二次根式教学实录

1、第 PAGE35 页 共 NUMPAGES35 页二次根式教学实录“二次根式” 二次根式教学实录1一、教学目的1.掌握二次根式的性质2.可以利用二次根式的性质化简二次根式3.通过本节的学习浸透分类讨论的数学思想和方法二、教学设计比照、归纳、总结三、重点和难点1.重点：理解并掌握二次根式的性质2.难点：理解式子 中的 可以取任意实数，并能根据字母的取值范围正确地化简有关的二次根式.四、课时安排1课时五、教具学具准备投影仪、胶片、多媒体六、师生互动活动设计复习比照，归纳整理，应用进步，以学生活动为主七、教学步骤(一)教学过程【复习引入】1.求值 、 、 、 求值 、 、 、 结论：当 时， ;当

2、时， .2.求值 、 结论：当 时，式子有意义， ，对于 ， 不能为负数.3.求值 、 结论：当 时， .问：假设根号内这个式子中的底数 ，根式还有意义吗?其值等于什么?例如， ，其中-2与2互为相反数; ，其中-3与3互为相反数; ，其中 与 互为相反数.【讲解新课】提出问题： 等于什么?引导学生讨论、猜测、联想，得到结论：老师可结合学生的详细情况，将上面公式用最简练的语句表达，并反复提问中差学生，加深其印象，进一步提问：假设 时， 能否等于 ，以增强学生的区分才能，加强学生对公式的理解和记忆.例1 化简：(1) ; (2) .解：(略).注： 可看作 ，把 先写为 ;可看作 ，把 先写为

3、.例2 化简： .分析p ：底数 是非负数还是负数将直接影响结果，这时要注意条件，由条件 ，可得 . .解：(略).例3 化简以下各式：(1) ( (2) ( (3) ( (4) ( ).解：(1) .(2) ，即 .(3) ，即 .(4) ， ，即 . .注：要从条件出发，判断根号下面式子的底数是非负数还是负数，再根据公式 计算出结果，因此在解题过程中，也是先写出条件，后进展变形，判断底数的正、负.在写解题步骤上，尽量完好，以减少失误，并训练学生的逻辑思维才能.(二)随堂练习1.求值：(1) ;(2) ;(3) ( (4) ;(5) .解：(1) .(2) .(3) .(4) .(5) .注

4、： ，学生易与 相混淆.2.化简：(1) ;(2) ;(3) ;(4) ( (5) ( ).解：(1) .(2) .(3) .(4) .(5) .(三)总结、扩展对公式 ，一定要在理解在根底上结实掌握，要准确地运用公式进展二次根式的化简，关键是对根号内式子的底数的判断.(四)布置作业教材P213中1(2)、(32(1)、(2).(五)板书设计二次根式教学实录2教学建议本节的重点有两个：同类二次根式的概念二次根式加减运算的方法本节的主要内容是讲解，而的关键是把二次根式化为最简二次根式，再把同类二次根式合并.运算本质是合并同类二次根式，前提是要充分理解同类二次根式的概念，因此同类二次根式的概念是本

5、节的一个重点.本节的难点 运算首先是化简，在化简之后，就是类似整式加减的运算了.整式加减无非是去括号与合并同类项，二次根式的加减在化简之后也是如此，同类二次根式类似同类项.但是学生初次接触，在运算过程中容易出现各种各样的错误，因此纯熟掌握运算是本节的难点.本节的主要内容是讲解，而的关键是把二次根式化为最简二次根式，再把同类二次根式合并.(1)在知识引入的讲解中，有两种不同的处理方法：一是按照教材中的方法，先给出几个二次根式，把他们都化成最简二次根式，在进展比拟或者加减运算，从而引出和同类二次根式;二是先复习同类项的概念或进展一两道简单的正式加减的题目，通过类比引出同类二次根式和.两种处理方法各

6、有优劣，老师在教学过程 中可根据学生的实际情况进展选择，当然也可以把这两种方法综合应用，但有些过繁.(2)在教材例1的教学中，老师可以根据学生情况进展细分处理，例如分成几个小问题：把被开方数都是整数的放在一个小题中，把被开方数都是分数的放在一个小题中，把被开方数带有简单字母的放在一个小题中，把字母次数略高于2的放在一个小题中，使问题的解决有一个由浅入深的渐进过程，便于学生参与其中，也容易使学生获得成就感.(3)在组织学生进展教学中，同样将例题细分成几个层次进展教学，例如：不需要化简能直接进展相加减的，需要化简但被开方数都是简单整数的，被开方数都是有理数但既有整数又有分数的，被开方数含有字母的，

