小数及设计圆的认识

1、圆的认识课堂市东路小学一、整体感受师：对于圆，一定不会感到陌生吧？（是）生活中，在哪儿见到过圆形？生：钟面上有圆。生：轮胎上有圆。生：有些钮扣也是圆的师：今天，也给大家带来一些。见过平静的水面吗，（见过。）如果我们从上面往下丢进一颗小石子（了什么？动态的水纹，并配以石子入水），你发现生：（激动地）水纹、水纹、圆（声音此起彼伏）师：其实这样的现象在大自然中随处可见，让一起来看看。（伴随着优美的音乐，阳光下绽放的向日葵、花丛中五颜六色的鲜花、光折射后形成的美妙光环、殊仪器拍摄到的电磁波、波、月球上的环形山等画面一一展现在学生的眼前，见图）从这些现象中，你同样找到圆了吗？生：（惊异地，慨叹地）找到了

2、。师：有人说，因为有了圆，的世界才变得如此美妙而神奇。今天这节课，就让我们一起走进圆的世界，去探寻其中的奥秘，好吗？生：（激动地）好！.师：现在，要从这一堆平面图形中把圆摸出来，有难度吗?生(齐)：没有!师：为什么?生：很简单呀，圆是弯弯的，而其他图形的边都是直直的。生：圆没有角，而其他图形都有角。师：奇怪，为什么这些图形都有角，而圆却没有呢?生：因为这些图形都是由直线围成的师：不够专业。生：哦，是由线段围咸的。师：这就对了!把这些由线段围成的平面图形，叫做直线图形。直线图形都有角。圆是直线图形吗?生：不是，它是由曲线围成的。师：所以，圆看起来特别一生：光滑。生：圆润。师：感觉真好!那么，该给

3、这类由曲线围成的，光滑、圆润的平面图形，取个怎样的名称呢?生：曲线图形。师：没错!那现在，要从这一堆直线图形中把圆这个唯一的曲线图形摸出来，难不难?生：不难。生：找最光滑的摸就行了。师：不过，问题可不像那么简单。因为信封里，还有几个图形呢。(生颇感意外。)教师出示图 2。师：怎么样，它也是由曲线围成的吧?生：是呀。师：看起来也特别光滑?生：是的。师：看来，生：不会!不会!师：为什么?一定会把它也当做圆模出来。生：因为圆很圆，但它不那么圆。生：因为它有的地方凹，有的地方凸。师：噢，这个图形看起来有些凹凸不平。而圆呢?生：圆不会凹进去，一直向外凸着。生：圆看起来特别饱满。师：这个词儿好!不过(教师

4、接着从信封里取出图 3)，这儿还有一个图形，它可没有凹凸不平。怎么样，够光滑、够饱满吧?生：嗯。师：看来，这一回生：也不会!师：为什么?一定会把它当做圆摸出来了。生：因为这个图形看起来扁扁的，不像圆那么鼓。师(将椭圆旋转 90后)：现在看起来呢?生：感觉这个图形瘦瘦的。师：那圆呢?(教师出示圆片，并不停旋转。)感觉怎么样?生：怎么转，看起来都一样。生：而且，圆看起来特别匀称。师：小小的一个，无非是为了让大家认识到，和其他平面图形相比，圆的确生：很特别。师：没错，和这些直线图形相比生：圆是一个曲线图形。师：但是，和这些曲线图形相比，圆看起来又特别生：光滑、饱满、匀称师：难怪 2000 多年前，伟

5、大的古希腊数学家在研究完大量的平面图形后，发出这样的感慨：在一切平面图形中，圆最美。而且，2000 多年过去了，这一观点得到了越来越多的数学家乃至普通大众的认可。那么，圆究竟美在哪儿?更进一步地，究竟是什么内在的原因，使得圆这种平面图形看起来这样光滑、饱满、匀称，以至于成为所有平面图形中最美的一个?就让起带着问题，深入地认识圆；研究圆。二、寻根究底师：圆的美，光靠看是不够的，咱还得动手来画。因为，画圆的过程，正一体会它的特点、发现它的美的过程。 (教师简单介绍圆规的构造后)课是前，老师布置试着用圆规画过圆。现在，请大家试着在白纸上画一个圆。(学生用圆规画圆，教师巡视。)师：应该说，绝大多数同学

