中考专题四四边形

1、1、23456789123456、专题四：四边形复习目标掌握四边形内角和与外角和都等于360的性质；了解四边形的不稳定性的应用及放止不稳定性的措施。理解多边形的有关概念；理解多边形的内角和定理及其推论，会用多边形内角和定理、外角和定理进行计算。会用平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的性质和判定进行计算和证明，能够计算平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的面积。了解中心对称和中心对称图形的概念，掌握中心对称的性质，并且能够解释现实生活中的有关现象。掌握梯形、等腰梯形、直角梯形等概念，掌握等腰梯形“同一底上的两角相等和两条对角线相等”的性质，掌握等腰梯形的判定定理，并且能够熟练地应用这些知识进行

2、有关的计算和证明。掌握平行线等分线段定理及其推论，会用它等分一条已知线段，掌握梯形中位线定理，会用它们进行有关的计算和证明。会用割、补等方法计算特殊四边形的面积和不规则图形的面积。知道任意一个三角形、四边形和正六边形可以密铺，并且运用这几种图形进行简单的密铺设计。本专题重点考查方程思想、对称思想及转化思想，并且考查识别图形的能力、动手操作的能力、运用几何知识解决实际问题的能力以及探索问题、发现问题的能力。知识要点：四边形的有关概念：（1）四边形的定义：在平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫做四边形。（2）凸四边形：把四边形的任何一边向两方延长，如果其他各边都在延长线的同一

3、旁，这样的四边形都是凸四边形。（3）、四边形的对角线：在四边形中，连接不相邻的两个顶点的线段叫四边形的对角线。（4）、四边形的内角：四边形不相邻的两边所组成的角叫做四边形的内角。（5）、四边形的外角：四边形角的一边与另一边的延长线组成的角叫做四边形的外角。（1）、四边形的内角和定理：四边形的内角和等于360。（2）、多边形的内角和定理：n边形的内角和等于（n-2）.180（1）、四边形的外角和定理：四边形的外角和等于360。（2）、多边形的外角和定理：n边形的外角和等于360。多边形的对角线：（1）从n边形的一个顶点可以引（n-3）条对角线，并且将n边形分成（n-2）个三角形。（2）n边形共有

4、n（n-3）条对角线。平行四边形的定义：2（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。（2）表示：平行四边形用符号“”来表示。平行四边形的性质：边角-两组对边分别平行且相等。对角相等、邻角互补。（3）对角线对角线互相平分。7、平行四边形的面积：（1）计算公式：5=底乂高（2）等底等高的平行四边形面积相等，等底等高的三角形的面积是平行四边形的面积的一半。8、平行四边形的判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。（1）边两组对边分别相等的四边形是平行四边形。一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。（2）角两组对角分别相等的四边形是平行四边形。（3）对角线对角线互相平分的四边形是平行四边形。

5、9、矩形：（1定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。厂边：矩形的对边平行且相等（2）性质：矩形有平行四边形的一切性质角：矩形的四个角都是直角匚对角线：对角线互相平分且相等10：菱形：（1）定义：有义组邻边相等的平行四边形是菱形。厂边：对边平行、四边相等（2）性质角：对角相等、邻角互补-对角线：互相垂直平分、每一条对角线平分一组内角四边相等的四边形是菱形有一组邻边相等的平行四边形是菱形-对角线互相垂直的平行四边形11、正方形：（1）定义：有一个角是直角并且有一组邻边相等的平行四边形叫正方形边：对边平行、四边相等（2）性质：角：四个角是直角一对角线：互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组内角有一

6、组邻边相等的矩形是正方形（3）判定：有一个角是直角的菱形是正方形对角线互相平分且相等的四边形是正方形1-有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形13、中心对称：（1）定义：把一个图形围绕某一点旋转180，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点成中心对称。这个点叫做对称中心。关于中心对称的两个图形是全等形关于中心对称的两个图形，其对称点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称14、梯形：（1）定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫梯形。2）梯形的分类：梯形一般梯形r

7、直角梯形特殊梯形有一组对边平行而另一组对边不平行的四边形是梯形（3）梯形的判定L一组对边平行但不相等的四边形是梯形厂边：两底平行、两腰相等（4）等腰梯形的性质角：同一底上的两个角相等对角线：对角线相等匸等腰梯形是轴对称图形，底边的中垂线是对称轴5）等腰梯形的判定：厂两腰相等的梯形是等腰梯形同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形丄对角线相等的梯形是等腰梯形6）梯形常见的辅助线：15、平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上截得的线段也相等。推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线必平分另一腰推论2：经过三角形一边中点与另一边平行的直线必平行第三边16、梯形的中

8、位线：（1）定义：连结梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线（2）定理：梯形的中位线平行于两底并且等于两底和的一半（3）梯形的面积：梯形的面积等于中位线与高的积三、考点分析：四边形的知识是中考的重要内容，几乎覆盖了全国各地的每一份中考试卷，试题的形式涉及填空题、选择题、解答题等多种形式，试题的内容大多数都聚集在平行四边形、矩形和梯形，伴有菱形、正方形、多边形和中心对称问题。这部分内容大多以考查基础知识为主，在中考试卷中，很多试题都是由教材中的例题或练习题改造加工变形而来，由于这部分试题源于课本，所以难度不大，考生都能接受。但是，也由一些试题不容忽视，例如与四边形有关的开放探索性问题、与相似形、一元二

