2022年全国大学生数学建模竞赛论文范例

1、全国高校生数学建模竞赛论文范例 2022 高教社杯全国高校生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国高校生数学建模竞赛的竞赛规章,我们完全明白,在竞赛开头后参赛队员不能以任何方式包括电话,电子邮件,网上询问等与队外的任何人包括指导老师争辩,争辩与赛题有关的问题；我们知道,抄袭别人的成果就是违反竞赛规章的, 假如引用别人的成果或其她公开的资料包括网上查到的资料 ,必需依据规定的参考文献的表述方式在正文引用处与参考文献中明确列出；我们正式承诺,严格遵守竞赛规章,以保证竞赛的公平,行为,我们将受到庄重处理；公平性；如有违反竞赛规章的我们参赛挑选的题号就是从A/B/C/D 中挑选一项填写: 我们的参赛报名

2、号为假如赛区设置报名号的话: 所属学校请填写完整的全名: 参赛队员打印并签名 :1,2,3,指导老师或指导老师组负责人打印并签名: 年月日日期: 赛区评阅编号 由赛区组委会评阅前进行编号: 第 1 页,共 58 页全国高校生数学建模竞赛论文范例2022 高教社杯全国高校生数学建模竞赛 编号专用页评赛区评阅编号 由赛区组委会评阅前进行编号: 可供赛区评阅时使用: 赛区评阅记录阅 人评 分备 注全国统一编号 由赛区组委会送交全国前编号: : 全国评阅编号 由全国组委会评阅前进行编号第 2 页,共 58 页全国高校生数学建模竞赛论文范例眼科病床的合理支配摘 要病床就是医院的重要卫生资源, 其使用情形

3、就是反映医院工作效率的重要指标 , 合理分配床位,提高病床使用率对于充分利用医疗资源,提高医院的两个效益有着特殊重要的意义；此题针对某医院眼科病床支配中存在的不合理现象 , 让我们建立一个合理的病床支配模型, 以解决病床的最优支配问题, 从而提高对医院资源的有效利用；针对问题一,本文制定的指标评判体系包括门诊相关指标集 病人平均等待时间,门诊等待平均队长,病人平均中意度与病床相关指标集出院者平均住院日数,病床平均工作日,病床平均周转率,实际病床利用率；为了能够全面地评判出模型的优劣 ,本文接受目前普遍使用的亲热值法,TOPSIS 法与RSR 法等综合评判方法,并对应建立了三个评判模型 ,以得出

4、更为科学合理的结论；针对问题二,本文建立了以病床需求数为状态转移变量,以各类病人的病床支配数为决策变量的动态规划模型；模型中,充分考虑了观测期内病人平均等待时间,病床平均周转率,病床利用率与潜在流失率等指标 级函数,使得模型更加合理；通过 4；,且在制定寻优策略时,引入了病人中意度量化函数与优先 Matlab 对该模型求解,得出了次日病床支配方案结果见表综合评判模型时,以该医院目前的病床支配方案与我国医院通用的病床支配方法为比 较对象,借助上述三种评判方法与模型 ,进行了综合评判比较,从综合评判结果来瞧,本文的模 型相对较优评判结果见表9；针对问题三,本文既充分考虑了如何缩短病人平均等待时间与

5、提高病床利用率 ,又兼顾 了公平原就,依据病症的不同与就诊病人到院的次序制订了优先服务策略 ,给出了每个病人 相应的入住时间区间见P18；针对问题四,由于住院部周六与周日担忧排手术 ,对某些类型病人的病床支配产生了一 定的影响,因此我们对问题二中模型的优先级函数进行了相应的调整 ,并利用Matlab 进行了 求解结果见表10；为了判定手术支配时间就是否转变,本文依据问题一的评判方法与模型对修改后的模型进行了综合评判,从评判结果得知,手术支配时间应当做相应的调整；针对问题五,为了使全部病人在系统内的平均逗留时间 含等待入院及住院时间最短, 本文建立了以其为目标函数且带约束条件的非线性规划模型 ,

6、并利用了Lingo 软件对其进行 求解,得出的结论就是:支配给外伤,白内障 双眼 ,白内障 单眼 ,青光眼,视网膜疾病等各类型病人的床位数依次为:8 ,16,12,21,22, 分别占总床数的比例为:10,13%,20,25%,15,19%,26,58%,27,85%；最终,本文对所建模型的优点与缺点进行了客观的评判 院病床支配中有确定的参考价值；, 认为本文争辩的结果在实际医关键词: 病人平均等待时间;实际病床利用率;RSR 法;中意度量化函数;动态规划模型;非线性规划第 3 页,共 58 页全国高校生数学建模竞赛论文范例 1,问题重述医院就医排队就是大家都特殊熟识的现象 , 它以这样或那样

7、的形式显现在我们面前 , 例 如, 病人到门诊就诊,到收费处划价,到药房取药,到注射室打针,等待住院等 , 往往需要 排队等待接受某种服务；我们考虑某医院眼科病床的合理 支配的数学建模问题；该医院眼科门诊每天开放, 住院部共有病床79 张；该医院眼科手术主要分四大类: 白内障,视网膜疾病,青光眼与外伤；附录中给出了 段时间里各类病人的情形；2022 年7 月13 日至2022 年9 月11 日这白内障手术较简洁, 而且没有急症；目前该院就是每周一,三做白内障手术 , 此类病人的术前预备时间只需 1,2 天；做两只眼的病人比做一只眼的要多一些 , 大约占到60%；如果要做双眼就是周一先做一只,

