2022年八上全等三角形证明方法归纳经典

1、全等证明 解题方法归纳【第 1 部分 全等基础学问归纳、小结】1 、全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形；两个全等三角形中,相互重合的顶点叫做对应顶点 ,相互重合的边叫对应边 ,相互重合的角叫 对应角 ；概念深化懂得：（1 ）形状一样,大小也一样的两个三角形称为全等三角形；（外观长的像）（2 ）经过平移、旋转、翻折之后能够完全重合的两个三角形称为全等三角形；（位置变化）图 1 图 2 图 3 2 、全等三角形的表示方法：如 ABC 和 AB是全等的,记作“ ABC AB”C其中,“ ” 读作“ 全等于”应的位置上；3 、全等三角形的性质：；记两个三角形全等时,通常把表示对应顶

2、点的字母写在对全等是工具、手段,最终是为了得到边等或角等,从而解决某些问题；（ 1）全等三角形的对应角相等、对应边相等；（ 2）全等三角形的对应边上的高,中线,角平分线对应相等；（ 3）全等三角形周长,面积相等；4 、查找对应元素的方法（1 ）依据对应顶点找假如两个三角形全等,那么, 以对应顶点为顶点的角是对应角；以对应顶点为端点的边是对应边；通常情形下,两个三角形全等时,对应顶点的字母都写在对应的位置上,因此,由全等三角形的记法便可写出对应的元素；（2 ）依据已知的对应元素查找 全等三角形对应角所对的边是对应边,两个对应角所夹的边是对应边；第 1 页 共 20 页全等证明 解题方法归纳（3

3、）通过观看,想象图形的运动变化状况,确定对应关系；通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观看和分析,可以看出其中一个是由另一个经过以下各种运动而形成的；运动一般有 3 种：平移、对称、旋转；5 、全等三角形的判定： （深化懂得）边边边（ SSS ）边角边（ SAS ）角边角（ ASA ）角角边（ AAS ）斜边,直角边（HL ）留意：（简洁出错）（ 1）在判定两个三角形全等时,至少有一边对应相等（边定全等）；（ 2）不能证明两个三角形全等的是,三个角对应相等,即 对应相等,即 SSA ；AAA ；有两边和其中一角全等三角形是争论两个封闭图形之间的基本工具,同时也是移动图形位置的工具；在平面几何

4、学问应用中,如证明线段相等或角相等,或需要移动图形或移动图形元素的位置,常常需要借助全等三角形的学问；6 、常见帮忙线写法： （照着帮忙线说明要能做出图、养成严谨、严密的习惯）如：过点 A 作 BC 的平行线 AF 交 DE 于 F 过点 A 作 BC 的垂线,垂足为 D 延长 AB 至 C,使 BC AC 在 AB 上截取 AC,使 ACDE 作 ABC 的平分线,交 AC 于 D 取 AB 中点 C,连接 CD 交 EF 于 G 点同一条帮忙线,可以说法不一样,那么得到的条件、证明的方法也不同；第 2 页 共 20 页全等证明 解题方法归纳C【第 2 部分中点条件的运用】ABO1 、仍原中

5、心对称图形（倍长中线法）BA中心对称与中心对称图形学问：C把一个图形围着某一个点旋转180 ,假如它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称,这个点叫做对称中心；这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点；中心对称的两条基本性质：（1 ）关于中心对称的两个图形,对称点所连线段都经过对称中心,而且被对称中心所平分；（2 ）关于中心对称的两个图形是全等图形；中心对称图形把一个图形围着某一个点旋转180 ,假如旋转后的图形能够与原先的图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点就是它的对称中心；（一个图形）如：平行四边形线段本身就是中心对称图形,中点就是它的对称中心,所以遇到

6、中点问题,依靠中点借助辅助线仍原中点对称图形,可以把分散的条件集中起来（集散思想 ）；A例 1、 AD 是 ABC 中 BC 边上的中线,如 AB2 ,AC4 ,就 AD 的取值范畴是 _；DCB例 2 、已知在 ABC 中, AD 是 BC 边上的中线, E 是 AD 上一点,延长BE 交 AC 于 F,AAFEF,求证： ACBE；FEBDC第 3 页 共 20 页全等证明 解题方法归纳例 3、如图, D 是 ABC 的边 BC 上的点,且 的中线；求证：AC=2AE CD=AB , ADB= BAD ,AE 是 ABD例 4 ABC 中, AD 、BE、 CF 是三边对应中线； （就 O

