2022高考数学一轮复习第8章立体几何第9课时二面角练习理

1、2022年高考“最后三十天专题透析PAGE 好教育云平台教育因你我而变PAGE 8教学课件第9课时 二面角1(2022皖南八校联考)四棱锥VABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，其他四个侧面是腰长为3的等腰三角形，那么二面角VABC的余弦值的大小为()A.eq f(r(2),3)B.eq f(r(2),4)C.eq f(r(7),3) D.eq f(2r(2),3)答案B解析如下图，取AB中点E，过V作底面的垂线，垂足为O，连接OE，VE，根据题意可知，VEO是二面角VABC的平面角因为OE1，VEeq r(3212)2eq r(2)，所以cosVEOeq f(OE,VE)eq f(1,

2、2r(2)eq f(r(2),4)，应选B.2.如图，三棱锥SABC中，棱SA，SB，SC两两垂直，且SASBSC，那么二面角ABCS的正切值为()A1 B.eq f(r(2),2)C.eq r(2) D2答案C解析三棱锥SABC中，棱SA，SB，SC两两垂直，且SASBSC，SA平面SBC，且ABACeq r(SA2SB2)，如图，取BC的中点D，连接SD，AD，那么SDBC，ADBC，那么ADS是二面角ABCS的平面角，设SASBSC1，那么SDeq f(r(2),2)，在RtADS中，tanADSeq f(SA,SD)eq f(1,f(r(2),2)eq r(2)，应选C.另解：以S为坐

3、标原点，eq o(SB,sup6()，eq o(SC,sup6()，eq o(SA,sup6()的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，设SA1，那么S(0，0，0)，A(0，0，1)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，eq o(SA,sup6()(0，0，1)，eq o(AB,sup6()(1，0，1)，eq o(AC,sup6()(0，1，1)，易知eq o(SA,sup6()(0，0，1)为平面SBC的一个法向量，设n(x，y，z)为平面ABC的法向量，那么eq blc(avs4alco1(no(AB,sup6()0，,no(AC,sup6()0，)即eq blc(avs4

4、alco1(xz0，,yz0，)令z1，那么n(1，1，1)为平面ABC的一个法向量，所以coseq o(SA,sup6()，neq f(r(3),3)，故二面角ABCS的正切值为eq r(2).3(2022福州质量检测)三棱锥ABCD中，ABC为等边三角形，AB2eq r(3)，BDC90，二面角ABCD的大小为150，那么三棱锥ABCD的外接球的外表积为()A7 B12C16 D28答案D解析此题考查空间直线与平面的位置关系、球的外表积设球心为F，过点A作AO平面BCD，垂足为O，取BC的中点E，连接AE，OE，EF，那么AEO30，AE3，AOeq f(3,2)，OEeq f(3r(3)

5、,2)，ECeq r(3)，外接球球心F在过E且平行于AO的直线上，设FEx，外接球半径为R，那么R23x2(eq f(3r(3),2)2(eq f(3,2)x)2，解得x2，R27，那么外接球的外表积为4R228，应选D.4.(2022浙江温州中学模拟)如图，四边形ABCD，ABBDDA2，BCCDeq r(2).现将ABD沿BD折起，当二面角ABDC处于eq f(,6)，eq f(5,6)的过程中，直线AB与CD所成角的余弦值的取值范围是()Aeq f(5r(2),8)，eq f(r(2),8) Beq f(r(2),8)，eq f(5r(2),8)C0，eq f(r(2),8) D0，e

6、q f(5r(2),8)答案D解析如下图，取BD中点E，连接AE，CE，AEC即为二面角ABDC的平面角而AC2AE2CE22AECEcosAEC42eq r(3)cosAEC，又AECeq f(,6)，eq f(5,6)，AC1，eq r(7)，eq o(AB,sup6()eq o(CD,sup6()2eq r(2)coseq o(AB,sup6()，eq o(CD,sup6()eq o(AB,sup6()(eq o(BD,sup6()eq o(BC,sup6()2ABBCeq f(AB2BC2AC2,2ABBC)1eq f(AC2,2)eq f(5,2)，eq f(1,2)，设异面直线AB

7、，CD所成的角为，0coseq f(1,2r(2)eq f(5,2)eq f(5r(2),8)，应选D.5.如图，平面与平面相交成锐角，平面内的一个圆在平面上的射影是离心率为eq f(1,2)的椭圆，那么_答案eq f(,6)解析如图，经过平面内圆的圆心作平行于和垂直于二面角的棱的两条直径，那么这两条直径在平面上的射影是椭圆的长轴和短轴，那么短轴的延长线和垂直于棱的直径所在直线的夹角为二面角的平面角，记为.因为eeq f(c,a)eq f(1,2)，所以eq f(b,a)eq f(r(3),2)，故coseq f(b,a)eq f(r(3),2)，解得eq f(,6).6.(2022甘肃天水一