8、周三再做另一只；外伤疾病通常属于急症 , 病床有空时立刻支配住院, 住院后其次天便会支配手术；其她眼科疾病比较复杂 , 有各种不同情形, 但大致住院以后2-3 天内就可以接受手术, 主要就是术后的观看时间较长；这类疾病手术时间可依据需要支配 , 一般担忧排在周一,周三；由于急症数量较少, 建模时这些眼科疾病可不考虑急症；该医院眼科手术条件比较充分, 在考虑病床支配时可不考虑手术条件的限制 , 但考虑到手术医生的支配问题, 通常情形下白内障手术与其她眼科手术 急症除外 担忧排在同一天做；当前该住院部对全体非急症病人就是依据 FCFSFirst come, First serve 规章支配住院,

9、但等待住院病人队列却越来越长 , 医院方面期望您们能通过数学建模来帮忙解决该住院部的病床合理支配问题, 以提高对医院资源的有效利用；问题一: 试分析确定合理的评判指标体系, 用以评判该问题的病床支配模型的优劣；问题二: 试就该住院部当前的情形, 建立合理的病床支配模型, 以依据已知的其次天拟 出院病人数来确定其次天应当支配哪些病人住院；并对您们的模型利用问题一中的指标体系作出评判；问题三: 作为病人, 自然期望尽早知道自己大约何时能住院；能否依据当时住院病人及等待住院病人的统计情形, 在病人门诊时即告知其大致入住时间区间；问题四: 如该住院部周六,周日担忧排手术, 请您们重新回答疑题二, 医院

10、的手术时间安排就是否应作出相应调整.问题五: 有人从便于治理的角度提出建议 , 在一般情形下, 医院病床支配可实行使各类 病人占用病床的比例大致固定的方案 , 试就此方案, 建立使得全部病人在系统内的平均逗留时间 含等待入院及住院时间 最短的病床比例支配模型；2,模型假设1 2 3 4 5 假设医院床位数不发生变化, 在考虑期间没有临时床位的增加; 假设附录所给数据真实牢靠; 假设不存在当天门诊病人当天入院的情形; 假设每天就诊的各类病人数就是随机的, 不受特殊情形的影响; 假设同一病人同一天不会同时患有两种疾病；第 4 页,共 58 页全国高校生数学建模竞赛论文范例 3,通用符号说明序号符号

11、符号说明1Aij 第i 天支配给第j 类病人的病床数量2xij 第i 天等待队列中的第j 类病人数tij 第i 天新到的第j 类病人数34Dij k 第i 天第k 类疾病第j 个病人的到达时间5v1 病人期内总等待时间v2 期内病床平均周转率67v3 期内病床使用率8v4 潜在病人流失率4,问题一: 评判指标体系的建立,评判方法与评判模型4,1 问题分析问题一要求建立合理的评判指标体系 制定评判指标体系就是模型评判的基础 的建立两部分组成；,用来评判病床支配模型的优劣；,它由评判指标集的识别与指标体系递阶结构为了使模型评判指标体系全面地反映出模型的性能 ,尽可能地做到科学合理,且符合实际情形,

12、所以必需仔细分析问题的组成与建模目标；从所给信息来瞧,此题既包括眼科门诊病人的类型,门诊时间,又包括病人入院时间,立病床支配模型；因此制定指标评判体系时充分考虑到病人门诊等待时间与住院时间等手术时间与出院时间；从目标上瞧 ,此题要求建 ,除了接受医疗机构通用的规范性指标外 ,仍应当 ,从而制定科学合理的指标评判体系；模型评判时,本文结合目前给定的病床支配数据与我国当前一般医院的实际情形 ,接受 常用的亲热值法,TOPSIS 法与RSR 法秩与比法三种综合评判法,同时进行综合比较评判, 从而得出更为科学精确的结论；4,2 评判指标体系此题评判指标体系制定的难点在于医院支配受到许多因素的影响 ,这

13、些因素又多具有 交叉重复,为了使评判指标体系全面客观,科学合理,本文借鉴专家学问体会与医疗机构的通 用指标,结合附录中所给的数据,制定了两类指标1-5: 一类为门诊相关指标,包括门诊病人平均等待时间,门诊等待平均队长,病人平均中意度; 二类为病床相关指标,包括出院者平均住院日数,病床平均工作日,病床平均周转率,实际病床利用率；第 5 页,共 58 页全国高校生数学建模竞赛论文范例 指标递阶次序按上述指标排列先后次序从低到高；4,3 评判方法本文的评判对象为问题二中建立的病床支配模型,评判的目的就是针对上述评判指标, 接受合理的综合评判方法对该医院眼科原有的病床支配方法与所建模型中病床的支配策略

14、进行综合对比分析,从而评判病床支配模型的优劣,为该医院眼科病床的支配供应决策依据；由于医院病床的支配受到许多因素的交叉作用与影响 ,要全面,精确,客观,简便地评 价一个病床支配模型的优劣,挑选合适的综合评判方法显得尤为重要；目前医疗机构经常接受的综合评判方法有亲热值法,TOPSIS 法,RSR 法秩与比法 其中亲热值法作为一种综合评判方法 ,能够精确合理地评判医院工作质量 等；,其运算方法简便, 结果直观牢靠；TOPSIS 法具有运算简便,结构合理与应用灵敏的特 RSR 法也就是一 点；综合评判方法,它以非参数法为基础,对指标的挑选无特殊要求,综合才能强,可显示微小变动, 适用于各种对象,且简

