专题02 从求根公式谈起培优专题

1、1,2这个公式形式优美，内涵丰富：专题02从求根公式谈起阅读与思考一元二次方程是解数学问题的重要工具，在因式分解、代数式的化简与求值，应用题，各种代数方程，几何问题、二次函数等方面有广泛的应用.初学一元二次方程，需要注意的是：1、熟练求解解一般形式的一元二次方程，因式分解法是基础，它体现了“降次求解”的基本设想，公式法具有一般性，是解一元二次方程的主要方法，对于各项系数较大的一元二次方程，可以先从分析方程的各项系数特征入手，通过探求方程的特殊根来求解，常用的两个结论是：若abc0，则方程ax2bxc0(a0)必有一根为1.若abc0，则方程ax2bxc0(a0)必有一根为1.2、善于变形解有些

2、与一元二次方程相关的问题时，直接求解常给解题带来诸多不便，若运用整体思想，构造零值多项式，降次变形等相关思想方法，则能使问题获得简解.思想精髓bb24ac一元二次方程的求根公式为x2a公式展示了数学的抽象性，一般性与简洁美；公式包含了初中阶段所学过的全部六种代数运算；公式本身回答了解一元二次方程的全部的三个问题，方程有没有实数根？有实根时共有几个？如何求出实根？例题与求解例1阅读下列的例题解方程：x2|x|20解：当x0时，原方程化为x2x20，解得x2,x1(舍)12当x0时，原方程化为x2x20，解得x1(舍)，x212请参照例题解方程：x2|x3|30，则方程的根是（晋江市中考试题）.解

3、题思路：通过讨论，脱去绝对值符号，把绝对值方程转化为一般的一元二次方程求解例2方程|x21|(423)(x2)的解的个数为（）A、1个B、2个C、3个D、4个（全国初中数学联赛试题）.解题思路：通过去绝对值，将绝对值方程转化为一元二次方程求解例3已知m，n是二次方程x21999x70的两个根，求（m2+1998m6)(n22000n8)的值.（“祖冲之杯”邀请赛试题）解题思路：若求出m，n值或展开待求式，则计算繁难，由方程根的定义可得关于m，n的等式，不妨从变形等式入手.反思：一元二次方程常见的变形方法有：把ax2bxc0(a0)变形为ax2bxc把ax2bxc0(a0)变形为ax2bxc把a

4、x2bxc0(a0)变形为axcbx其中体现了“降次”代换的思想；则是构造倒数关系作等值代换.例4解关于x的方程：(m1)x2(2m1)xm30解题思路：因未指明关于x的方程的类型，故首先分m10及m10两种情况，当m10时，还考虑就b24ac的值的三种情况加以讨论.例5已知三个不同的实数a，b，c满足abc3,方程x2ax10和x2bxc0，有一个相同的实根，方程x2xa0和x2cxb0也有一个相同的实根，求a，b，c的值.解题思路：这是一个一元二次方程有公共根的问题，可从求公共根入手方法指导：公共根问题是一元二次方程常见问题，解这类问题的基本方法是：若方程便于求出简单形式的根，则利用公共根

5、相等求解.设出公共根，设而不求，消去二次项.例6已知a是正整数，如果关于x的方程x3(a17)x2(38a)x560的根都是整数，求a的值及方程的整数根.（全国初中数学联赛试题）解题思路：本题有两种解法，由方程系数特点发现1为隐含的根，从而将试题进行降次处理，或变更主元，将原方程整理为关于a的较低次数的方程.能力训练A级1、已知方程x26xq0可以配成xp27的形式，那么x26xq2可以配成_的形式.（杭州市中考试题）2、若分式x2x2x22x1的值为0，则x的值等于.（天津市中考试题）3、设方程x21993x19940,和(1994x)219931995x10的较小的根分别为，则.4、方程|

6、x24x5|62x的解应是（上海市竞赛试题）5、方程(x2x1)x31的整数解的个数是.A、2个B、3个C、4个D、5个（山东省选拔赛试题）6、若关于x的一元二次方程(m1)x25xm23m20的常数项为0，则m的值等于（）A、1B、2C、1或2D、0（德州市中考试题）7、已知a,b都是负实数，且111b0，那么的值是（）ababaA、15A、15151515B、C、D、2222（江苏省竞赛试题）8、方程x2|x|10的解是（）15151515B、C、或D、222229、已知a是方程x21999x10的一个根，求a21998a1999a21的值.10、已知a24a10且a4ma212a3ma2

7、2a3，求m的值.（荆州市竞赛试题）11、是否存在某个实数m，使得方程x2mx20和x22xm0有且只有一个公共根？如果存在，求出这个实数m及两方程的公共实根；如果不存在，请说明理由.12、已知关于x的方程(4k)(8k)x2(8012k)x320的解都是整数，求整数k的值.B级1、已知、是方程x2(m2)x10的两根，则(1m2)(1m2)的值为2、若关于x的方程x2pxq0与x2qxp0只有一个公共根，则(pq)19993、设a,b是整数，方程x2axb0有一个根为743，则ab=_(全国通讯赛试题)5、已知14、用x表示不大于x的最大整数，则方程x22x30解的个数为（A、1个B、2个C

