弹性力学解题方法问题

1、关于弹性力学解题方法问题第一张，PPT共七十页，创作于2022年6月目 录 5.1 弹性力学基本方程 5.2 问题的提法5.3 弹性力学问题的基本解法 5.4 圣维南局部影响原理 5.5 叠加原理第二张，PPT共七十页，创作于2022年6月总结弹性力学基本理论；讨论已知物理量、基本未知量；以及物理量之间的关系基本方程和边界条件。5.1 弹性力学基本方程第三张，PPT共七十页，创作于2022年6月1.平衡方程:弹性体要满足的基本方程张量表示：第四张，PPT共七十页，创作于2022年6月 2.几何方程：弹性体要满足的基本方程张量表示：第五张，PPT共七十页，创作于2022年6月3.本构方程：弹性体

2、要满足的基本方程广义胡克定律的应力表示张量表示：第六张，PPT共七十页，创作于2022年6月广义胡克定律的应变表示张量表示：第七张，PPT共七十页，创作于2022年6月4.变形协调方程位移作为基本未知量时，变形协调方程自然满足。第八张，PPT共七十页，创作于2022年6月基本方程：平衡微分方程几何方程本构方程变形协调方程（应变作为基本未知量）第九张，PPT共七十页，创作于2022年6月若物体表面的位移 已知，则位移边界条件为 物体表面的面力分量为Tx、Ty和 Tz 已知,则面力边界 条件为：5.边界条件若物体部分表面面力和部分表面位移已知，则为混合 边界条件第十张，PPT共七十页，创作于202

3、2年6月5.2弹性力学问题的提法弹性力学的任务就是在给定的边界条件下，对十五个未知量求解十五个基本方程。求解弹性力学问题时，并不需要同时求解十五个基本未知量，可以做必要的简化。为简化求解的难度，仅选取部分未知量作为基本未知量。第十一张，PPT共七十页，创作于2022年6月在给定的边界条件下，求解偏微分方程组的问题，在数学上称为偏微分方程的边值问题。按照不同的边界条件，弹性力学有三类边值问题。第一类边值问题：已知弹性体内的体力分量以及表面的位移分量，边界条件为位移边界条件。第二类边值问题：已知弹性体内的体力和其表面的面力分量为Tx、Ty和Tz，边界条件为面力边界条件。第十二张，PPT共七十页，创

4、作于2022年6月第三类边值问题：已知弹性体内的体力分量，以及物体表面的部分位移分量和部分面力分量，边界条件在面力已知的部分，为面力边界条件，位移已知的部分为位移边界条件。称为混合边界条件。以上三类边值问题，代表了一些简化的实际工程问题。若不考虑物体的刚体位移，则三类边值问题的解是唯一的。第十三张，PPT共七十页，创作于2022年6月基本解法（1）位移解法：以位移函数作为基本未知量（2）应力解法以应力函数作为基本未知量 （3）混合解法 以部分位移和部分应力分量作为基本未知量 第十四张，PPT共七十页，创作于2022年6月 5.3 弹性力学问题基本解法位移解法的主要步骤：利用位移函数 u1, u

5、2, u3 表示其他未知量；推导由位移函数 ui 描述的基本方程；关键点：以位移表示的平衡微分方程。位移解法的基本方程 1. 平衡微分方程 2. 几何方程 3. 本构方程 4. 位移边界条件，力边界条件第十五张，PPT共七十页，创作于2022年6月由 上式称为应力位移表达式。将 (1) 代入 (2)第十六张，PPT共七十页，创作于2022年6月此式称为位移表示的平衡方程（Leme方程）将应力位移表达式代入平衡方程转换指标注意到：则即得第十七张，PPT共七十页，创作于2022年6月注意有给定位移边界条件就可由Leme方程解出ui=（u,v,w） 或ui=（u1, u2, u3 ）。ui= ui（

