ和厶BCP中，1B1C=BC,、ZB=ZB,1BCQABCP.CQ=CP.111(2)作PD

17、丄CA于D,VZA=30,1.PDAP=1.121VZPCD=45,1.CP=2PD；2.TCP；=CQ,，CQ=S.TZACB=90,ZA=30,AC=BC.TBE丄pB,ZABC=60,.ZCBE=30.1ZCBE=ZA.由旋转的性质可得：ZACPZBCE,APCsBEC.1AP:BE=AC：BC=“3:1.1屈设AP=x，则BE=x，在RtAABC中，ZA=30,AB=2BC=2.BP=2-x.11也/、曇巫近、逼SPBE=X*X(2x)=*X2+，x=于(x-1)212363663一丁0,6当x=1时，小単面积的最大值为孑3.(1)作AH丄BC于H,ZAHB=90.在RtAAHB中，A

18、H=ABsinB=3Xsin603XS2ABCy=SADE-作AG丄DE于G,ZAGD=90,ZDAG=30.DE=x,AG=x.蠱XX2x逅y=4x2.如图2,当1.5VxV3时，作MG丄DE于G,.AD=x,.DE=AD=x,BD=DM=3x.DG=1（3x）,MF=MN=2x3.MG=（3-x）.y=y（1.5VxV3）.（2x3+x）2（3x）当0VxW1.5时，y=严x2，Ta=半0,开口向上，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，.x=1.5时，y最大=,如图3,当1.5x3时，y=x2+/3x呼（4x）=（x2”+翠33333393417，.y最大时，x=2.图3.DE=AD=2,B

19、D=DM=1.作FO丄DE于0,连接MO,ME.DO=OE=1.DM=DO.VZMDO=60,.MDO是等边三角形.ZDMO=ZDOM=60,MO=DO=1.MO=OE,ZMOE=120.ZOME=30.ZDME=90.:DE是直径，S=nX12=K.O类型2动态探究题1.(1)证明：TBD丄BE,A,B,C三点共线，ZABD+ZCBE=90.VZC=90,AZCBE+ZE=90.AZABD=ZE.又VZA=ZC,AD=BC,DAB9ABCE(AAS).AB=CE.AC=AB+BC=AD+CE.连接DQ,设BD与PQ交于点F.TZDPF=ZQBF=90,ZDFP=ZQFB,人人DFPFDFPs

20、QFB.=zz.QFBF又VZDFQ=ZPFB,DFQsAPFB.ZDQP=ZDBA.tanZDQP=tanZDBA.即在RtADPQ和RtADAB中,DP=DApq=Ab.*.*AD=3,AB=CE=5,.dp=3PQ=5.过Q作QH丄BC于点H.VPQ丄DP,ZA=ZH=90,PH=5.VAP=PC=4,AB=PH=5,PB=CH=1.TOC o 1-5 h zECBC5320TEC丄BH,QH丄BH,=.=;.QH=QHBHQH4320124听在RtABHQ中，BQ=：JBH+QH2=()2+(3)2=32x/34MN是厶BDQ的中位线，MN=.2.(1)D(4,3),P(12,8).(

21、2)当点P在边AB上时，BP=6t.S=2bPAD=2(61)8=41+24.当点P在边BC上时，BP=t6.S=1bPAB=2(t6)6=3118.4t+24(OWtW6),3t18(6VtW14).4348(3)TD(51,51),当点P在边AB上时，P(518,51).8518_6，解得1_2o.1+858PE_CDOE=CB1_6解得_若PE_CB时_8,解得t_6-右0E_CD时5VOWtW6,1_20时，点P不在边AB上,不合题意.13PECD当点p在边BC上时，P(-14+51，51+6)若旷BC时,31+65114516_8，解得1=6.pe_bcoe_CD31+6511451

22、8_6,解得1_190ITV6W1W14，1_詈时,点P不在边BC上，不合题意.当1_6时，APEO与厶BCD相似.(1)当点M为AC的中点时，有AM_BM,贝ABM为等腰三角形；当点M与点C的重合时,BA_BM，则ABM为等腰三角形；当点M在AC上且AM_2时，AM_AB,则AABM为等腰三角形；当点M为CG的中点时，有AM_BM，贝ABM为等腰三角形.证明：在AB上取点K,使AK_AN，连接KN.VAB_AD，BK_ABAK，ND_ADAN，BK_DN.又DH平分直角ZCDG,ZCDH_45.ZNDH_90+45_135VZBKN_180ZAKN_135,ZBKN_ZNDH.V在RtAAB

23、N中，ZABN+ZANB_90,又BN丄NH,即ZBNH_90,AZANB+ZDNH_180ZBNH_90./.ZABN_ZDNH.AABNKNHD(ASA),BN_NH.当M在AC上时,VAM_1,AF_FM_即0VtW2/2时，易知：AMF为等腰直角三角形.普1s_2affm_2%Wtz当M在CG上时，即时，CM_1AC_1.2,MG_；21.VAD_DC,ZADC_ZCDG,CD_CD,曇=4壘t242LS=SSSACGMCJFMG=jx4X21CMCM2FGFM=41(t2讨2)22.ACD9AGCD(SAS).ZACD=ZGCD=45ZACM=ZACD+ZGCD=90.ZG=90ZG

24、CD=9045=45.MFG为等腰直角三角形.FG=MGcos45=(4/2t)t)2=-4t2+4；j21-8.-13.S=412(OVtW2边)，一412+4迪t8(2/2VtV4A/2).在OVt范围内，当t=2$2时，S的最大值为1X(2$2)2=2；在2迈VtV4S范围内，S=1(t$)2+|.当t=尹时，S的最大值为|2,当t=羊秒时，S的最大值为|.类型3类比探究题(1)证明：过点E作ER丄BC于点R，ES丄AB于点S.BE为角平分线，ER=ES.过点F作FM丄BC于点M,FN丄AC于点N,同理FM=FN.ES丄BA,PP丄AB，2.PPES.同理得PPFN,FMPPER.2|1

25、/点P为EF中点，PPES,2.FPPsFES.2.ES=2PP，同理FN=2PP.2|.FM=2PP，ER=2PP.|2FP1在梯形FMRE中，FMPPER,亦=,.根据题设结论可知：=PP+PP.23ERX1+FMX1ER+FM2PP+2PPPPi=1+13(2)探究结论：PP=PP+PP123证明：过点E作ER丄BC于点R,ES丄AB于点S,则有ER=ES.FPm过点F作FM丄BC于点M,FN丄AC于点N,则有FM=FN.点P为EF上任意一点，不妨设=-,PEnPFmPEn则一一EFm+nEFm+nPPPFnPPES,2ESEFm+nm+nES一PP.m2PPPE7PP3#fn，.崙一沪mm+nm+nPP.ER一PP,n3m2m+nFM=PP