15、洁易行,使用便利；这些方法不仅可用于医院之间的比较 ,仍可用于医 院某部门不同病床支配模型之间的比较；一般来讲,用上述三种方法之一即可实现对三个对象的评判 ,但为了使评判的结果更加全面精确,本文利用三种方法分别进行综合评判 4,4 综合评判模型4,4,1 模型预备1,评判对象,从而得出更为科学的评判结论；本文选取该医院病床的支配方法,本文欲建立的病床支配模型,一般医院病床支配的统计数据作为评判比较对象；为了便于表达,对各评判对象进行编号,代号如下: 该医院原有的病床支配模型; 本文欲建立的病床支配模型; 一般医院的病床支配模型；2,评判指标依据对问题一的分析,为了使评判指标体系全面客观,科学合

16、理,本文选取了七个综合评价指标X i ,并把它们分为高优指标与低优指标:门诊病人平均等待时间X1 低优,门诊等待平均队长X 2 低优,病人平均中意度X 3 高优,出院者平均住床日数 X 4 低优,平均病床工作日 X 5 高优,病床平均周转率X 6 高优,实际病床利用率X 7 高优,具体数据可表示如下: 第 6 页,共 58 页全国高校生数学建模竞赛论文范例门诊病人平均等待时间 xi 1 全部病人的等待时间之和 总病人数门诊等待平均队长xi 2 每天等待的队长之和 总天数每个病人平均中意度xi3 病人的中意度之和 病人的总数住院者平均住院日数 xi 4 每个病人的住床日之和 病人的总数平均病床工

17、作日 xi 5 实际占用总病床日数 平均开放病床数上式中, i病床平均周转率xi 6 出院人数之和平 均开放病床数实际病床利用率xi7 病床工作日平均周转次数1,2,3 , 分别表示I ,II ,III 评判对象；设由三个评判对象的各评判指标组成的原始数据矩阵 表1 原始数据矩阵X 0 如表1 所示: 模型X 1X 2X 3X 4X 5X 6X 7x11 x21 x12 x22 x13 x23 x14 x24 x15 x25 x16 x26 x17 x27 x31 低优x32 低优x33 高优x34 低优x35 高优x36 高优x37 高优4,4,2 评判模型的建立接受亲热值法,Topsis

18、法与RSR 法对上述三种病床支配模型优劣进行综合评 评判对象 的各指标值需在问题二中确定, 因此这里仅给出各种评判方法的评判模型 判评判结果将在问题二的模型建立与求解之后给出；各综合评判模型建立的具体步骤如下1,亲热值法, 由于 , 综合: 1 建立原始数据矩阵 因有3 个评判对象, 每个对象有7 个评判指标, 故得原始数据矩阵X 0 如下: X 0 x11 x12 Lx17 1 x21x22Lx27L x31 x32 x37 2 建立标准化指标矩阵R由于要使评判结果更为合理, 需将矩阵 准化处理: X 0 中各项指标的原始数据依据以下公式进行标rij 3xij 2 xij 2 7i 1 j

19、1 其中, rij 为第i 个评判对象的第j 个指标标化值, i 1,2,3 表示各评判对象, j 1,2, L ,7 为各第 7 页,共 58 页全国高校生数学建模竞赛论文范例评判指标的次序；设高优指标为正向指标, 低优指标为负向指标, rij 当评判指标为正向指标时取正值; 当评判指标为负向指标时取负值 即rij rij , 从而可将矩阵X 0 转化为标准化指标矩阵 即正向指标矩阵 R rij 3 7 ；3 确定“最优点”与“最劣点” 依据标准化指标矩阵中各列的最大值与最小值建立最优点A 与最劣点A ；A r1 , r2 , L , r7 3 A r1 , r2 , L , r7 4 其中

20、, rj max rij , r j 1 i 3 min rij , j 1 i 3 1,2,L ,7. 4 运算各评判对象到“最优点”与“最劣点”的距离di 7rij 2 r j 5 j 1 6 di7r ij rj2 j15 运算各模型的亲热值Ci Cidi di ,i 1,2,3 7 , dd其中, dmin di , d 1 i 3 min d i ；1 i 3 , 与“最劣点”关系越疏远当亲热值Ci 越小时, 说明该模型与“最优点”关系越亲热即质量越高；Ci 0 时, 病床利用率最高, 即为“最优点”；2,Topsis 法 1 建立原始数据矩阵 建立一个3 行7 列矩阵同公式1 ；2

21、 原始数据同趋势化 将原始数据低优指标 X1 ,X 2 ,X 4 接受倒数法转化为高优指标；3 数据的归一化依据以下公式对同趋势化后的数据进行归一化处理zij xij xij , 从而得到归一化矩阵Z zij 3 7: 8 3i 1 其中, xij 就是原高优指标, i 1,2,3 , j 3,5,6,7 ；矩阵；zij 3xij 9 2 xij i 1 其中, xij 1/ xij 为原低优指标的倒数值, i 1,2,3 , j 1,2,4 ；4 确定各指标最优向量与最劣向量依据矩阵Z 中各列的最大值zij 与最小值zij 建立最优向量Z 与最劣向量Z Z zi1, zi 2 , L , z

22、i 7 10第 8 页,共 58 页全国高校生数学建模竞赛论文范例Z zi1, zi 2 , L , zi 7 11 5 运算各评判对象的指标值与最优值,最劣值的距离 依据以下公式进行求解: 6 7z 2 12 Di z ij j 1 72 zj 13 Di zij j 1 运算各评判对象的指标值与最优值的相对接近程度依据以下公式运算Ci 值: Ci Di Di Di 14 其中, Ci 值越接近于1 说明评判对象越接近于最优值; Ci 值越接近于0 说明评判对象越接近于最劣值；3,RSR 法1 编 秩 X 0 如表1, 并分别将各项指标由优至劣编秩 , 指标值相同者取平均秩 选取原始数据矩阵