6、x，y, z）其位移边界条件为：第十八张，PPT共七十页，创作于2022年6月对于用面力表示的边界条件 Ti =ij nj此式称为力位移边界条件。 注意：则将应力位移表达式代入面力边界条件: 有第十九张，PPT共七十页，创作于2022年6月为二阶线性偏微分方程组，其解为齐次解+特解。对于Leme方程齐次方程对 求导因则或即第二十张，PPT共七十页，创作于2022年6月因所以有即体积应力 满足调和方程。结论即体积应变 满足调和方程。第二十一张，PPT共七十页，创作于2022年6月对Leme方程 进行（调和算子）运算：有所以即第二十二张，PPT共七十页，创作于2022年6月这说明应力与应变满足双调

7、和方程。有即由有及即由第二十三张，PPT共七十页，创作于2022年6月结论：对于Leme方程其齐次方程有第二十四张，PPT共七十页，创作于2022年6月位移分量求解后，可通过几何方程求出应变 和通过本构方程求出应力 。 总之，位移解法以位移为3个基本未知函数（u1,u2,u3），归结为在给定的边界条件下求解位移表示的3个平衡微分方程，即三个拉梅方程。对于位移边界条件，位移解法是十分合适的。第二十五张，PPT共七十页，创作于2022年6月 至此，我们讨论了弹性力学位移解法的基本方程。除无限大域外，位移解法也适用于全部边界条件为位移边界的情况。然而，对于力边界条件问题，位移解法就显得不够简便。一种

8、变通的方法就是选择应力为求解的场变量。应力需要满足六个平衡方程和三个独立的协调方程，通过这六个方程可以求解出六个应力分量。第二十六张，PPT共七十页，创作于2022年6月 例 设有半空间体，单位体积的质量为 ，在水平边界面上受均布压力 的作用，试用位移法求各位移分量和应力分量，并假设在 处 方向的位移受均布压力作用的半空间体解：可以假设因此体积应变按位移解题例题第二十七张，PPT共七十页，创作于2022年6月对于Leme方程第二十八张，PPT共七十页，创作于2022年6月或积分上式有将代入拉梅方程：第二十九张，PPT共七十页，创作于2022年6月在边界上，得结合 的表达式可得代入由位移表示的边

9、界条件第三十张，PPT共七十页，创作于2022年6月由条件 得将常数 和 代入 的表达式，得求应变第三十一张，PPT共七十页，创作于2022年6月由广义胡克定律有第三十二张，PPT共七十页，创作于2022年6月即第三十三张，PPT共七十页，创作于2022年6月位移法 其位移边界条件为：给定位移边界条件就可由Leme方程解出 。复习:位移法第三十四张，PPT共七十页，创作于2022年6月位移分量求解后，可通过几何方程求出应变 和通过本构方程求出应力 。 位移解法以位移为3个基本未知函数（u1,u2,u3），归结为在给定的边界条件下求解位移表示的3个平衡微分方程，即三个拉梅方程。位移解法适用于位移

10、边界条件。第三十五张，PPT共七十页，创作于2022年6月 对于位移法体力为常量时：由位移法得到：体积应力 和体积应变 均满足调和（Laplace)方程；即体积应力函数和体积应变函数为调和函数。位移分量,应力分量和应变分量均满足双调和方程；位移分量,应力分量和应变分量为双调和函数。第三十六张，PPT共七十页，创作于2022年6月解：由几何方程求应变分量已知,求应力位移法例题2lxypphh1yz第三十七张，PPT共七十页，创作于2022年6月由2lxypp第三十八张，PPT共七十页，创作于2022年6月力边界条件y =+ h : v = 0_位移边界条件应力应满足边界条件2lxyppy =+

11、h y =- h 第三十九张，PPT共七十页，创作于2022年6月应力解法基本步骤：以应力分量 ij 作为基本未知量； 用六个应力分量表示协调方程；关键点：以应力表示的协调方程应力解法的方程 1. 平衡微分方程 2. 变形协调方程 3. 本构方程 4. 面力边界条件第四十张，PPT共七十页，创作于2022年6月由应力表示的本构方程代入协调方程第四十一张，PPT共七十页，创作于2022年6月（1）整理上面的方程，把其中 l 的指标取为 k，第四十二张，PPT共七十页，创作于2022年6月（2）把 k=1,2,3的叠加起来，运用第四十三张，PPT共七十页，创作于2022年6月即合并有第四十四张，P