7、 为重心）求证： AD 、 BE、CF 交于点 O ；（类倍长中线） ；SAOBSBOCSCOAAF EOBDC练习1 、在 ABC 中, D 为 BC 边上的点,已知BADCAD ,BDCD ,求证： ABACABDCCD ,M、N 分别为 BC 、AD 中点,延长MN 与 AB 、2 、如图,已知四边形ABCD 中, ABECD 延长线交于E、F,求证 BEMCFM BAFMDC3 、如图, AB=AE ,AB AE ,AD=AC ,AD AC ,点 M 为 BC 的中点,求证： DE=2AM （基本型：同角或等角的补角相等、K 型）EDABMC第 4 页 共 20 页2 、两条平行线间线

8、段的中点（“ 八字型 ” 全等）全等证明C解题方法归纳Al1如图,1l 2l ,C 是线段 AB 的中点,那么过点C 的任何Bl2直线都可以和二条平行线以及AB 构造 “ 8字型 ” 全等例 1 已知梯形 ABCD ,AD BC,点 E 是 AB 的中点,连接DE 、CE；求证：SDEC1S梯 ABCDAD2EB C例 2如图,在平行四边形ABCD 中, AD=2AB,M 是 AD 的中点, CEAB 于点 E,DCEM=40,求 DME 的大小；（提示：直角三角形斜边中线等于斜边的一半）AMEBCE例 3 已知 ABD 和 ACE 都是直角三角形,且ABDACE=90,连接 DE ,设 M

9、为DE 的中点；求证： MBMC ；设 BADCAE ,固定 Rt ABD ,让 Rt ACE移至图示位置,此时MBMC 是否成立？请证明你的结论；AACDMEDMCBB第 5 页 共 20 页全等证明 解题方法归纳练习 1 、已知：如图,梯形 ABCD 中, AD BC , ABC=90如 BD=BC ,F 是 CD 的中点,试问：BAF 与 BCD 的大小关系如何？请写出你的结论并加以证明；A DF2 、Rt ABC 中, BAC=90 ,M 为 BC 的中点,过BCl 于A 点作某直线 l ,过 B 作 BD点 D,过 C 作 CEl 于点 E；（1 ）求证： MD=ME （2 ）当直线

10、 l 与 CB 的延长线相交时,其它条件不变,（1）中的结论是否任然成立？lAElABDMCDBMCE3 、如图（ 1）,在正方形 ABCD 和正方形 CGEF （ CGBC）中,点 B、C、G 在同始终线上, M 是 AE 的中点,（1）探究线段MD 、MF 的位置及数量关系,并证明；（2 ）将图（ 1）中的正方形 CGEF 绕点 C 顺时针旋转,使正方形 CGEF 的对角线 CE 恰好与正方形 ABCD 的边 BC 在同一条直线上,原问题中的其他条件不变；（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明；（结合前面 “ 8字型 ” 全等,仔细摸索）F E FA DMA MD EB

11、 CB C GG第 6 页 共 20 页全等证明 解题方法归纳3 、构造中位线三角形中位线 定义 ：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线三角形中位线 性质 ：三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半重点区分 ：要把三角形的中位线与三角形的中线区分开,的中点；而三角形中位线是连结三角形两边中点的线段；三角形中线是连结一顶点和它对边（全等法）在 ABC 中, D、E 分别是 AB 、AC 边的中点,证明：DE BC,DE=1 BC 2A证明：延长 DE 至 F 点,使 DE=EF ,连接 CF（倍长中线）D E FB C三角形的中位线在位置关系和数量关系二方面把三角形有关线段联系起来,

12、将题目给出的分散条件集中起来（集散思想）；注：题目中给出多个中点时,往往中点仍是不够用的；例 1 在四边形 ABCD 中, E、F、 G、 H 分别是 AB 、BC 、CD 、DA 的中点；A求证：四边形EFGH 是平行四边形；EHDGB F C例 2 已知四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O,且 AC=BD , M、 N 分别是 AB 、CD 的中点, MN 分别交 BD 、AC 于点 E、F. 你能说出 OE 与 OF 的大小关系并加以证明吗？ADCE 是边MOEFNB练习1、三角形 ABC 中, AD 是 BAC 的角平分线, BD AD ,点 D 是垂足,点BC 的