7、等等.(4)在二次根式加减法的组织教学中，虽然教材已经不要求二次根式加减法的法那么，但可以组织学生自己总结法那么，既有利于学生的参与，又能进步学生的观察、分析p 和归纳才能.(5)在二次根式加减法的整个教学环节中，老师都要及时纠正学生的错误认识，比方：不是最简二次根式就不是同类二次根式，该化简的没有化简，或化简的不正确，该合并的没有合并，不该合并的给合并了，或者合并错了，等等类似情况.老师在教学中可以出一些容易出错的题目让学生进展区分，以利于知识的稳固.教学设计例如1一、素质教育目的(一)知识教学点1.使学生理解最简二次根式的概念和同类二次根式的概念.2.能判断二次根式中的同类二次根式.3.会

8、用同类二次根式进展二次根式的加减.(二)才能训练点通过本节的学习，培养学生的思维才能并进步学生的运算才能.(三)德育浸透点从简单的同类二次根式的合并，层层深化，从解题的过程中，让学生体会转化的思维，浸透辩证唯物思想.(四)美育浸透点通过二次根式的加减，浸透二次根式化简合并后的形式简单美.二、学法引导1.老师教法 引导法、比拟法、剖析法，在比拟和剖析中，不断纠正错误，从而树立结实的计算方法.2.学生学法 通过不断的练习，从中体会、比拟、二次根式加减法中，正确的方法使用，并注重小结出二次根式加减法的法那么.三、重点难点疑点及解决方法1.教学重点 运算.2.教学难点 二次根式的化简.3.疑点及解决方

9、法 的关键在于二次根式的化简，在适当复习二次根的化简后进展一步引入几个整式加减法的，以引起学生的求知欲与兴趣，从而最后引入同类，可进展阶梯式教学，由浅到深、由简单到复杂的教学方法，以利于学生的理解、掌握和运用，通过详细例题的计算，可由老师引导，由学生总结出计算的步骤和注意的问题，还可以通过反例，让学生去伪存真，这种比拟法的教学可使学生对概念的理解、法那么的运用更加准确和纯熟，并能进步学生的学习兴趣，以到达更好的学习效果.四、课时安排2课时五、教具学具准备投影片六、师生互动活动设计1.复习最简二根式整式及的加减运算，引入二次根式的加减运算，尽量让学生答复以下问题.2.老师通过例题的示范让学生理解

10、什么是，并引入同类的二次根式的定义.3.再通过较复杂的计算，引导学生小结归纳出的法那么.4.通过学生的反复训练，发现问题及时纠正，并引导学生从解题过程中体会理解二次根式加减法的本质及解决的方法.七、教学步骤(-)明确目的学习二次根式化简的目的是为了能将一些最终能化为同类二次根式项相合并，从而到达化繁为简的目的，本节课就是研究.(二)整体感知同类二次根式的概念应分二层含义去理解(1)化简后(2)被开方数还一样.通过正确理解二次根式加减法的法那么来准确地施行二次根式加减法的运算，应特别注意合并同类二次根式时仅将它们的系数相加减，根式一定要保持不变，并可比照整式的加减法那么以增加对合并同类二次根式的

11、理解，增强综合运算的才能.第一课时(-)教学过程【复习引入】什么样的二次根式叫做最简二次根式?(由学生答复)与 的形式与本质是什么?可以化简为 .继续提问： ，可以化简吗?，可以化简吗?这就是本节课研究的内容.【讲解新课】1.复习整式的加减运算计算：(1) ;(2) ;(3) .小结：整式的加减法，本质上就是去括号和合并同类项的运算.2.例题(1)计算 .解： .(2)计算 .解： .小结：(1)假如几个二次根式的被开方数一样，那么可以直接根据分配律进展加减运算.(2)假如所给的二次根式不是最简二次根式，应该先化简，再进展加减运算.定义：几个二次根式化成最简二次根式以后，假如被开方数一样，这几

12、个二次根式就叫做同类二次根式.3.例题例1 以下各式中，哪些是同类二次根式? ， ， ， ， ， ， .解：略.例2 计算 .解：.例3 计算 .解：.二次根式加减法的法那么：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式进展合并，合并方法为系数相加减，根式不变.(可比照整式的加减法那么)例4 计算：(1) .解：.(2) .解：.(二)随堂练习计算：(1) ;(2) ;(3) .练习：教材P192中1、2(1)、(2)、(3)、(4)、(5教材P193中1、2.(三)总结、扩展同类二次根式的定义.与整式的加减法进展比拟，强调注意的问题.(四)布置作业教材P193中(1)、