12、PT共七十页，创作于2022年6月上式对指标 i 和 j 对称所以只含有六个独立方程，利用平衡方程 有同理改写成第四十五张，PPT共七十页，创作于2022年6月 上两式代入协调方程中有把上式中 i=j 的3个方程叠加起来，注意到 ii = , , ii = 和 ii =3 可得第四十六张，PPT共七十页，创作于2022年6月对上式作双调和运算有第四十七张，PPT共七十页，创作于2022年6月由有及第四十八张，PPT共七十页，创作于2022年6月上式称为Michell方程(用应力表示的协调方程)将上式回代到协调方程中有第四十九张，PPT共七十页，创作于2022年6月还可以写成Michell方程第

13、五十张，PPT共七十页，创作于2022年6月对于上式当 时有第五十一张，PPT共七十页，创作于2022年6月同理对于上式当 时分别有第五十二张，PPT共七十页，创作于2022年6月对于上式当 时有即第五十三张，PPT共七十页，创作于2022年6月展开Michell方程第五十四张，PPT共七十页，创作于2022年6月体力为常数时，右端项为零，故有上方程称为Beltremi方程。当满足面力边界条件时即得到问题的解答。解上面的方程，或下面的Michell方程第五十五张，PPT共七十页，创作于2022年6月应力法体力为零时第五十六张，PPT共七十页，创作于2022年6月应力解法的基本未知量为6个应力分

14、量，可以避开几何方程；基本方程为 3个平衡微分方程和 6个变形协调方程和3个边界条件，对于几何形状或载荷较复杂问题的求解困难。应力解法适用于面力边界条件与单连体。总之，在以应力函数作为基本未知量求解时，归结为在给定的面力边界条件下，求解平衡微分方程和应力表示的变形协调方程所组成的偏微分方程组。 第五十七张，PPT共七十页，创作于2022年6月混合解法 根据问题性质和边界条件，选择不同的基本未知量求解称为混合解法。第五十八张，PPT共七十页，创作于2022年6月弹性理论解的惟一性定理 弹性体受已知外力的作用。在物体的边界上，或者面力已知；或者位移已知；或者一部分面力已知，另一部分位移已知；则弹性

15、体平衡时，体内各点的应力和应变是惟一的，对于后两种情况，位移也是唯一的。第五十九张，PPT共七十页，创作于2022年6月局部影响原理：物体在任意一个小部分作用有一个平衡力系，则该平衡力系在物体内部所产生的应力分布，仅局限于力系作用的附近区域。在距离该区域相当远处，这种影响便急剧减小。5.4 圣维南原理第六十张，PPT共七十页，创作于2022年6月圣维南原理图示第六十一张，PPT共七十页，创作于2022年6月解的叠加原理： 小变形线弹性条件下，作用于物体的若干组载荷产生的总效应（应力和变形等），等于每组载荷单独作用效应的总和。5.5 叠加原理第六十二张，PPT共七十页，创作于2022年6月 逆解

16、法 根据问题的性质，确定基本未知量和相应的基本方程，并且假设一组满足全部基本方程的应力函数(或位移函数)。然后在确定的坐标系下，考察具有确定的几何尺寸和形状的物体，其表面将受什么样的面力作用或者将存在什么样的位移。第六十三张，PPT共七十页，创作于2022年6月 半逆解法 对于给定的弹性力学问题，根据弹性体的几何形状，受力特征和变形特点，或已知简单结论，如材料力学解，假设部分应力分量或者部分位移分量的函数形式为已知，由基本方程确定其他的未知量，然后根据边界条件确定未知函数中的待定系数。第六十四张，PPT共七十页，创作于2022年6月 弹性力学解的唯一性定理是逆解法和半逆解法的理论依据。 逆解法和半逆解法其求解过程带有“试算”的性质； 偏微分方程边值问题求解困难，难以确定弹性力学问题的解析解； 第六十五张，PPT共七十页，创作于2022年