6、画得都很棒。不过，也有失败的作品。瞧，这个圆显然变形了，这个则咧着嘴。大胆地猜一猜，这些同学之所以没能成功地用圆规画出一个圆，可能在哪儿出问题了?生：可能是画圆时，圆规的脚移动了。师：不动，怎么画出圆呀?(生笑。)生：是装有针尖的脚动了!觉得，针尖所在的脚能随便动吗?师：那你得说清楚呀。，生：不能!一动，画出的圆一定会咧开嘴巴。师：你试过?生：是的!我失败过好几次呢。师：经验之谈呀!当然，也有同学画圆时，圆规两脚都没动，但也画出圆来了，猜生：我知道!一定是圆规不转，纸转。师：奇怪，你怎么知道?生：我就这么试过。师：看来，用圆规画圆时，针尖得固定，这是宝贵的经验。还有其他可能吗?生：也可能是他们

7、画圆时，圆规两脚的夹角的角度变了。师：角度变了，也就意味着生：圆规两脚之间的距离变了。师：看来，用圆规画圆时，两脚之间的距离不能变。现在，掌握了这些要求，有没有信心比刚才画得更好?生：有!(不少学生拿起圆规急着要画。)师：别着急!数学学习光会动手还不够，咱还得生：动脑。师：心有灵犀呀!第二次用圆规画圆时，请大家边画边思考：如果方法完全正确，用手中的圆规会不会画出这样一会儿凹、一会儿凸的曲线图形?或者是扁扁的椭圆?(教师依次指图 2、图 3。)生：不会!师：先别忙着下结论，还是带着这些问题，边画边细细体会吧!(学生操作。教师巡视，了解学生的感受与思考。)师：为什么画不出这样的曲线图形，相信不少同

8、学已经有了。不过，为了使大家感受更鲜明，我打算在黑板上也来画一个。(教师画完半个圆后，停下。)想象一下，照这样画下去，会画出一会儿凹、一会儿凸的平面图形吗?生：不会。师：会画出扁扁的椭圆吗?生：也不会。师：为什么?生：因为圆规两脚间的距离没有变。师：哪儿到哪儿的距离没有变?生：就是从这儿(手指圆上的点)到这儿(手指圆心)的距离没离不变，就不会画出一会儿凹、一会儿凸的平面图形了。有变。只要距师：光这样说好像有点抽象。你能不能把这一不变的距离用一条线段表示出来?(学生，连接圆上任选一点与圆心，得到一条线段。)师：可别小看这条线段，在这个圆里，它有谁了解这条线段?起着的决定性作用。生：这条线段叫做半

9、径，可以用小写字母 r 表示。(教师板书，并引导学生在自己的圆内画出一条半径，标上字母 r。)师：有没有补充?生：半径的一端连着圆心，另一端在圆上。师：说得好!圆心是圆规画圆时针尖留下的，可以用字母 O 示。更准确地说，半径的另一端在圆上。(教师板书，并引导学生在自己的圆上标出圆心及字母O。)师：关于半径，还知道些什么?生：圆应该不只有一条半径。生：圆有无数条半径。 生：半径的长度都相等。师：看来，关于半径，的发现还真不少。但是，没有经过思维考量的数学请举手。，算不上真正的数学知识。刚才有人说，圆有无数条半径，同意的(全班学生都举起了手)不过，为什么呢?(一只只举起慢慢放了下来。)师：原来，大

10、家都是蒙的!不过还好，至少还有几只手直到现在还举着。要不，先来听听他们，或许你会从中受到启发。生：刚才我只画了一条，但如果该有无数条。 师：都同意?生：同意!师：有人就不同意。这是去做的一次小实验(教师呈现在半径继续画下去，也画不完，所以应班上的小陈同学在学完圆的认识后回5 厘米的圆上画得密密麻麻的半径)。瞧，他在这么大的圆里画满了半径，最后一数，才 524 条。不对呀，不是说无数条吗?生：我觉得他的圆太小了，要是再大一点，那么画的半径就了。师：哦，你是说大圆的半径有无数条，而小圆的半径则未必?(生一时语塞。)生：不对，大圆小圆的半径都应该是无数条。，主要是这位同学用的铅笔太粗了。如果用细一半