13、(2)、(3)、(4)、(5)、(6教材P194中4(1)、(2)、(3)、(4).(五)板书设计二次根式教学实录31.教材分析p 本节是在前两节的根底上，从实际运算的客观需要出发，引出的概念，然后通过一组例题介绍了化简二次根式的方法.本小节内容比拟少(求学生理解的概念并掌握化简二次根式的方法)，但是本节知识在全章中却起着承上启下的重要枢纽作用，二次根式性质的应用、二次根式的化简以及二次根式的运算都需要来联接.(1)知识构造(2)重难点分析p 本节的重点 .概念.利用二次根式的性质把二次根式化简为.重点分析p 本章的主要内容是二次根式的性质和运算，但自始至终围绕着二次根式的化简和运算.二次根式

14、化简的最终目的就是;而二次根式的运算那么是合并同类二次根式，怎样断定同类二次根式，是在化简为的根底上进展的.因此本节以二次根式的概念和二次根式的性质为根底，内容虽然简单，在本章中却起着穿针引线的作用，老师 在教学 中应给于极度重视，不可因为内容简单而采取弱化处理;同时初二学生代数成绩的分化一般是由本节开场的，分化的根本原因就是对概念理解不够深化，遇到相关问题不知怎样操作，详细操作到哪一步.本节的难点是化简二次根式的方法与技巧.难点分析p 化简二次根式，实际上是二次根式性质的综合运用.化简二次根式的过程，一般按以下步骤：把根号下的带分数或绝对值大于1的小数化成假分数，把绝对值小于1的小数化成分数

15、;被开方数是多项式的要因式分解;使被开放数不含分母;将被开方数中能开的尽方的因数或因式用它的算术平方根代替后移到根号外面;化去分母中的根号;约分.所以对初学者来说，这一过程容易出现符号和计算出错的问题.纯熟掌握化简二次根式的方法与技巧，可以进一步开拓学生的解题思路，进步学生的解题才能.重难点的解决方法是对于这一概念，并不要求学生能否背出定义，关键是遇到实际式子可以加以判断.因此建议在教学过程 中对概念本身采取弱化处理，让学生在反复练习中熟悉这个概念;同时教学 中应充分对概念理解后应用详细的实例归纳总结出把一个二次根式化为的方法，在观察比照中引导学生总结详细解决问题的方法技巧.另外，化简运算在本

16、节既是重点也是难点，学生在简洁性和准确性上都容易出现问题，因此建议在教学过程 中多要求学生观察二次根式的特点根据其特点分析p 运用哪条性质、哪种方法来解答，培养学生的分析p 才能和观察才能多要求学生注意每步运算的根据，培养学生的严谨习惯.2.教法建议素质教育 和新的教改精神的根本是增强学生学习的自主性和学生的参与意识，使每一个学生想学、爱学、会学。因此老师 设计教学 时要充分考虑到学生心理特点和思维特点，充分发挥情感因素，使学生完全参与到整个教学 中来。在复习引入时要注意每个学生的反映，对预备知识掌握比拟好的学生要用适当的方式给于表扬，掌握差一些的学生要给予鼓励和适当的指导，使每一个学生愉快的

17、进入下一个环节。学生自主学习时段，老师 要注意学生的反应情况，根据学生的反应情况和学生的层次采取适当的方式对需要帮助的学生给予帮助，中上等的学生可以启发，中等的学生可以与他讨论，偏后的学生可以帮他分析p .一教学目的1.理解的意义，并能作出准确判断.2.能纯熟地把二次根式化为.3.理解把二次根式化为在实际问题中的应用.4.进一步培养学生运用二次根式的性质进展二次根式化简的才能，进步运算才能.5.通过多种方法化简二次根式，浸透事物间互相联络的辩证观点.6.通过本节的学习，浸透转化的数学思想.二.重点难点1.教学 重点 会把二次根式化简为2.教学 难点 准确运用化二次根式为的方法三.教学 方法程序