13、中点,假如AB=6 ,AC=14,求 DE 的长；ADBEC第 7 页 共 20 页全等证明 解题方法归纳2 、AB CD ,BC AD ,DEBE ,DF=EF ,甲从 B 动身,沿着 BA-AD-DF 的方向运动, 乙 B 动身, 沿着 BC-CE-EF 的方向运动, 假如两人的速度是相同的,且同时从 B动身,就谁先到达 F 点？DA FCBE3 、等腰 Rt ABC 与等腰 Rt CDE 中, ACB= EDC=90 ,连 AE、BE ,点 M 为 BE 的中点,连DM ；的值（1 ）当 D 点在 BC 上时,求DM AE（2 ）当 CDE 绕点 C 顺时针旋转一个锐角时,上结论是否任然

14、成立,试证明AEMBAEMBDDCC第 8 页 共 20 页全等证明 解题方法归纳4 、 ABC 、 CEF 都为等腰直角三角形,当 AF,点 M、N 分别为 AF、 BE 的中点（1 ）MN 与 AE 的数量关系（2 ）将 CEF 绕 C 点顺时针旋转一个锐角,BNE、F 在 AC、BC 上, ACB=90 ,连 BE、MN 与 AE 的数量关系BNAMEFAMECFC4 、与等面积相关的图形转换在涉及三角形的面积问题时,中点供应了底边相等的条件,这里有个基本几何图形 A 如图, ABC 中, E 为 BC 边的中点,那么明显 ABE 和 AEC 有相同的高AD ,底边也相等,故面积相等；例

15、E、F 是矩形 ABCD 的边 AB 、BC 的中点,连AF 、CE 交于点 G,就S 四边形AGCD= S 矩形ABCDDCGFAEB第 9 页 共 20 页扩展全等证明解题方法归纳A如图,等腰Rt ACD 与 Rt ABC 组成一个四边形ABCD ,AC=4 ,对角线 BD 把四边形 ABCD 分成了二部分,求SABDSBCD的值；DC【5 、等腰三角形中的“ 三线合一 ” 】B“三线合一 ” 是相当重要的结论和解题工具,它告知我们等腰三角形与直角三角形有着极为亲热的关系 ；例 ABC 中, AB=AC ,BD AC 于 D,问 CBD 和 BAC 的关系？DAAADDBCBCBC；分析：

16、 CBD 和 BAC 分别位于不同类型的三角形中,可以考虑转为同类三角形例在 ABC 中, AB=AC=5,BC=6 ,点 M 为 BC 中点,AMN AC 于点 N,就 MN=_ NBMC【6 、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半】这可以作为一个定理直接运用,关于这个定理的证明有多种方法,包括利用前面所讲中点的一些学问；例 如图 Rt ABC 中, ACD=90,CD 为斜边 AB 上的中线求证： CD= 1AB ADB2E（1 ）利用垂直平分线的性质：垂直平分线上任一点到线段CF的二个端点的距离相等；第 10 页 共 20 页全等证明 解题方法归纳取 AC 的中点 E,连接 DE；就 D

17、E BC（中位线性质）ACB=90 BCAC ,DE AC AGC就 DE 是线段 AC 的垂直平分线AD=CD D（2 ）全等法,证法略；CFB例在三角形ABC 中, AD 是三角形的高,点D 是垂足,点E、F、G 分别是 BC 、AB 、AAC 的中点,求证：四边形EFGD 是等腰梯形；FBED练习 1 、在 Rt ABC 中, A=90O 为斜边 BC 的中点；试判定,AC=AB ,M、N 分别在 AC 、AB 上,且 AN=BM ；A OMN 的形状,并说明理由；MNBOC2 、 ABC中, A=90 ,D 是 BC 的中点, DE DF ；求证 : BE2CF2AEF2（集散思想）E