11、的铅笔画，应该可以画一千多条；如果用再细一半的铅笔画，半径就有两千多条。这样不断地细下去，最终可以画出无数条半径。师：多富有想象力呀!半径可以不断地细下去，直到无穷无尽。这样想来，半径当然应该有生：无数条。生：我还有补充。因为半径是从圆上任意一点发出的，所以圆有无数条半径。师：什么叫任意?生：随便。师：那么，在一个圆上有多少个这样随便的点?生：无数个。生：有一个点，就能连出一条半径。有无数个点，就能连出无数条半径。师：回过头来看看，同样是无数条半径，经过怎么样?生：我觉得更清楚了。生：原来只是种感觉，现在真正理解了。师：数学学习可不能只浮子表面，或停留于的深入思考，大家感觉，还得学会问为什么。

12、只有这样，数学思考才会不断生：它们的长度都相等。深入。关于半径，还有其他新的发现吗?师：同意的举手。(全班学生又一次都举起了手。)了不起!不过生：为什么?(话还没说完，一大半学生就放下了手。听课教师大笑。)师：有这样的追问意识挺好!不过，光等着别人来回答也不是个办法。这样吧，我稍作提醒：课前，数学老师让咱们都带了直尺，猜猜为什么?生：可以量。 (学生操作后，发现圆的半径的确都相等。)生：其实根本不用量。因为画圆时，圆规两脚的距离一直不变，而两脚的距离其实就是半径的长，所以半径的长度当然处处相等。师：多妙的思路 1 看来，画一画、量一量是一种办法，而借助圆规画圆的方法进行推理，同样能得出结论。通

13、过刚才的研究，关于半径，些结论?生：半径有无数条，它们的长度都相等。师：其实，关子圆，早在 2000 多年前，我国古代伟大的已有了哪家也得出能不能过和看懂?相似的结论。只不过，他的结论是用古文描述的，不知道(课件出示：“圆，一中同长也。”)生：一中，应该是指圆心。师：没错。圆心，正是圆的中心。那同长生：应该是指半径同样长!师：这样看来，生：完全一样。 师：不过，也有人能指生：直径同样长。得出的结论和刚才得出的，这里的“同长”除了指半径同样长以外，还可师：没错。(板书：直径。)连接圆心和圆上某一点的线段叫半径。那么，怎样的线段叫直径呢?(少数学生举手。)我猜，多数同学不是不知道，而是不会用语言来

14、描述，是这样吗?(多数学生连连点头。)那么，能用手比画出一条直径吗?(学生比画。)师：刚才的半径是画的。这回，来试试。(教师故意将直尺摆放在偏离圆心的位置，提笔欲画。)生：老师，您的直尺放错位置啦，应该放在圆心上。师：哦，原来是这样。画到圆心时停下。)生：错!(教师调整好直尺的位置，并从圆上某点开始画，生：这是一条半径呢，还得继续往下画。教师继续往下画，眼看就要画到圆上时，不露痕迹地停下了笔。生：对!生：不对!是错的。师：怎么又反悔了?生：还没到头，还得再往前画一点点。教师继续往下画。就在学生喊“对”时，教师又悄悄地往前画了一小段。生：对!生：不对!出头啦。上当了。师：一会儿对，一会儿错，都给

15、弄糊涂了。画直径到底得注意些什么呢?生：得通过圆心。生：两头都要在圆上。生：还不能出头。师：这就对啦!数学上，把通过圆心、两端都在圆上的线段叫做直径。直径通常用字母 d 表示(板书：d)。请在你的圆上画出一条直径，标上字母d。(学生操作。)师：半径的特点已经研究过了，直径又有哪些特点呢?大家可以和半径比较着研究。半径有无数条，那么生：直径也有无数条。师：半径的长度都相等，那么生：直径的长度也都相等。师：直径有无数条，度都相等，为什么呢?就不必去探讨了，原因和半径差不多。直径的长生：是量的，发现直径的长度都是 6 厘米。师：瞧，动手操作又一次帮助获得了结论。生：不用量也行。发现，每一条直径里面都