18、式教学四.课时安排2课时五.教学过程1.复习引入老师 准备本节内容需要的二次根式的性质和与性质相关例题、练习题以及引入材料.【预备资料】.二次根式的性质.二次根式性质例题.二次根式性质练习题【引入材料】看下面的问题： =1.732，如何求出 的近似值?解法1：解法2：比拟两种解法，解法1很繁，解法2较简便，比例说明，将二次根式化简，有时会带来方便.2.概念讲解与稳固满足以下条件的二次根式，叫做：(1) 被开方数的因数是整数，因式是整式;(2) 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.如: 都不是，因为被开方数的因数(或系数)为分数或因式为分式，不符合条件(1)，条件(1)实际上就是要求被开方数的

19、分母中不带根号.又如 也不是，因为被开方数中含有能开得尽方的因数或因式，不满足条件(2).注意条件(2)是对被开方数分解成质因数或分解成因式后而言的，如 .判断一个二次根式是不是的方法，就是逐个检查定义中的两个条件是否同时满足，同时满足两个条件的就是，否那么就不是.【概念理解学习材料1】例1 以下二次根式中哪些是?哪些不是?为什么?分析p ：判断一个二次根式是不是的方法，就是逐个检查定义中的两个条件是否同时满足，同时满足两个条件的就是，否那么就不是.解：有 ，因为被开方数中含能开得尽方的因数9，所以它不是.说明：判断一个二次根式是否为主要方法是根据的定义进展，或直观地观察被开方数的每一个因数(

20、或因式)的指数都小于根指数2，且被开方数中不含有分母，被开方数是多项式时要先因式分解后再观察。【概念理解稳固材料1】正选练习题1判断以下各式是否是?备选选练习题1判断以下各式是否是?【概念理解学习材料2】例2判断以下各式是否是?分析p ：(1) 显然满足的两个条件.(2) 或解：只有 ，因为或说明：应该分母里没根式，根式里没分母(或小数).【概念理解稳固材料2】正选练习题2判断以下各式是否是?备选选练习题2判断以下各式是否是?【概念理解学习材料3】例3判断以下各式是否是?分析p ：应该分母里没根式，根式里没分母(或小数)来进展判断发现 和 是，而 不是，因为在根据定义知 也不是，因为解：有 和

21、 ，因为，.【概念理解稳固材料3】正选练习题3判断以下各式是否是?备选选练习题3判断以下各式是否是?题目可根据学生实际情况选择2-3道.【概念理解学习材料4】例4判断以下各式是否是?分析p ：被开方数是多项式的要先分解因式再进展观察判断.(1) 不能分解因式， 显然满足的两个条件.(2)解：只有 ，因为.说明：被开方数比拟复杂时，应先进展因式分解再观察.【概念理解稳固材料4】正选练习题4判断以下各式是否是?备选选练习题4判断以下各式是否是?题目可根据学生实际情况选择2-3道.3.化简二次根式为方法学习与稳固学生阅读老师 预备的材料，理解后自主完成老师 准备的正选练习题，每完成一套与老师 交流一

22、次，在老师 的指示下继续进展.老师 要及时理解学生对二次根式化简的反应情况，假如掌握比拟理想，那么要求进入下一步操作，否那么应与学生进展适当沟通，如需要可从备选练习题选择稳固.【化简方法学习材料1】例1把以下二次根式化为分析p ：本例题中的2道题都是根底题，只要将被开方数中能开的尽方的因数或因式用它的算术平方根代替后移到根号外面即可.解：【化简方法稳固材料1】正选练习题1化简备选练习题1化简题目可由老师 根据学生情况准备.【化简方法学习材料2】例2 把以下二次根式化为分析p ：本例题中的2道题被开方数都是多项式，应先进展因式分解.解：说明：被开方数中能开的尽方的因数或因式的算术平方根移到根号外

23、面后要注意符号问题.在化简二次根式时，要防止出现如下的错误:等等.化简二次根式的步骤是：(1) 把被开方数(或式)化成积的形式，即分解因式.(2) 化去根号内的分母，即分母有理化.(3) 将根号内能开得尽方的因数(式)开出来.【化简方法稳固材料2】正选练习题2化简备选练习题2化简题目可由老师 根据学生情况准备.【化简方法学习材料3】例3把以下二次根式化为分析p ：被开方式比拟复杂时，要先对被开方式进展处理。解：说明：运算中要注意运算的准确性和合理性.【化简方法稳固材料3】正选练习题3化简备选练习题3化简题目可由老师 根据学生情况准备.4.小结概念二次根式的化简化简二次根式的过程，一般按以下步骤