8、、3个D、4个1|a|1，那么代数式|a|（）aa）A、55B、C、5D、5227、已知x5x19910，则代数式的值为（）6、方程x|x|3|x|20的实根的个数为（）A、1个B、2个C、3个D、4个(x2)4(x1)212(x1)(x2)A、1996B、1997C、1998D、19998、已知三个关于x的一元二次方程ax2bxc0,bx2cxa0,cx2axb0恰有一个公a2b2c2共实根，则的值为（）bccaabA、0B、1C、2D、3（全国初中数学联赛试题）x46x32x218x239、已知x1983，求的值.x28x15（“祖冲之杯”邀请赛试题）10、设方程x2|2x1|40，求满足

9、该方程的所有根之和.（重庆市竞赛试题）11、首项系数不相等的两个二次方程(a1)x2(a22)x(a22a)0及(b1)x2(b22)x(b22b)0（其中a，b为正整数）有一个公共根，求abbaabba的值.（全国初中数学联赛试题）12、小明用下面的方法求出方程2x30的解，请你仿照他的方法求出下面另外两个方程的解，并把你的解答过程填写在下面的表格中方程换元法得新方程解新方程检验求原方程的解2tx，x2x30令xt，则2t30t3320392423）x7430，解得x32，满足题意x2x30 xx240专题02从求根公式谈起例13或2例2C提示：当x210时，即x1或x1时，原方程化为x2（

10、423）x74390，解得x433，x3，均符合；当x210时，即1x1时，原方程可化为x2（4123例31991例4当m1时，解得x2当m1时，b24ac12m11当m1112时，x1,22m112m12m111111；当m时，x5；当m时，原方程无实根1212例5为叙述方便，该题设中的四个方程依次为、，设方程和方程的公共根为，则2a10,2bc0.c1ab两式相减，得同理可得，方程和方程的公共根为abc11）x2a18x560 x为正整数，方程x2（a18）x560的判别式a1821注意到方程的两根之积为1，则也是方程的根，从而210又2a0，两式相减，得（a1）a1若a1，则方程无实根，

11、这与方程有根有矛盾，a11，1于是a2，bc1又abc3，b3，c2x例6解法一：1（a17）（38a）560，x1为原方程的一个根，从而原方程可化为（224必为完全平方数设a182224m2（m为非负整数），则a182224224，即（am18）（am18）2241122564288又am18与am18具有相同的奇偶性，且am18am18，am1818，am18112,或或am182am184am188m55m26m10.m55m26am1856,am1828,a39,a12,a0,a39,a12,解得或或又a为正整数，或当a39时，方程的根为1和56；当a12时，方程的根为2和28综上所述

12、，当a39时，原方程的三个根为1，1和56；当a12时，原方程的三个根为1，2和28解法二：原方程可化为（x2x）a5638x17x2x3，显然x0当x1时，式恒成立当5638x17x2x35656x1时，方程可化为ax18a为正整数，x180，x2xxxx18560显然x0，x218x560，解得x359或359x0又x为整x数，且x|56，x可取56，28，2，1由韦达定理知（56）（1）（28）（2），若56和1为方程的两个根，则（a18）561，即a39；若28和2为方程的两个根，则（a18）282，即a12综上所述，当a39时，原方程的三个根为1，1和56；当a12时，原方程的三个根

13、为1，2和28A级1.xp2q722311994x4xx1，123,4CBCD325567810.m1912.当k4或k8，分别求得x1或x2当k4且k8时，原方程可化为4kx88kx40，x8，xk为整数，且x，x均为整数，4k1，2，4，8且4k8k919981提示：由已知得a42aa2ma20，11.假设存在符合条件的实数m，且设这两个方程的公共实根为a，则得（ma22am0，2）（a1）0，m2或a1当m2时，已知两个方程为同一个方程，且没有实数根，故m2舍去；当a1时，代入得m3，可求得公共根为x1412128k1，2，4，k6，12故k4，6，8，12时，原方程的根为整数B级14213.3提示：代入根得（72ab）（4a）304.C提示：由题给方程x232x又xx，则x232x，x22x30，则1x3，x只可能取值为1，0，1，2，3分别代入原方程解得x1，7，3，故原方程共有三个解5D6C7D8D95提示：由x43，得x28x13010.当2x10即x12时，原方程化为x22x30，解得x3，x1（舍去）；当2x10即12x时，x2440，舍去；当2x10即x时，原方程化为x22x50，解得x24216，x16（舍去），故所有根之和为3（16）262111112a2b211.由条件知a