23、次, 具体编秩方法如下: 高优指标: 病人平均中意度X3 高优 ,平均病床工作日X 5 高优 ,病床平均周转率X 6 高优 ,实际病床利用率X 7 高优, 编秩方法为: 最大值编以最高秩次 n , 次大值编以n 1, , 最小值编以1；低优指标: 门诊病人平均等待时间X 1 低优 ,门诊等待平均队长X 2 低优 ,出院者平均住床日数 X 4 低优 ；编秩方法为: 最大值编以 1, 次大值编以2, , 最小值编以m ；2 运算 RSR 值该问题有7 个评判指标,3 个评判对象, 因此RSR 的运算公式 : 为 RSRi 7 Rij 3 7 15 j 1 其中, Rij 为第i 行第j 列元素的秩

24、次, i 1,2,3 表示各评判对象, j 1,2,L ,7 为各评判指标的次序；3 确定RSR 分布依据问题二的求解, 将三种模型的病床利用率频率, 并求其所对应的概率单位值 4 运算回来方程Y ；RSR 值由小到大排列起来, 运算向下累计经相关回来分析, RSR 值与Y 高度线性相关；以 Y 为自变 归方程: RSR ab Y ；量, RSR 值为因变量可, 运算 回模型X1 X 2 表2 RSR 运算 表 X 3 X 4 X 5 X 6 X 7 RSR I x11 x12 x22 x13 x23 x14 x24 x15 x25 x16 x26 x17 x27 RSR1 RSR2II x2

25、1 III x31x32x33x34x35x36x37RSR3 5 分档排序结果: 第 9 页,共 58 页全国高校生数学建模竞赛论文范例 依据回来方程RSR ab Y 确定RSR 分档界值, 按正确分档得到分档排序结 借助上述三个方法的评判模型 果；, 本文可以对三个评判对象进行综合比较 , 从而得出相应 的评判结论；4,4,3 综合评判结果以上三种科学的评判方法对资料无特殊要求, 直观,牢靠,简便易行, 有较高的使用价值, 可以为治理者供应科学的决策信息 , 亦广泛应用于医疗评判问题；TOPSIS 法对于原始料信息利用最为充分, 但不能进行分档, 而RSR 法正好相反, 亲热法操作简洁但不

26、够精确, 三 资种方法结合使用, 有利于提高统计分析的效能, 其结果比较如表9 所示；上述评判模型建立后, 可以在其次个问题中予以使用；5,问题二: 模型分析,建立,求解与评判5,1 问题分析本问题要求在已知住院部当前信息的条件下建一个合理的病床支配模型；由问题一确定的评判指标体系可知,一个合理的病床支配模型应当中意病人平均等待时间最短,病床平均周转次数最大,病床利用率最大等一系列指标；考虑到每天新增的病人数,出院人数与每类病人的平均住院时间不同 型；,本文建立了一个基于中意度的动态规划模动态规划dynamic programming就是运筹学的一个分支,就是求解决策过程最优化的数 学方法；自

27、问世以来,动态规划在最优把握,经济治理,生产调度等方面得到了广泛的应用；本文以每天的等待队列人数为状态变量,将给每天各类病人支配的床位数作为决策变量；考虑到此题就是要从等待队列中挑选出入院的病人 ,而这一过程类似于操作系统中作业调度算法,因此在优化策略引入了 “优先级” 这一指标,从而依据优先级从高到低的次序确定每天支配给各类病人的床位数；模型求解后,依据问题一中建立的综合评判模型,对该医院目前的病床支配方法I ,本文欲建立的病床支配模型II 与一般医院的病床支配情形III 做了综合比较评判；结果说明,利用动态规划模型求得的病床支配方案比现行的“先来先服务”规章制定的方案要优；5,2 模型建立

28、5,2,1 模型预备1,中意度定义及其量化方法中意度用以描述病人等待时的心里承担程度, 主要由病人的入院等待时间准备；病人的等待时间越短, 就中意度越高; 反之, 中意度越小；本文将对病人中意度进行量化, 使中意度值分布在01 之间；当病人中意度为 1 时, 表示中意度最高, 值越小, 中意度越低；对此, 引入偏小型柯西分布函数来进行量化 , 其函数形式为: 1, x af x 1 16 , x a1 x a 由于所给病人类型有四种 : 外伤,白内障,青光眼,视网膜疾病；由于白内障 双眼 第 10 页,共 58 页全国高校生数学建模竞赛论文范例与白内障 单眼 的手术时间不同 病；故可视为该眼科

29、有五类病人病；, 住院时间也不一样, 我们把它们视为两种不同类型的疾 : 外伤,白内障 双眼 ,白内障 单眼 ,青光眼,视网膜疾因外伤病人门诊后的其次天就会入院接受治疗 , 故其中意度必为一个值等于 1 的常数函数；此外, 其她病人的中意度值均需通过分布函数求解；由附录所给数据通过聚类分析法可求得各类病人平均住院时间 : 外伤病人平均住院时间为7 天, 白内障 双眼 病人平均住院时间为9 天, 白内障 单眼 病人平均住院时间为6 天, 视网膜疾病病人平均住院时间为 11 天, 青光眼病人平均住院时间为 13 天；下面以白内障 双眼 病人为例给出该类病人中意度分布函数及求解方法 : 由于白内障