24、：把根号下的带分数或绝对值大于1的小数化成假分数，把绝对值小于1的小数化成分数;被开方数是多项式的要因式分解;使被开放数不含分母;将被开方数中能开的尽方的因数或因式用它的算术平方根代替后移到根号外面;化去分母中的根号;约分.二次根式教学实录4教学建议知识构造：重点难点分析p ：是商的二次根式的性质及利用性质进展二次根式的化简与运算,利用分母有理化化简.商的算术平方根的性质是本节的主线，学生掌握性质在二次根使得化简和运算的运用是关键，从化简与运算由引出初中重要的内容之一分母有理化，分母有理化的理解决定了最简二次根式化简的掌握.教学难点 是二次根式的除法与商的算术平方根的关系及应用.二次根式的除法

25、与乘法既有联络又有区别，强调根式除法结果的一般形式，防止分母上含有根号.由于分母有理化难度和复杂性大，要让学生首先理解分母有理化的意义及计算结果形式.教法建议：1. 本节内容是在有积的二次根式性质的根底后学习，因此可以采取学生自主探究学习的形式，通过前一节的复习，让学生通过详细实例再结合积的性质，比照、归纳得到商的二次根式的性质.老师在此过程中给与适当的指导，提出问题让学生有一定的探究方向.2. 本节内容可以分为三课时，第一课时讨论商的算术平方根的性质，并运用这一性质化简较简单的二次根式(被开方数的分母可以开得尽方的二次根式第二课时讨论二次根式的除法法那么，并运用这一法那么进展简单的二次根式的

26、除法运算以及二次根式的乘除混合运算，这一课时运算结果不包括根号出现内出现分式或分数的情况;第三课时讨论分母有理化的概念及方法，并进展二次根式的乘除法运算，把运算结果分母有理化.这样安排使内容由浅入深，各局部互相联络，因此及彼，层层展开.3. 引导学生考虑“想一想”中的内容，培养学生思维的深化性，老师组织学生考虑、讨论过程中，鼓励学生大胆猜测，积极探究，运用类比、归纳和从特殊到一般的考虑方法激发学生创造性的思维.教学设计例如一、教学目的1.掌握商的算术平方根的性质，能利用性质进展二次根式的化简与运算;2.会进展简单的二次根式的除法运算;3.使学生掌握分母有理化概念，并能利用分母有理化解决二次根式

27、的化简及近似计算问题;4. 培养学生利用二次根式的除法公式进展化简与计算的才能;5. 通过二次根式公式的引入过程，浸透从特殊到一般的归纳方法，进步学生的归纳总结才能;6. 通过分母有理化的教学，浸透数学的简洁性.二、教学重点和难点1.重点：会利用商的算术平方根的性质进展二次根式的化简，会进展简单的二次根式的除法运算，还要使学生掌握二次根式的除法采用分母有理化的方法进展.2.难点：二次根式的除法与商的算术平方根的关系及应用.三、教学方法从特殊到一般总结归纳的方法以及类比的方法，在学习了二次根式乘法的根底上本小节内容可引导学生自学，进展总结比照.四、教学手段利用投影仪.五、教学过程(一) 引入新课

28、学生回忆及得算数平方根和性质： (a0，b0)是用什么样的方法引出的?(上述积的算术平方根的性质是由详细例子引出的.)学生观察下面的例子，并计算：由学生总结上面两个式的关系得：类似地，每个同学再举一个例子，然后由这些特殊的例子，得出：(二)新课商的算术平方根.一般地，有 (a0，b0)商的算术平方根等于被除式的算术平方铲除以除式的算术平方根.让学生讨论这个式子成立的条件是什么?a0，b0，对于为什么b0，要使学生通过讨论明确，因为b=0时分母为0，没有意义.引导学生从运算顺序看，等号左边是将非负数a除以正数b求商，再开方求商的算术平方根，等号右边是先分别求被除数、除数的算术平方根，然后再求两个

29、算术平方根的商，根据商的算术平方根的性质可以进展简单的二次根式的化简与运算.例1 化简：(1) ; (2) ; (3) ;解(1)(2)(3)说明：假如被开方数是带分数，在运算时，一般先化成假分数;本节根号下的字母均为正数.例2 化简：(1) ; (2) ;解：(1)(2)让学生观察例题中分母的特点，然后提出， 的问题怎样解决?再总结：这一小节开场讲的二次根式的化简，只限于所得结果的式子中分母可以完全开的尽方的情况， 的问题，我们将在今后的学习中解决.学生讨论本节课所学内容，并进展小结.(三)小结1.商的算术平方根的性质.(注意公式成立的条件)2.会利用商的算术平方根的性质进展简单的二次根式的化简.