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1、任意实数对的欧氏对局任意实数对的欧氏对局 学夫子前不久我们在 .欧氏对局 .的两篇文章里介绍了欧氏对局,任意给定两个不相等的数 将有下面的结论m和 n,且 nm采纳欧氏对局的规那么,我们的欧氏对局限制在自然数的范畴 , 将会有上面的结果,我们诧异地发觉,打算欧氏对局的,竟然是黄金分割比！详 细可以参考相关文章；假如我们今日将思路扩展一下,最先 的数不限制在自然数,而是一切实数的话,结果会怎样？我们要留意的是,对于任意的两个实数,根据欧氏对局的规 那么不肯定就会显现零,比方 ,3, -3,6- ,9 - 2 ,5 - 12, 2.3,1.5,0.8,0.7,0.1,0.6,0.5,0.4,0.1

2、,0.3,0.2,0.1,0.1 ,0 再比方 1/3 和 1/5 1/3,1/5,2/15,1/15,1/15,0 实际上我们可以看到,假如n 和 m都是有理数的话,最终会显现零,由于将两个有理数化为同分母的分数以后,最终相 减的只是分子在相减,实际上也就相当于两个自然数的情 况；但是假设两个数是无理数,也有可能显现零,比方2和 22,最终就会显现零；假设最终显现的是 0 和 a,其中第 2 页a 为实数,反推回去就会知道,不行能显现无理数,也就是无理数的最终结果肯定是无理数；假如a 为无理数,那么最初的数对只可能是 ka,ha 其中 k 和 h 均为整数的形式,换句话说,只要 n/m 是一

3、个有理数,那最终结果就可以分出胜负；那么这种情形下的胜败情形又是如何？是否和自然数的胜败情形一样的呢？1：假设 n 和 m均为有理数, 将他们化成同分母的分数 m=g/p,n=h/p ；我们可以看到,最终的操作其实只是在分子上进行,所以结果的胜败也就是等同于g 和 h,而 g/h=m/n ,所以我们可以看到,这种情形仍旧满意结论；2：假如 n 和 m都是无理数,并且n/m 是有理数,那么可以令 n=pa,m=qa,其中 a 为一个无理数, 所以实际上后面的进行过程都只是在p 和 q 之间进行,由于a 始终都被带着走,而 p/q=n/m ,所以可以说在这种情形下,仍旧满意欧氏对局的结论；实际上上面全部的争论过程可以归结为：数对 m,n 的胜败与am,an 的胜败是一样的,由于每一步你都可以把公因式带着走；这也符合我们的结论,即胜败只取决于这两个数的比值；以一个例子说明吧：1/3a,0.5a=2/6a,3/6a2/6a,1/6a1/6a,1/6a0,1/6a 大家可以看到, 实际上整个过程就是数对 第 3 页1,2 的对局过程,而对于 1/6a 至始至终都跟着走的；不管a 是整数有理数仍是实数,甚至于是一个多项式,都是一样的道理,所以对于 实数对 n,m 的欧氏对局,我们依旧有下面的结论：1：假设 n/m 不是有理数,那么这样的

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