30、双眼 病人平均住院时间为9 天, 可以取f 1 1 , f 5 , f 9 0.1 , 由三点值可求得参数为 0.25, a 1, 2 , 于就是得到函数表达式为 : 1, x 1gx1 17 1, x 11 0.0853 x 1 同理可得白内障单眼病人的中意度分布函数表达式为 : 1, x 1g x2 18 1, x 11 0.1897 x 1 青光眼疾病病人的中意度分布函数表达式为 : 1, x 1g x3 19 1 , x 11 0.036 x 1 视网膜疾病病人的中意度分布函数表达式为 : 1, x 1g x4 20 1, x 11 0.0176 x 1 上述各函数的图像如下所示6-9

31、: 第 11 页,共 58 页全国高校生数学建模竞赛论文范例1010 白内障双眼病人30 1010 白内障单眼病人30 020 020 1010 青光眼病人30 1010 视网膜疾病病人30 020 020 图1 病人中意度量化函数2,空床数推测在病床支配模型中, 必需要知道每天的空床数, 即每天的出院人数；附录中表 2 的数据就是9 月11 日这天病床的占用情形；数据说明,79 个病床均被人占用, 没用空床；为了求出9 月11 日这天及其以后每一天的空床数 , 必需对现在正在住院的79 位病人的出院日期给出推测；为此, 对问题附录中表1 的数据进行统计处理, 可求出每类病人的平均住院时间；由

32、于数据信息量很大 , 本文将每类病人的平均住院时间作为每类病人的住院时间；依据所给数据, 可以推测现在 79 位病人的出院时间, 从而挑选出每天的空床数；以9 月11 日为例, 该天的出院人数为: 表3 9 月11 日的空床数疾病类型外伤白内障双眼 白内障单眼 青光眼视网膜疾病出院人数000325,2,2 动态规划模型建立10-11 1,阶段的划分 阶段step 就是对整个过程的自然划分, 通常依据时间次序或空间特点来划分阶段, 一般按阶段的次序解优化问题；依据此题的实际情形, 我们将每一天作为一个阶段, 阶段变量k 1,2 L n , 分别表示第k 天, n 表示考察期；如k 1 表示9 月

33、11 日这天, 以后以此类推；2,状态向量的确定状态state 表示每个阶段开头时过程所处的自然状况；它应能描述过程的特点并且无后效性, 即当某阶段的状态变量给定时 态无关；, 这个阶段以后过程的演化与该阶段以前各阶段的状第 12 页,共 58 页全国高校生数学建模竞赛论文范例 为了表示便利, 本文将外伤,白内障 双眼 ,白内障 单眼 ,清光眼,视网膜疾病分别 定义为第1,2,3,4,5 类疾病；本文取状态变量为每天某类门诊病人对病床的需求数量；设 xkj j 1,2 L 5 表示第k 天 第j 类疾病的病床需求数, 就状态 xk 为一向量, 且xk xk 1, xk 2 , xk 3, xk

34、 4 , xk 5 3,决策变量决策变量即所要求解的变量 阶段的状态；, 当一个阶段的状态确定后, 决策变量准备它将演化到下一本文以每天支配等待队列中第j 类病的病床数为决策变量Akj j 1,2 L 5 , 它们构成一个决策向量uk , 即Ak1 Ak 2uk Ak321 Ak 4 Ak5 4,策略的确定决策组成的序列成为策略, 由初始状态x1 开头的全过程的策略记作P1n x1 , 即P1nx1u1 x1 , u2 x2 ,L un xn A11A21 LAn1 22 A12A22LAn2A13A23LAn3A14A24LAn4A15 A25 L An5 5,状态转移方程在确定性过程中,

35、一旦某阶段的状态与决策已知, 下阶段的状态便能完全确定；依据问题的实际情形, 本文建立如下的状态转移方程 : xi 1 xi 1,1 ti1 Ai1 xi 2 xi 1,2 ti 2 Ai 2 xi 3 xi 1,3 ti3 Ai 3 23 xi 4 xi 1,4 ti 4 Ai 4 xi 5 xi 1,5 ti 5 Ai 5 其中, tij 表示第i 天第j 类病人的新增人数；6,指标函数与最优函数a 指标函数指标函数就是衡量过程优 劣的数量指标 量函数；通过问题一确定的评判指标体系可知, 就是定义在全过程与全部后部子过程上的数 , 一个合理的病床支配模型应当使得病人的平均等待时间最短,病床

36、平均周转率最大及病床利用率最大等；经综合考虑后, 本文将病人平均等待时间,病床平均周转率,病床利用率与潜在流失率作为指标函数；具体表示如下 : 1 期内病人平均等待时间一个合理的住院支配方案, 自然期望目前病人等待时间最短；设D 表示第i 天第k 类疾病第j 个病人的到达时间i 1,2L 7; j1,2 L ni ; k 1,2 L 5 ；其中i 1 表示9 月11 日, 以后第 13 页,共 58 页全国高校生数学建模竞赛论文范例以此类推；R 表示第i 天第k 种病第j 个病人的目前住院时间, 就第i 天第k 种病第j 个病人 k 的等待时间 ij 为: k k ij Rij k Dij k

37、 24 n 5 tik k ij 所以病人在观测期内总等待时间 v i 1 k 1 j 1 ; t ik 表示第i 天第k 类病人；n 数2 期内病床平均周转率病床平均平均周转率始终就是衡量医院病床综合利用率的重要指标；病床平均平均周转率越大, 说明单位时间接受医院服务的病人越多, 病床支配模型越合理；设 Aik j 1,2 L 5 表示第i 天支配给第k 类病人的床位数, 就在观测期内病床平均周转率为: n 5Aik v2 i 1 k 1 25 n3 期内病床使用率所谓期内病床使用率v3 就是指在观测期内病床实际工作日数与病床可以供应的最大工作日数的比值；其具体数学表达式为 : n其中, T