8、模)在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，且AD2，PAAB1，PA平面ABCD，E是BC边上的动点，记二面角PEDA的大小为，那么tan的取值范围为_答案eq f(1,2)，eq f(r(5),2)解析由A点作AOED于O，连接PO，那么POA为二面角的平面角tanPOAeq f(PA,OA)eq f(1,OA).又OAeq f(2r(5),5)，2，tanPOAeq f(1,2)，eq f(r(5),2)7(2022沧州七校联考)三棱锥ABCD的三视图如下图：那么二面角BADC的正弦值为_答案eq f(4r(81),41)解析如图，把三棱锥ABCD放到长方体中，长方体的长、宽、高分别为

9、5，3，4，BCD为直角三角形，直角边分别为5和3，三棱锥ABCD的高为4，建立如图空间直角坐标系，那么B(0，0，0)，A(3，0，4)，C(3，5，0)，D(0，5，0)，eq o(DA,sup6()(3，5，4)，eq o(DB,sup6()(0，5，0)，eq o(DC,sup6()(3，0，0)设n1(x1，y1，z1)是平面ABD的一个法向量，n1eq o(DA,sup6()，n1eq o(DB,sup6().eq blc(avs4alco1(3x15y14z10，,5y10，)eq blc(avs4alco1(3x14z10，,y10.)可取n1(4，0，3)设n2(x2，y2，

10、z2)是平面ADC的一个法向量，n2eq o(DA,sup6()，n2eq o(DC,sup6()，eq blc(avs4alco1(3x25y24z20，,3x20，)eq blc(avs4alco1(5y24z2，,x20.)可取n2(0，4，5)cosn1，n2eq f(15,5r(41)eq f(3,r(41).sinn1，n2eq f(4r(2),r(41)eq f(4r(82),41).即二面角BADC的正弦值为eq f(4r(82),41).8(2022洛阳第一次统考)如图，四边形ABEF和四边形ABCD均是直角梯形，FABDAB90，二面角FABD是直二面角，BEAF，BCAD

11、，AFABBC2，AD1.(1)证明：在平面BCE上，一定存在过点C的直线l与直线DF平行；(2)求二面角FCDA的余弦值答案(1)略(2)eq f(r(6),6)解析(1)由得，BEAF，AF平面AFD，BE平面AFD，BE平面AFD.同理可得，BC平面AFD.又BEBCB，平面BCE平面AFD.设平面DFC平面BCEl，那么l过点C.平面BCE平面ADF，平面DFC平面BCEl，平面DFC平面AFDDF，DFl，即在平面BCE上一定存在过点C的直线l，使得DFl.(2)平面ABEF平面ABCD，FA平面ABEF，平面ABCD平面ABEFAB，又FAB90，AFAB，AF平面ABCD，AD平

12、面ABCD，AFAD.DAB90，ADAB.以A为坐标原点，AD，AB，AF所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图由得，D(1，0，0)，C(2，2，0)，F(0，0，2)，eq o(DF,sup6()(1，0，2)，eq o(DC,sup6()(1，2，0)设平面DFC的法向量为n(x，y，z)，那么eq blc(avs4alco1(no(DF,sup6()0，,no(DC,sup6()0，)eq blc(avs4alco1(x2z，,x2y，)不妨取z1，那么n(2，1，1)，不妨取平面ACD的一个法向量为m(0，0，1)，cosm，neq f(mn,|m|n|)eq f(

13、1,r(6)eq f(r(6),6)，由于二面角FCDA为锐角，因此二面角FCDA的余弦值为eq f(r(6),6).9(2022安徽合肥二检，理)如图，在矩形ABCD中，AB1，AD2，点E为AD的中点，沿BE将ABE折起至PBE，如图所示，点P在平面BCDE上的射影O落在BE上(1)求证：BPCE；(2)求二面角BPCD的余弦值答案(1)略(2)eq f(r(33),11)解析(1)点P在平面BCDE上的射影O落在BE上，PO平面BCDE，POCE，由题意，易知BECE，又POBEO，CE平面PBE，又BP平面PBE，BPCE.(2)以O为坐标原点，以过点O且平行于CD的直线为x轴，过点O

14、且平行于BC的直线为y轴，PO所在的直线为z轴，建立如下图的空间直角坐标系那么B(eq f(1,2)，eq f(1,2)，0)，C(eq f(1,2)，eq f(3,2)，0)，D(eq f(1,2)，eq f(3,2)，0)，P(0，0，eq f(r(2),2)，eq o(CD,sup6()(1，0，0)，eq o(CP,sup6()(eq f(1,2)，eq f(3,2)，eq f(r(2),2)，eq o(PB,sup6()(eq f(1,2)，eq f(1,2)，eq f(r(2),2)，eq o(BC,sup6()(0，2，0)设平面PCD的法向量为n1(x1，y1，z1)，那么eq