18、 FBDCC3 、 ABC中, AB=AC ,点 D 在 BC 上, E 在 AB 上,且 BD=DE ,点 P、M、N 分别为 AAD 、BE、 BC 的中点E（1 ）如 BAC=90,就 PMN=_,并证明P（2 ）如 BAC=60,就 PMN=_ M（3 ）如 BAC= A,就 PMN=_ BDNAEPMEPMBDNCBDNC第 11 页 共 20 页全等证明 解题方法归纳【中点问题练习题】1 、假设给出如下定义：有一组相邻内角相等的四边形叫做等邻角四边形请解答以下问题：（1 ）写出一个你所学过的特殊四边形中是等邻角四边形的图形的名称；（2 ）如图 1 ,在 ABC 中, AB=AC ,

19、点 D 在 BC 上,且 CD=CA ,点 E、 F 分别为 BC、AD 的中点,连接 EF 并延长交 AB 于点 G 求证：四边形 AGEC 是等邻角四边形；（3 ）如图 2 ,如点 D 在 ABC 的内部,（ 2）中的其他条件不变,EF 与 CD 交于点 H,是否存在等邻角四边形,如存在,是哪个四边形,不必证明；如不存在,请说明理由A AGGFFBDECBDECH2 、已知： ABC 和 ADE 都是等腰直角三角形,ABC= ADE=90 ,点 M 是 CE 的中点,连接BM D 在 AB 上,连接DM ,并延长DM 交 BC 于点 N,可探究得出BD（1 ）如图,点与 BM 的数量关系为

20、 _,写出证明过程；（2 ）如图,点 D 不在 AB 上,（1）中的结论仍成立吗？假如成立,请证明；假如不成立,说明理由；EDBNCEDMBCAMA第 12 页 共 20 页全等证明 解题方法归纳3 、在 AOB 中,AB=OB=2, COD 中,CD=OC=3,ABO= DCO 连接 AD 、BC ,B A点 M、N、P 分别为 OA 、OD 、 BC 的中点如 A、O、C 三点在同始终线上,ABO=60,就 PMN M的形状是 _,此时AD =_ OBC PNC D4 、已知：如图,正方形ABCD 中,E 为对角线BD 上一点,过E 点作 EFBD 交 BC 于F,连接 DF ,G 为 D

21、F 中点,连接EG,CG （1 ）求证： EG=CG ；（2 ）将图中 BEF 绕 B 点逆时针旋转45o ,如图所示, 取 DF 中点 G,连接 EG,CG 问（1 ）中的结论是否仍然成立？如成立,请给出证明；如不成立,请说明理由（3 ）将图中 BEF 绕 B 点旋转任意角度,如图所示,再连接相应的线段,问（1）中 的结论是否仍然成立？通过观看你仍能得出什么结论？（均要求证明）ADADGBEFGCEFACDBGE F全等三角形综合二BC学问点：第 13 页 共 20 页全等证明 解题方法归纳1、全等三角形的判定及性质：2、角平分线的性质与判定：3、常用帮忙线：例题讲解 例 1、如图,在 Rt

22、 ABC中, ACB=90 , CDAB 于 D,AE平分 BAC,交 CD于 K,交 BC 于 E,F 是 BE上一点,且 BF=CE,求证： FK AB例 2、如图 1, ABC中, BAC=90 , BA=AC,（1）D为 AC的中点,连 BD,过 A点作 AEBD于 E点,交 BC于 F 点,连 DF,求证： ADB=CDF（2）如 D,M为 AC上的三等分点,如图 MF,判定ADB与 CMF的大小关系并证明2,连 BD,过 A作 AEBD于点 E,交 BC于点 F,连例 3、如图,在ABC 中, C=90 , M 为 AB 的中点, DM AB ,CD 平分 ACB ,求证： MD=

23、AM 例 4、在ABC 中, ACB 为锐角,动点D（异于点 B）在射线 BC 上,连接 AD ,以 AD为边在 AD 的右侧作正方形 ADEF ,连接 CF（1）如 AB=AC , BAC=90 那么如图一, 当点 D 在线段 BC 上时,线段 CF 与 BD 之间的位置、 大小关系是 _ （直接写出结论）第 14 页 共 20 页全等证明 解题方法归纳如图二,当点 D 在线段 BC 的延长上时,中的结论是否仍然成立？请说明理由（2）如 AB AC ,BAC 90 点 D 在线段 BC 上,那么当 ACB 等于多少度时？线段CF 与 BD 之间的位置关系仍然成立请画出相应图形,并说明理由例