38、i 为第i 类病人的平均到达时间；v3 i 1 Ai Ti 26 79 n4 期内潜在流失率考虑到实际情形, 当病人等待时间过长导致中意度降低时, 该病人很可能会转院；明显, 一个合理科学的模型应当使转院人数最低；本文将此部分人数与总人数比值定义为潜在流失率；27 v 4 Nr N其中, Nr 为病人中意度不超过30%的病人数; N 为病人总人数；b 最优函数 结合实际情形, 本文利用加权系数法将以上个指标综合为最优函数 f x , 上述四个指 标的权重非别为-0 ,5,0 ,21,0 ,26,0 ,03, 就最优函数为: f x max 123428 7,优化策略使指标函数达到最优值的策略就

39、是从k 开头的后部子过程的最优策略, 通过最优策略与状态转移方程, 便可以求出最优决策变量的值；由于此题就是要从等待队列中挑选出入院的病人,而这一过程类似于操作系统中作业调度算法；考虑到疾病的类型不同,与其对应的平均住院时间就不同；此外,不同的疾病仍有 治疗时间限制,如白内障只有周一与周三可以接受治疗；因而假如只考虑先来先服务的支配 原就必定导致等待队列越来越长 ,并且很可能显现非必需住院的病人占着病床资源 ,引起浪 费；综合以上各种因素,本文引入“优先级” 这一参数,并依据优先级高者优先原就确定每天 入院的病人；第 14 页,共 58 页全国高校生数学建模竞赛论文范例 对于优先级的确定,本文

40、建立了以病人中意度及手术时间限制为自变量的优先级函数；病人中意度即病人对等待时间的心里反映；明显,病人等待时间越短,其中意度越高；病人等 待的时间越长,病人的中意度越低,医院应当优先支配此类病人入院 ,故本文取病人中意度的 倒数作为衡量优先级的一个指标；1病人中意度:病人中意度的确定在 2 手术时间限制5,2,1 模型预备中已给出；对于手术时间的限制,本文分别就横向与纵向两个方面进行考虑；所谓横向即为同一种疾病手术时间的挑选,例如白内障单眼病人只有周一与周三可以进行手术治疗 ,并且要有1至2 天的术前预备时间,因而白内障病人在周一,周五,周六,周日的优先级应当比周二,周三,周四高；所谓纵向比较

41、即为同一天不同类型病人优先级的差异；例如 ,同为周六,明显白内障病人的优先级要大于青光眼与视网膜疾病病人；这里通过调剂优先级函数的系数进行把握；由于外伤病人属于急症病人 ,因而每天的优先级都为最高；考虑到假如某天没有空床 , 就该天来的外伤病人要进入等待队列等待 ,明显该天的外伤病人要比其次天新来的病人拥有更高的优先级；就外伤病人的优先级函数为 : y1 t 1000 t 下标1 表示第一类即外伤疾 t 为等待时间 对于白内障双眼病人,由于该类病人只能在周一治疗第一只眼 病,在周三治疗其次只眼, 并且术前预备为1 至2 天；所以为了削减该类病人的等待时间 ,需将该类病人在周六周日的优先级设定为

42、仅小于外伤病人的优先级；同时为了尽量削减该类病人的非必需时间 ,将该类病人在其她时间的优先级设置为0；就白内障双眼病人的优先级函数为: 0 当时间为周日至周四时 y2 t 1 29 100 g1 x为中意度函数,当时间为周五,周六时 g1 x 对于白内障单眼病人,由于该类病人只能在周一与周三治疗 ,并且术前预备为 1 至2 天；所以为了削减该类病人的等待时间 ,同时考虑到白内障单眼病人周一无法治疗,仍可选择周三,而双眼病人就必需为连续的两天,故将该类病人在周五,周六的优先级设定为小于白内障双眼病人的优先级；而在周日与周一设定其优先级高于青光眼与视网膜疾病病人；同时为了尽量削减该类病人的非必需时

43、间 ,将该类病人在其她时间的优先级设置为 0,就白内障单眼病人的优先级函数为: 0 当时间为周二至周四时 y3 t 1 30 10 当为一周其他时间时,另外g2 x为中意度函数 g2 x 对于青光眼与视网膜疾病病人 ,由于仅限制其手术时间不能为周一与周三 ,但考虑到该类病人的术前预备为 2 至3 天,因而该类病人每一天均可入院,只就是其优先级函数系数较低；就青光眼病人的优先级函数为 : y 4 1 1 周一至周日 31 g 3 x 视网膜疾病病人的优先级函数为 : 1y5 1 周一至周日 32 g 4 x 通过以上优先级函数,便可以对每天排队等待的病人分别求出其对应的优先级 ,而后按照优先级排

44、序,结合每天的出院人数,便可以给出最优决策；第 15 页,共 58 页全国高校生数学建模竞赛论文范例5,2,3 模型求解与结果分析在模型预备中,求解出9 月11 日出院人数为5 人,利用模型中建立的状态转移方程与最优策略中优先级函数,利用Matlab 编写程序,求得支配方案见表4: 表4 9 月11 日入住病人支配方案入院先后次序 入住病人类型 病人序号 门诊时间 优先级数值1 青光眼青 3 2022-8-30 12,3126 2 光眼青光 8 2022-8-31 10,0012 3 眼视网膜 13 2022-8-31 10,0012 4 疾病视网 2 2022-8-30 8,2310 3 膜

