初中数学竞赛专题讲座 有理数及其运算的技巧

1、有理数及其运算技巧经验谈：有理数运算是中学数学中一切运算的基础，准确的理解有理数相关的概念，以及它的运算法则、公式，并且善于根据所给题目要求，将推理与计算相结合，灵活巧妙的选择简捷的算法，可以很好的提高思维的敏捷性。将现实中的问题与学习中的知识相结合，并合理的解决它，你会发现数学的很多乐趣。内容综述：当我们认识了零、负整数和负分数后，就引出了有理数的概念。整数（正整数、零、负整数）和分数（正分数、负分数）统称有理数，任何一个有理数都可以表示为叟Uff均为整数且互素）一个既约分数。并且，有理数可以比较大小，有理数的和、差、积、商（分母不为零）仍为有理数，任意两个有理数之间都有无穷个有理数，有理数

2、运算是中学数学中一切运算的基础，它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上，能根据法则，公式等正确、迅速地进行运算，同时还要善于根据题目条件，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性。要点讲解：1、数轴与大小：两个有理数的大小由它们在数轴上对应点的位置关系来确定：对应点在右边的数总比对应点在左边的数大。例1观察图1中的数轴J1_用字母a,b,c依次表示点A,B,C对应的数，试确定ab，ba这三个数的大小关系。思路：由B点在A点右边，知b-a0，而A，B都在原点左边，故ab0，又c0,J1_这说明要比较心匕c的大小，只需比较分母

3、ab,b-a,c的大小。解：因为C点在1的右边，所以c1，_21因为A点在-1与之间，B点在耳与0之间，所以AB的距离大于亍而小于1,由同样的理由有所以0ab-又abO,故孑从而有0abb-ac。所以例2：设a,b是两个有理数，且ab,求证:证明1：*.*ab,ba,ba0.而a+ba+b22b证明2b.总+盘盘+也即2aa+b.又也.a+bb即&+32b,故a+b说明：由本例可知，任意两个不相等的有理数a,b之间存在一个有理数2,由此可推知，任意两个有理数之间存在无限多个有理数。2、符号与括号有理数运算是代数入门的重点，又是难点，怎样突破这一难点，除了要正确理解概念和掌握运算法则外，还必须熟

4、练有理数运算的一些技巧和方法，由于负数的引入符号“+”与“-”具有了双重涵义，它既是表示加法与减法的运算符号，也是表示正数与负数的性质符号，因此进行有理数运算时，一定要正确运用有理数的运算法则和运算律，去掉或者添上括号，以此来改变运算的次序，从而使复杂问题变得较简单，在此应特别注意去添括号时符号的变化。例3计算=1-2+3-4+.+(-1)-.思路：不难看出这个算式的规律是任何相邻两项之和或为1或为-1，如果按照将第一与第二项，第三与第四项，分别配对的方式计算，就能得到一系列的-1。(2)解:(1-2)+(3-4)+下面需对n的奇偶性进行讨论：5个（-1）的和,当n为偶数时，上式是即个（-1）

5、的和，再加上最后一项（一娜“闪二，所以当n为奇数时，上式是有说明：两种情况可以合并为：例4计算1+2-3-4+5+6-7-8+9+10-11-12+1997+1998-1999-2000+2001解法1原式解=(-4)x500+2001=-2000+2000法2原式=1+(2-3-4+5)+(6-7-8+9)+(1998-1999-2000+2001)=1+)+U+IJ=1说明：以上两例说明妙添括号，有利于快速解题。3、算对与算巧求的和，从左到右逐次相加似乎很安稳的事，其实这样算下来不仅工作量很大，而且运算的次数太多，出错的可能性也大，聪明的高斯没有这样做，他把这个算式头尾倒过来写成100+跆

6、+2+1,然后将两个式子的对应项相加得到100个101，101乘100再除以2便得到所求的和。这样不但算得对，而且算得快这是一个脍炙人口的故事，它告诉我们数学运算不仅要算对更要算巧。例5计算123410+3)Ix2+2x3+3x4+解：1)应用关系式1+fl111+r113I43鬆+lj来进行“拆项”。1111-+l-l+i4473-2+11=2-1(2)34848,1012210rll0r253=1原式=256或者用下面的“错位相减法”求和。TOC o 1-5 h z令24816护，山显+2+Z+2+竺2481621021110将这两式错位相减得=丄+丄+1+丄+.+A224816210g=

7、l+即2481629210再将这两式错位后式减去前式得$=1噥-护男9（3）考察第n项n（n+1）如何分析，仔细观察后会发现=就挖+1)(“+2)-!)(-1)1J(lx2x3-0 x1x2)+(2x3x4-1x2x3)+(3x4x5-2x3x4)+3(+挖(起+1)(兀+2)-1)挖(占+1)=；呛+1)0+2)/.原式=说明：分析和错位相减是有理数运算中常和的技巧，在解题中应注意总结归纳规律，力求灵活应用。例6计算246901）2）123462-12345x12347；1991+|+19981999II2+31998思路与解：（1）直接计算较繁，仔细观察分母中涉及到三个连续整数12346，

8、12347，可设字母n=12346，那么12345=n-1，12347=n+1，于是分母变为12345，“一+1=1,即原式分母的值是1,所以原式=24690。（2）四个括号中均包含一个共同部分以简化计算。A=+设231998，我们用一个字母表示化。原式=19乾，则L+1卩+-（,.1卫】A+A2+199919991邓丿说明：通过以上例题可以看到，用字母表示数或表示一个式子，常常可使计算简品名咬数A&A总钱数第一次呃买件数134561995元第谡购买件数151g112昭元例7购买5种物品的件数和用钱总数列成下表：那么，购买每种物品各一件共需多少元？解：由已知表格：购买1件同，3件地，4件堆，5

9、件凡，6件&共需1995元;所以购买2件国，6件地，8件禺，10件凡，12件地共需2X1995元；又因为购买1件同，5件地，7件堆，9件皿，11件血共需2984元；所以购买每种物品各一件共需2X1995-2984=1006（元）说明：用方程的观点解此题，思维更清晰，设购买物品百需印元i=1，2，3,4,则i+32+4a3+5a4+6=1995，+5a2+电+加4+11宓=2984由2X-得+a2+a3+=2x1995-2984=1006需要指出的是：我们无法计算每个碍，但我们能巧算出位i+也+他+尙+叭这个整体，整体思维常常会帮助我们算对，算快和算得巧妙。A级a+b1、实数a,b在数轴上的对应

10、点如图2所示，图中0为原点，贝9总一的值（）。a-10b1图2（A）小于零（B）大于零（C）等于零（D）不能确定2000,j,2000_2、有理数a等于它的倒数，有理数b等于它的相反数，则（）A）0（B）1（C）-1（D）21999199319991997J+199919992-23、计算a,b,c,d,e,f均为有理数，图中各行、各列、两条对角线上三个数的值。之和都相等，诚求B级5、甲、乙、丙、丁4人，每3个人的平均年龄加上余下一人的年龄分别为29）。A)6B)9C)12D）186、定义a0b=是有理数范围内的一种运算，则OO7、计算1+1+1+11113171111一+一+一+一111317191+2+丄+丄+丄1113171911131723、21和17，这4人中最大年龄与最小年龄的差是（8、已知0为数轴的原点，A、B两点对应的数分别为1、2,设瑶为AB的中点，巳为且卑的中点，竝。为珂9的中点，求尺，爲，珥所对应的各数之和。参考答案或提示A级1、（B）2、（B