16、有两条半径，半径的长度都相等，那么，直径的长度当然也都相等。师：在看来，这只是一条直径，但在他的眼里，还看出了两条半径，多厉害!尤其是，他的发现还帮助获得了一个新的结论，那就是，在同一个圆里，直径和半径是有关系的。谁能用最简洁的语言描述出它们之间的关系?生：直径是半径的两倍。师：挺好。还能更简洁吗?生：半径 x2：直径。师：的确又简洁了些。还能更简洁吗?(无人举手。)想想它们的字母生：我知道了，d=2r。师：这就是数学语言的!可千万别小看这个结论。(教师课件出示图 4)试想一下，如果在一个圆里，圆的半径不是都相等的，而是有的长、有的短，最后连起来的还会是一个光滑、饱满、匀称的圆(指着图 4)吗

17、?生：那样的话，就会凹凸不平了。师：是什么内在的原因，才使得圆看起来这么光滑、饱满、匀称?生：是半径的长度都相等。师：正因为在同一个圆里，半径的长度处处相等，才使得圆看起来如此光滑、饱满、匀称。圆的美，其内在原因也正在于此。三、沟通联结师：在同一个平面图形中，具有这样等长线段的不是只有圆。瞧，这是一个正三角形(见图 5 中的第 1 个图形)，从它的中心出发，连接 3 个顶点，这 3条线段的长度生：都一样。师：这样的线段一共有 3 条。再来看正方形(见图 5 中的第 2 个图形)，这样的线段有几条?生：4 条。师：正五边形(见图 5 中的第 3 个图形)呢?生：5 条。师：正六边形(见图 5 中

18、的第 4 个图形)呢?生：6 条。师：正八边形(见图 5 中的第生：8 条。师：圆有多少条?生：无数条。5 个图形)呢?师：难怪有人说，圆其实是一个生(底气)：正无数边形。师：多有意思的描述呀刚才，整地来看一看(呈现图 5)。是一个一个来观察的，下面，再完师：从正三角形到正四边形、正五边形、正六边形、正八边形，随着正多边形边数的不断增加，发现了什么?生：它们一个比一个更像圆。师：哪个图形最像?生：正八边形。师：不过，毕竟离圆还有一些距离。要怎样，才能更接近圆?生：边数要再多一些，一定会更接近。师：真会这样吗?想不想通过实验来验证一下?(教师借助简化后的几何画板依次画出正十六边形、正三十二边形、

19、正一百边形，并引导学生观察边的变化。当画出正一百边形时)生：哇，真是太圆了。师：这才是正一百边形呢。想象一下，如果是正一千边形、正一万边形，甚至正二亿边形直到无穷无尽，这时生：它就是一个圆了。把这些正多边形排成一排，正三角形站第 1 个，正方形站第 2师：如果个，正五边形站第 3 个这样排下去，猜猜看，这个队伍的最远方站着的应该是谁?生：圆。师：不对呀，这些都是直线图形，圆是曲线图形，跑来干嘛?(学生一时不知如何回答。)这里涉及更高深的数学知识，到了中学、大学，相信一定会有更深入的了解。师：这个圆片没有标出圆心。既然圆心都没有标，它的半径是多少呢?能想办法测量出来吗?(学生操作，随后交流。)生

20、：组把一个圆对折，折痕就是它的直径。量出直径的长度后再除以 2，就求出了半径的长度。半径是 3 厘米。师：可别小看这一方法。正是这一对折、一重合，还让在不经意间发现了圆的另一个，那就是，圆其实还是一个生：轴对称图形。生：而且，；圆还有无数条对称轴。师：也就是说，和其他轴对称图形相比，圆还具有无穷对称性。还有别的方法吗?生：组把一个圆对折后再对折，一展开，两条折痕的交点就是圆心，找出圆心后，半径就能量出来了。我手中的圆半径是 5 厘米。生：其实不用展开，直接量出这条边的长，就是半径的长。径正好是 4 厘米。组的圆半师：不是说圆的半径都相等吗?手中的圆，半径有的是 3 厘米，有的是 4 厘米，还有

21、的是 5 厘米。这是为什么?生：说半径相等，指的是在同一个圆里，大家的圆大小不同，半径当然也手中的圆，哪个最大，哪个最小?就不等了。师：那么，生：半径 5 厘米的最大，半径 3 厘米的最小。师：是不是这样呢?让 看来，圆的大小和什么有关?生：和半径有关。师：半径越长，；圆生：越大。半径越短，举起来，互相看看，比比。(生举起手中的圆)。圆越小。，师：刚才，有同学悄悄地说，这些圆的圆心都没标，应该不是用圆规画出来的。觉得呢?生：是的，如果用圆规画的话，应该会留下一个针眼；师：那不用圆规，我会是怎样画出这些圆的呢?生：用一只碗扣在白纸上，然后沿着碗边描一圈画出来的。师：依葫芦画瓢?有想象力！但很遗憾