45、疾病 4 2022-8-30 8,2310 通过求解结果,可以瞧出9 月 11 日入院的病人类型仅为青光眼与视网膜疾病两种；而门诊时间在8 月30 日左右；考虑到实际情 且 ,9 月11 日就是周四,即使支配给白内障病人,由于形 其术前预备时间为1 至2 天,也会带来1 至 3 天的非必要住院时间；5,2,4 模型评判在求解了本文欲建立的病床支配模型后 ,就可以依据问题一中建立的综合评判模型 ,对该医院目前病床支配方法 I,本文欲建立的病床支配模型II 与一般医院病床支配情形 III 做综合评判比较；由本文运算得到的模型 I,II 的相关数据见附录4,以及专家供应的III 模型数据,可以列出以

46、下原始数据矩阵: 表5 原始数据矩阵模型 X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 X 6 X 7 10,6735 103,9091 0,0350 8,9388 9,5 1,2405 11,7847 6,9802 96,8182 0,2426 9,2022 11,0 1,2785 14,0635 8,4575 95,6546 0,2300 9,1253 10,4 1,2600 13,1520 低优 低优 高优 低优 高优 高优 高优注: X 1 , X 2 , X 7 分别代表指标:门诊病人平均等待时间,门诊等待平均队长,病人平均中意度,出院者平均住床日数,平均病床工作日,病床平均周转率,实际病

47、床利用率；依据原始数据进行逐步求解 1）亲热值法评判结果: ,得到以下求解结果: 表6 各模型亲热值排序模型di di Ci 排序结果I 0,100758 0,070412 1,208312 3II 0,980903 0,976637 0,513135 2III 0,002447 0,00033 0,103593 12Topsis 法评判结果: 表7 不同模型指标值与最优值的相对接近程度与排序结果模型Di Di Ci 排序结果第 16 页,共 58 页全国高校生数学建模竞赛论文范例I 0,6771 0,0168 0,0291 3II 0,0203 0,6763 0,9758 1III 0,13

48、76 0,5995 0,1867 23RSR 法评判结: 表8分档排序结果果等级Y RSR 排序分档结果上3,879 0,4286 II 中4,031 0,7619 III 下4,057 0,8095 I 4 三种方法求解结果比较: 表9 三种综合分析方法结果比较排序结果比较对象亲热值法 TOPSIS RSRI 3 法 法II 2 3 3III 1 1 1由表9 可以瞧到,三种方法的综合评判结果均显示目前该医院病床支配方 2 2改进；而相比之下,本文欲建立的病床支配模型II 与一般医院病床支配情形 法I 最差,急需 III 差别较小, II 优于模 型亲热值法评判结果中模型 III ；III

49、优于模型II,Topsis 法与 RSR 法评判结果就显示模 型6,问题三: 推测模型建立,入住时间区间的求解6,1 问题分析问题三要求依据当时住院病人及等待住院病人的统计情形 ,在病人门诊时即告知其大 致入住时间区间；本文假设该医院已经施行在病人门诊时即告知其大致入住时间区间的政策 ,就当某天 病人Person 前来问诊时,当前该医院眼科病床支配情形分 :一为该天病床均被占用,无空床 为 数;二为该天以后t0 -1 天内空床位均被支配给比病人 Person 先到的病人；于就 , 病人 是 Person 的床位支配只能从 t 0 天及其以后的空床位开头；第 由于各类疾病轻重缓急,治疗时间各不相

50、同 ,每天的病床支配需依据各类疾病病人的优先级,为优先级较高的病人预留床位；因此 ,为病人Person 支配床位时又要考虑到两种情形: 一就是该天将要到达的人中没有比 Person 的优先级高的病 ,可将第t0 天将会闲暇的床位优先支配给她;二就是当该天内有比病人 人 Person 的优先级高的病人前来接受门 ,就先给优先级高的病人支配床位后,剩余床位优先支配给病人 诊 Person；要为优先级较高的病人预留床位就要事先知道该天将要就诊的各类病人数目 ,本文借 用季节性模型对此进行推测；第 17 页,共 58 页全国高校生数学建模竞赛论文范例 6,2 模型预备由于该医院各类眼科手术在一周内有严

51、格的时间支配,多数病人在准备前来问诊时会进行权衡,挑选合适的时间；各类病人到该医院眼科接受门诊的病人数具有很明显的周期规 律性,因此,可以运用季节性模型对 9 月11 日以后前来接受门诊的病人病情类型及数目进行 推测；该医院每天前来眼科问诊的各类病人及数目,就是一个由诸多因素引起周期性变化的序列,这种序列称为季节性时间序列,与其相应的模型就叫做季节性模型；一般地,对周期S 的序列,可进行差分运算 : s s X t 1 B X t D s D s X t 1 B X t 对于季节性模型,可以用一类疏系数 APIMA 模型描述；现在 S=7 为整数；时间序列X t , t 1,2, ,7 ,中意

52、以下模型: B S D X t B s E t 33 就称X t 就是周期为7 的季节性时间序列；其中s s 2S PS B 1 1 B 2 B P B s s 2S PS 34 B 1 1 B 2 B q B 式33中, Et 一般不必就是白噪声,而可设它就是另一个 ARPIMA p, d, q 序列 B d E B t 35 由式33,可得: B s d Ds X t B S d E t 36 B B s dD X t B s B d E t B s B t 37 d D令Wt s X t ,得 B B s W t B B S t 38式38称为乘积型季节性模型,其阶数常用p, d, q