24、5、如图所示,已知A,B为直线 l 上两点,点 C为直线 l 上方一动点,连接AC、BC,分别以 AC、BC为直角边向ABC外作等腰直角CAD和等腰直角CBE,中意 CAD=CBE=90 ,过点 D作 DD1 l 于点 D1,过点 E作 EE1l 于点 E1（ 1）如图,当点E恰好在直线l 上时,试说明DD1=AB；DD1,EE1,AB之间的（ 2）在图中,当D,E 两点都在直线l 的上方时,摸索求三条线段数量关系,并说明理由例 6、如图 1,已知点 A （a,0）,点 B（0,b）,且 a、b 中意a44b0（ 1）求 A、B 两点的坐标；（ 2）如点 C 是第一象限内一点, 且 OCB=4

25、5 ,过点 A 作 AD OC 于点 F,求证：FA=FC；（ 3）如图 2,如点 D 的坐标为（ 0,1）,过点 A 作 AE AD ,且 AE=AD ,连接 BE 交 x 轴于点 G,求 G 点的坐标第 15 页 共 20 页全等证明 解题方法归纳巩固：1、如图,已知BAC=90 , AD BC 于点 D, 1=2,EF BC 交 AC 于点 F试说明 AE=CF 2、如图, ABC 中,AD 平分 BAC ,DG BC 且平分 BC,DE AB 于 E,DF AC 于 F（1）说明 BE=CF 的理由；（2）假如 AB=5 ,AC=3 ,求 AE 、BE 的长3、如图, ABC 中,AC

26、=2AB ,AD 平分 BAC 交 BC 于 D,E 是 AD 上一点,且 EA=EC ；求证： EBAB 4、如图,在ABC 中, ACB=90 , P 为 AC 上一点, PQAB 于 Q,AM AB 交 BP 的延长线于 M ,MN AC 于 N,AQ=MN （1）求证： AP=AM ；（2）求证： PC=AN 第 16 页 共 20 页全等证明 解题方法归纳5、如图,ABC内, BAC=60 , ACB=40 , P,Q分别在 BC,CA上,并且 AP,BQ分别 是 BAC,ABC的平分线,求证： BQ+AQ=AB+BP6、将两个全等的直角三角形ABC 和 DBE 按图（ 1）方式摆放

27、,其中ACB= DEB=90 ,A= D=30 ,点 E 落在 AB 上, DE 所在直线交AC 所在直线于点F（1）求证： CF=EF；（2）如将图（ 1）中的DBE 绕点 B 按顺时针方向旋转角a,且 0 a60 ,其他条件不变,如图（ 2）请你直接写出 或“=” 或“ ” ）AF+EF 与 DE 的大小关系： AF+EF_ DE （填“ ”（3）如将图（ 1）中 DBE 的绕点 B 按顺时针方向旋转角 ,且 60 180 ,其他条件不变,如图（3）请你写出此时 AF、 EF 与 DE 之间的关系,并加以证明7、如图,在平面直角坐标系中,点 O 为坐标原点,ABC 的三点坐标分别为 A （

28、0,5）,B（-5,0）,C（2,0）,BD AC 于 D 且交 y 轴于 E,连接 CE（1）求 ABC 的面积；（2）求OE 的值及AEACE 的面积A（4,4）,点 B、C 分别在 x 轴、 y 轴的正半轴上,S8、如图 1,在平面直角坐标系中,点第 17 页 共 20 页全等证明 解题方法归纳四边形 OBAC=16 （1） COA 的值为 _ ；（2）求 CAB 的度数；（3）如图 2,点 M 、N 分别是 x 轴正半轴及射线OA 上一点,且OH MN 的延长线于H,中意 HON= NMO ,请探究两条线段MN 、OH 之间的数量关系,并给出证明9、在平面直角坐标系中,点 A （2, 0）,点 B（0,3）和点 C（0.2）；（1）请写出 OB 的长度： OB=_ ；（2）如图：如点 D 在 x 轴上,且点 D 的坐标为（ -3, 0）,求证：AOB COD ；（3）如点 D 在其次象限,且AOB COD,就这时点 D 的坐标是 _ （直接写答案）10、已知,在ABC 中, CA=CB ,CA 、CB 的垂直平分线的交点O 在 AB 上, M 、N 分别在直线 AC 、BC 上, MON= A=45 （1）如图 1,如点 M、N 分别在边 AC 、BC 上,求证： CN+MN=A