9、次方程、三角函数、圆、函数等知识构建起的综合题。近两年来，四边形知识在中考中所占的比例由所上升，分值由2002年的8%左右上升到2003年的10%左右。据分析，2004年中考有关四边形的试题将在保持原有的题型的基础上，还将会在归纳、猜想、方案设计、阅读、开放、探索的题型上加大力度，增强操作性，体现应用性。四、例题分析：例1：一个多边形的每一个内角都等于144，求这个多边形的边数。分析：次题可以反用多边形的内角和定理，也可以用多边形的外角和定理来求解解法一：设所求的边数为n根据多边形内角和定例，得（n-2）.180=144。.n解得n=10解法二：因为多边形的外角是与它有公共顶点的内角的邻补角,

10、所以这个多边形的每个外角是180-144=36设所求的边书为n，根据多边形的外角和定理,得36.n=360解得n=10例2：（2003年四川省中考试题）下列命题中，真命题是（）A：有两个边相等的平行四边形是菱形B：有一个角是直角的四边形是矩形C：四个角相等的菱形是矩形D：两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形分析：由各类平行四边形的判定方法可知，A、B、D都不对。其中（A）缺少了“两邻边”的条件；（B）缺少了“平行四边形”的条件；（D）缺少了“对角线互相平分”的条件；（C）中四边形的四个角相等均为90,所以一定是矩形，既是矩形又是菱形的四边形当然是正方形。因此应该选（C）例3：如图所示各图中

11、，每个正方形都是由四个边长为1的小正方形组成，其中阴影部分面积为一的是（）2分析：方法一：求阴影部分面积，可以用正方形面积减去三角形面积得到A：S阴=S正方形-2丄=42X1-X1X2=22B：S阴=S正方形-2Sa=2C：S阴=S正方形S大-2S小厶=411=2D：S阴=S正方形一S大-所以应该选择（D）方法二：阴影部分面积为正方形面积减去一些三角形面积得到。经过观察发现：A、B、C中减去的三角形面积都是正方形面积的一半A为左一半右一半B为一边一半C为上一半下一半。只有D符合要求。所以应该选择D方法三：利用皮克公式即计算点阵多边形面积公式（北师大七年级下册教材第四页读一读）S=a+-b12其

12、中a表示多边形内部的点的个数，b表示多边形边界上的数。A：a=1b=4S=1+12X41=2B：a=1b=4S=2C：a=1b=4S=21X5=5D：a=1b=5S=1+所以应该选择（D）22例4：一个正方形的边角料如图所示，已测得它的六个角均为120，四个边AB=3，BC=2CD=1,DE=4，求EF、AF的长分析：解多边形的问题通常是把多边形转化为三角形的问题来解，此题可延长多边形的不相邻的三条边，把六边性转化为三角形即可求得解：延长AB、CD、EF得AMNC由ZABC=ZBCD=120知ZNBC=NCB=60NBC为等边三角形.NC=BN=BC=2,ZN=60同理：DG=EG=DE=4，

13、ZG=60.MNG为等边三角形.MN=MG=NG=2+1+4=7MF=AF=AM=7ABBN=7-3-2=2EF=GMEGMF=742=1.EF=1AF=2例5：如图，过正方形ABCD的顶点B作BE#AC，且作AE=AC,又CFAE。求证：ZE=2ZBCF分析：证明角的“倍分”问题，一般是采用“加倍”或“折半”的方法来证，但是，由于该题图形的特殊性，不容易达到目的。但是容易发现AEFC是菱形，ZACE=45。如果结论成立，贝9ZACF=AEF=30。所以可利用正方形和菱形的性质通过计算来证明CB证明：连结DB交AC于O,作AH丄EB于H。ABCD是正方形AC丄DB，AO=BOBEAC，AH丄E

14、B.AOBH为正方形AC=AE=2AH=2AO在RtAAEH中，易证ZE=30又BE#AC，CF#AE，AC=AEAEFC是菱形，ZACF=ZE=30,又ZBCF=45,ZBCF=15从而有ZE=2ZBCFPD例6：如图在梯形ABCD中，ADBC,ZB=90,AD=24cm,AB=8cm,BC=24cm动点P从A点开始沿边AD向D以1cm/s的速度运动，动点Q从C点开始沿CB边向B以3cm/s的速度运动，P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒，t分别为何值时，四边形PQCD是：（1）平行四边形？（2）等腰梯形？分析：这是一个集代数、几何、物理于一

15、体的综合题，该题利用到平行四边形的判定、等腰梯形的判定、等腰梯形的性质、物理学中的路程公式等内容，渗透了数形结合、分类讨论等数学思想。解：（1）因为ADBC，只要QC=PD，四边形PQCD就是平行四边形此时有3t=24-t,解得t=6（秒），所以当t=6秒，四边形PQCD是平行四边形。（2）根据等腰梯形的定义，要使四边形PQCD是等腰梯形，则必须有:PQ=CDPD工QC（如图）根据等腰梯形的性质可知：EF=PD,QE=FC=26-24=2此时下底比上底长QE+FC=2+2=4因此有4=3t-（24-t）解得t=7（秒）所以t=7秒是，四边形PQCD是等腰梯形五：方法引导：1、与多边形的角度、边数、对角