53、P, D ,Q 表示；式 中的Wt 就是由原来序列 X t 经差分 d Ds 得到的,经过这样与运算,可以排除序列 X t 的非平稳性趋势性 与季节性周期性；式38就是一种疏系数模型,它反映了序列相邻时刻与相隔为周期 S 的时刻之间复杂变化的规律；在对该医院每天前来眼科问诊的各类病人及数目进行推测时 ,第一要进行时间序列模型定价,由于序列有7 天的周期性,故对问题附录中第三个表的数据做以下差分运算 : Wt 7 X t 对Wt 进行稠密系数APIMA 模型拟合；用选取的p,q 的各种阶数形式进行试算,用AIC 标准寻求最优解,再利用得到的模型进行 推测；6,3 模型建立与求解9 月11 日以后

54、前来接受门诊的病人病情类型及数目的假设该医院已经施行在病人门诊时即告知其大致入住时间区间的政策 ,这种政策秉着 公平及床位利用率最高的原就；就某天到来一位病人Person,由于前面的病人均已被告知入院时间,那么刚到的病人Person 就就是需要依据优先级进行床位支配的第一个 ,其前面的 任何一个住院病人及等待住院病人的统计情形均可作为影响病人 人 Person 入住时间的因 为了保证公平原就,依据先来先支配,先到先告知的床位支配策略 素；,依据当前病床被占第 18 页,共 58 页全国高校生数学建模竞赛论文范例用,支配,预留情形与病人的优先级支配入院时间;为了保证床位利用率最高原就,当有病人等

55、待时不答应有空床,即当一个病人出院时,立刻有病人离开等待队列入院 ,表达在病床预先支配上就就是不答应跳过当前第一个将要空出的床位,而进行其次个将要空出床位的支配；假设某天 T 病人Person 门诊时医院告知其大致入住时间区间 为a, b ,就求解这个区间需要做以下工作: Step1.对各类病情依据外伤,白内障序进行编号1,2,3,4,5；双眼,白内障单眼,青光眼,视网膜疾病的顺Step2. 分别求出各类病情病人的优先级 : 各类病情病人优先级由病情程度与优先因子 1/ 中意度准备,各种病的优先级函数可见问题二,代入等待时间 x ,可知第1,2,3,4,5 类病情病人支配床位优先级的大小次序；

56、Step3. 推测统计该天内应到病人类型及其数目 : 利用其次问的推测模型,可以得到第1,2,3,4,5 类病情病人该天内应到病人数目 ,假设按次序分别为N1 ,N 2 ,N 3 ,N 4 ,N5 ；Step4. 确定床位闲暇起始时刻及数目: 依据当前住院病人及等待住院病人的统计情形 ,推断出病床有闲暇的起始时刻第 t0 天, 以及第 t 0 天将会闲暇的床位数 N t 0；即随着时间推移,第t0 1, t0 2, ,t0 t 天的闲暇床位数分别为: St 0 1 , St 0 2 , , St 0 t ；Step5. 预留优先级高的病人床位: 有些类型病情的病人,虽然可能不就是该天第一个接受

57、门诊的 ,但由于某些情形的限制可能必需先支配入院 如外伤,在第一天门诊后必需其次天入院 ,医院就需要给该天内应到的此类病人依据缓急程度优先级预留床位；依据Step2. 中求解得到的各 0 类病人优先级以及Step3.中推测得到的该天内应到各类病人数目,为优先级高的病人预留床位；Step6. 判定就是否有比病人Person 优先级高的病经过以上处理后,剩余床位优先支配给病人 人: Person,会显现以下两种情形: 1当该天内没有比病人 Person 的优先级高的病人前来接受门诊 ,可将第t 0 天将会空闲的床位优先支配给病人Person；时2当该天内有比病人Person 的优先级高的病人前来接

58、受门诊 ,先给优先级高的病人支配床位后,剩余床位优先支配给病人 Person；Step7. 入住时间区间a, b 的上下限求解: 明显,情形1 时,病人Person 等待时间最短,即可在 的下限 第 a T t 0 ；t 0 天入住,因此,入住时间区间a,b 情形2 时,由于第t0 ,t 0 1, , t 0t 天的闲暇床位数分别为: Nt0, Nt 01 , , Nt 0t ,就病人Person 到来时仍未正式支配的床位 数包括预留床位为N1 N 2 39 t 0 t St t t0 Ni 位,就,可给记Person 为第i 类病情病人,比起优先支配床位的病人 有支配给病人Person 的床

59、位数仍剩: Ni 40 t 0 t St N1 N2 t t 0 第 19 页,共 58 页全国高校生数学建模竞赛论文范例依据剩余床位优先支配给病人假设t0 t 1 St N1 N2 t t0 Person 的原就,可将上式的第一个床位支配给 她；t0 t Ni St , 即比病人Person 的优先级高的病人占用 t t0 了t 天积存的闲暇病床数,病人Person 入住时间可支配在 a, b 的上限b T t 0 t 1 ；第t0 t 间1 天；因此,入住时间区Step8. 入住时间区间a, b 的最终确定: 综上所述,病人Person 门诊时医院告知其大致入住时间区间为: T t0 ,T

60、 t0 t 1; t 表示比病人Person 注: T 表示病人Person门诊时 的优先级高的病人占用的病床数从 间; t0 表示病床有闲暇的起始时间 t0 开头的积存天数；其求解过程如图2 所示: 对各类病情编号图2 入住时间区间求解过程流程图确定各类病人优先级排序7,问题四: 模型分析,建立,求解与评判7,1 问题分析 某天T 病人Person 前来门诊在问题四的求解中,本文第一在假定不转变当前手术支配时间的前提下 ,对问题中给出的周六,周日担忧排手术的情形进行争辩预；测该天在 各类这病两 人种 数目假设下,对于病床方案的重新安 ,只需排 通过转变它们的优先级函数,而后利用问题二的求解方