15、 blc(avs4alco1(n1o(CD,sup6()0，,n1o(CP,sup6()0，)即eq blc(avs4alco1(x10，,f(1,2)x1f(3,2)y1f(r(2),2)z10，)令z1eq r(2)，可得n1(0，eq f(2,3)，eq r(2)为平面PCD的一个法向量设平面PBC的法向量为n2(x2，y2，z2)，那么eq blc(avs4alco1(n2o(PB,sup6()0，,n2o(BC,sup6()0，)即eq blc(avs4alco1(x2y2r(2)z20，,y20，)令z2eq r(2)，可得n2(2，0，eq r(2)为平面PBC的一个法向量cos

16、n1，n2eq f(n1n2,|n1|n2|)eq f(r(33),11)，由图可知二面角BPCD为钝角，故二面角BPCD的余弦值为eq f(r(33),11).10(2022山东，理)如图，几何体是圆柱的一局部，它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120得到的，G是eq o(DF,sup8()的中点(1)设P是eq o(CE,sup8()上的一点，且APBE，求CBP的大小；(2)当AB3，AD2时，求二面角EAGC的大小答案(1)30(2)60解析(1)因为APBE，ABBE，AB，AP平面ABP，ABAPA，所以BE平面ABP.又BP平面ABP，所以BEBP.又EB

17、C120，因此CBP30.(2)方法一：取eq o(EC,sup8()的中点H，连接EH，GH，CH.因为EBC120，所以四边形BEHC为菱形，所以AEGEACGCeq r(3222)eq r(13).取AG中点M，连接EM，CM，EC，那么EMAG，CMAG，所以EMC为所求二面角的平面角又AM1，所以EMCMeq r(131)2eq r(3).在BEC中，由于EBC120，由余弦定理得EC22222222cos12012，所以EC2eq r(3)，因此EMC为等边三角形，故所求的二面角为60.方法二：以B为坐标原点，分别以BE，BP，BA所在的直线为x，y，z轴，建立如下图的空间直角坐标

18、系由题意得A(0，0，3)，E(2，0，0)，G(1，eq r(3)，3)，C(1，eq r(3)，0)，故eq o(AE,sup6()(2，0，3)，eq o(AG,sup6()(1，eq r(3)，0)，eq o(CG,sup6()(2，0，3)，设m(x1，y1，z1)是平面AEG的法向量由eq blc(avs4alco1(mo(AE,sup6()0，,mo(AG,sup6()0，)可得eq blc(avs4alco1(2x13z10，,x1r(3)y10.)取z12，可得平面AEG的一个法向量m(3，eq r(3)，2)设n(x2，y2，z2)是平面ACG的法向量由eq blc(avs

19、4alco1(no(AG,sup6()0，,no(CG,sup6()0，)可得eq blc(avs4alco1(x2r(3)y20，,2x23z20.)取z22，可得平面ACG的一个法向量n(3，eq r(3)，2)所以cosm，neq f(mn,|m|n|)eq f(1,2).由图形可知二面角EAGC为锐二面角，因此所求的角为60.11(2022广州综合测试一)如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，ABBC，BDDC，点E是BC边的中点，将ABD沿BD折起，使平面ABD平面BCD，连接AE，AC，DE，得到如图所示的几何体(1)求证：AB平面ADC；(2)假设AD1，二面角CABD的平面角的

20、正切值为eq r(6)，求二面角BADE的余弦值答案(1)略(2)eq f(1,2)解析(1)因为平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，又BDDC，所以DC平面ABD.因为AB平面ABD，所以DCAB.又折叠前后均有ADAB，DCADD，所以AB平面ADC.(2)由(1)知AB平面ADC，所以ABAC，又ABAD，所以二面角CABD的平面角为CAD.又DC平面ABD，AD平面ABD，所以DCAD.依题意tanCADeq f(CD,AD)eq r(6).因为AD1，所以CDeq r(6).设ABx(x0)，那么BDeq r(x21).依题意ABDDCB，所以eq f(AB,AD)eq f(CD,BD)，即eq f(x,1)eq f(r(6),r(x21).又x0，解得xeq r(2)，故ABeq r(2)，BDeq r(3)，BCeq r(BD2CD2)3.方法一：如图a所示，建立空间直角坐标系Dxyz，那么D(0，0，0)，B(eq r(3)，0，0)，C(0，eq r(6)，0)，E(eq f(r(3),