22、，不对。生：可能是用一根绳子的一端拴着铅笔，另一端固定，然后把铅笔绕一圈画出来的。师：很有创意的想法，简直就是一把简易的圆规。但很遗憾，还是不对！生：我知道了，你是先画一条线段，然后换一个方向再画一条同样长的线段，然后方向画下去，最后把这些线段的端点连起来，就画咸了一个圆。师：你太有想象力了!待会儿的学习中；一起来验证你的这法。行了，不用再猜了，其实就藏在这里。(教师打开 WORD 文档，并利用画图工具画出了一个标准的圆。)生(然大悟)：哦，原来是用电脑画的！师：可问题又来了。这样画圆，大小很随意，半径怎么可能正好是 3 厘米、4 厘米或 5 厘米呢?难不成，我是用直尺在屏幕上量的?生(笑)：

23、不可能!师：别着急，继续往下看就知道了(教师双击画图工具里的圆，出现了一个框，其中有高度和宽度两个项目。)想，对于圆来说，高度意味着什么?生：它的直径。师：现在，要画一个半径 3 厘米的圆，高度得调整为多少?生：3 厘米。生：不对，应该是 6 厘米。教师将高度调整为 6 厘米，电脑里竟然出现了一个椭圆。生：还得调整宽度。教师将宽度也调整为 6 厘米，画出一个圆。师：用同样的方法，能画出半径 4 厘米、5 厘米的圆吗?生：能，只要依次把高度和宽度都调整为 8 厘米、10 厘米就行了。师：古人云，“没有规矩，不成方圆”。最初的意思是说，没有圆规是画不出圆的。现在看来，不用圆规，真的就画不出圆了吗?

24、生：不对，画圆其实还有很多种方法。师：当然，话还得说回来，在所有这些方法中，用圆规画圆仍然是最常用的一种。(教师引导学生在用圆规画半径为 3 厘米、4 厘米、5 厘米的圆的过进一步体验“圆规两脚间的距离等于半径的长”。)四、审美延展师：最后，让再一次回到平面图形的世界，感受圆与其他图形错综复杂的关系。瞧，这里有一个正三角形，现在，沿着它的中心把它稍作旋转(出示图 6)。旋转以后的三角形与原来的三角形有没有完全重合?生：没有。师：，我还得再旋转一次。生：还是没有。师：再来看圆。想象一下，如果怎样?生：不管怎么转，都会重合。沿着圆心把圆也旋转一下，情况又会师：是不是这样呢?来，拿出刚才的圆，用铅笔

25、尖抵住圆心，并按在桌面上，轻轻转一转。 (学生操作。)角形具有旋转不变性吗?生：没有。师：不过别遗憾。如果把圆的这一特点叫做旋转不变性。那么，三按照特定的角度继续把这个三角形旋转下去，情况又会怎样呢?让拭目以待。(课件演示，最终呈现图 7。)生(惊讶)：哇，太棒了，居然是一个圆!生：不对，是一个近似的圆。师：瞧，直线图形转着转着，又回到了圆，真有意思。不过，刚才是绕着平面图形的中心点旋转的。如果绕着其他点旋转，还会出现这样近似的圆吗?生：应该不会?生(声音很小)：可能会。师：会还是不会，还是用事实来说话吧瞧，这是一个正方形。现在，绕着它的一个顶点旋转(课件演示旋转过程，最终呈现图 8)生(不可

26、思议)：居然也行！生：好漂亮！师：更漂亮的还在后面呢! (课件呈现图 9、图 10。)生：哇!师：别光顾着感叹，能看出这两幅图是由什么图形旋转而成的吗?生：椭圆。生：线段。师：想不想看看线段是怎样旋转成图 10 这样美妙的图案的?生：想!师：观察时，请大家牢牢盯住线段的两个端点，看看线段旋转时，这两个端点是沿着怎样的轨迹移动的。教师利用课件演示线段旋转的完整过程，学生根据观察到的情形，用手比画线段端点移动的轨迹。师：其实，所谓圆，就是某个点沿着特殊路线运动后留下的轨迹。到了中学，就会明白。还接触了其他平面图形，如长方形、梯形、平行四边形，甚至还有不规则的曲线图。这些图形如果绕着其中的某一点旋转

