三垂线定理应用

1、三垂线定理应用我们已经学习了直线和平面的垂直关系，学新课之前，让我们作个简单的回忆：1直线和平面垂直的定义？2直线和平面垂直的判定定理APo斜线和平面的交点叫做斜足。斜线上一点与斜足间的线段叫做斜线段。 如果一条直线和一个平面相交,但不和这个平面垂直,那么这条直线叫做平面的斜线自一点P向平面 引垂线，垂足A叫做点P在平面 内的正射影（简称射影） 如果a , aAO，思考a与PO的位置关系如何？aAPo PO是平面的斜线, O为斜足; PA是平面的垂线, A为垂足; AO是PO在平面内的射影.PO 平面PAOaPO 三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这

2、条斜线垂直。PAa PAaAOaa平面PAO 如果a , aAO，思考a与PO的位置关系如何？PaAo上述命题反映了平面内的直线、平面的斜线和斜线在平面内的射影这三条直线之间的垂直关系，这就是著名的三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直改变定理的题设和结论，得到逆命题：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直可以用同样的方法证明，这就是三垂线定理的逆定理AO 平面PAOaAO 三垂线逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的垂直，那么它也和这条斜线射影垂直。PAa PAaPOaa平面PAO P

3、aAoPAOa三垂线定理包含几种垂直关系线射垂直PAOa线面垂直 线斜垂直PAOa直 线 和平面垂直平面内的直线和平面一条斜线的射影垂直平面内的直线和平面的一条斜线垂直二、定理内容阐述：1、三垂线定理包括5个要素：一面(垂面)；四线斜线、垂线、射影和平面内的直线。 顺口溜：一定平面，二定垂线，三找斜线，射影可见，直线随便。2、“三垂线的含义：1垂线与平面垂直2射影与平面内的直线垂直3斜线与平面内的直线垂直PCBA例1 P 是平面ABC 外一点， PA平面ABC ，AC BC， 求证： PC BC证明： P 是平面ABC 外一点 PA平面ABC PC是平面ABC的斜线 AC是PC在平面ABC上的

4、射影 BC平面ABC 且AC BC 由三垂线定理得 PC BCM1.直接利用三垂线定理证明以下各题：(1) PA正方形ABCD所在平面，O为对角线BD的中点求证：POBD，PCBD(3) 在正方体AC1中，求证：A1CB1D1，A1CBC1(2) ：PA平面PBC，PB=PC，M是BC的中点，求证：BCAMA D C B A1D1B1C1(1)(2)BPMCA(3)POABCD(1) PA正方形ABCD所在平面，O为对角线BD的中点，求证：POBD，PCBDPOABCD证明:ABCD为正方形 O为BD的中点 AOBD又AO是PO在ABCD上的射影POBD 同理，ACBD AO是PO在ABCD上的射影PCBDPMCAB(2) ：PA平面PBC，PB=PC， M是BC的中点， 求证：BCAMBCAM证明: PB=PCM是BC的中点PM BCPA平面PBCPM是AM在平面PBC上的射影(3) 在正方体AC1中，求证：A1CBC1 ， A1CB1D1 在正方体AC1中 A1B1面BCC1B1且BC1 B1C B1C是A1C在面BCC1