27、，会不会也出现和圆有关的美妙图案呢?课后动手去试一试吧!相信，一定会有惊喜在等待着大家的下面就中渗透数学文化。执教的“圆的认识”这节课，谈谈如何在小学数学教学一、对“教师文化底蕴”的追问培养什么样的很大程度上取决于老师的教育和教育行为。如果说数学需要“文化”，那么首先教师需要“文化”。教师要树立的教育观，着眼于学生的终生学习的愿望和能力，从学生的全面、持续、和谐发展出发进行教学工作。另外，教师的文化底蕴是数学“文化”的保证，一个数学教师，如果不能对自己的学科怀有一种追本溯源的态度，如果不能对“数学、数学教育、数学与人的关系、数学教育存在的意义、数学教育之目的”等有一份深切关注与深刻思索，他的工

28、作则必然就带有一种盲目性与追逐性，自然就无法在纷繁复杂的数学教育与创新的支点。中寻得“不变的东西”，找准继承在的数学课堂上，可以随时随地触觉到数学的、数学的历史、数学的精神乃至数学的力量，也可以体会到他丰厚的文化底蕴。他的“圆的认识”一课上，从水面上漾起的层层涟漪，到阳光下绽放的向日葵，从光线折射后形成的美妙光环，到殊仪器拍摄到的电磁波、波、月球上的环形山，进而再到建筑、美学、民俗、艺术等各个领域，“圆”这一抽象的平面图形以一种瑰丽的姿态走进了孩子们的视野，并悄悄改变着他们对数学抽象面孔的最初印象，在他精心演绎的智慧课堂里，有一种充满生命的漫诗意的人性光辉，更加灵动与飘逸。二、对“数学美”的体

29、悟，弥数学首先是“真”的，它是一门充满理性，并“教人”理性的学科。然而，这并不意味着可以由此而放弃对数学“美”的追随。哲学家说：“数学，如果正确地看她，不但理，而且也具有至高的美。数学提供了一种精确简洁通用的科学语言，数学语言正是以结构与内容上的完美给人以美的感受。”如何在课堂向学生传递数学的美，让学生们耳濡目染数学给带来的关于自然有序、结构的验人与自然和谐共处、同生共荣美好景象，获得对大自然崇高和敬畏之感，或许，作为数学教师，首先就应具备对数学美感的良好的感受、捕捉和创造能力，并带着自己对数学美的强烈体验与感悟走进课堂、走进孩子、走进数学，与他们共享数学美、共创数学美。众所周知，“在所有平面

30、图形中，圆是最美的！”这已经成为大家的共识。，如何引导学生去感受圆这一平面图形的美，进而获得真切的审验？课堂上，设计的几个问题耐人回味：“和其他直线图形相比，你觉得圆美在哪里？”（曲线围成）“，不规则的曲线图形或者椭圆也是特别之处？”（圆看起来更光滑、由曲线围成的呀，和他们相比，圆又匀称）“除了外表光滑、匀称以外，还有没内在的原因，让圆成为最美的平面图形？”“所有的半径都相等，这与圆的美重要的关联吗？”（事实上，正因为半径处处相等，才使得圆具备了一种无限对称的和谐结构，美因此而生）一连串，看似都在探寻“圆为什么最美”，但探究的最终结果却指向了圆的内在特征，以及由这些特征所的圆的和谐结构。至此，数学知识的习得、数学方法的渗透、数学美的体验，三者有机融合为一体，共同构筑起了这节具有浓郁文化气质的数学课。三、对“史”的关注在数学课程标准中，数学发展史作为一种人类的文化，它的内容、方法和语言是现代文明的重要组成部分。察史可以明今。一个真正热爱数学的教育工作者，理应具备深沉的历史感。明了中国数学的历史、明察西方 数学的历史、明晰它们之间的区别和联系，知悉中国数学“问题解决”之传统，知晓西方数学“科学理性”之渊源。或许在小学数学教育中，不会与孩子们