2016春季预初自招进度三八佰伴周六900-11001方程组应用教师版

1、第一讲列方程和不等式解应用题【课前复习】531、甲、乙两班共有 84 人，甲班人数的 与乙班人数的 共 58 人，甲乙两班各有多少人？84一元方程解法：53设甲班 x 人，则乙班84 x 人，找等量关系，甲的 和乙的 的和与 58 相等，那么列方程845 x 3 (84 x) 58 ，解得 x 40 ，则乙班 44 人84二元方程组解法：设甲班 x 人,乙班 y 人，则x y 84x 4053，解方程组得x y 58y 4484112、师徒两人共同加工了 171 个零件，师傅加工零件个数的 ，比徒弟加工零件个数的 多3422 个，那么，徒弟一共加工多少个零件？一元方程解法：设徒弟加工 x 个，

2、那么师傅171 x 个，找等量关系，师傅的 1 比徒弟 1 多 22，列方程341 (171 x) 1 x 223解得 x 604二元方程组解法：设师傅 x 个，徒弟 y 个x y 171x 11111解得y 60 x y 22341 / 10243、某学校有学生 465 人，其中的 比男生的 少 20 人，那么男女学生各有多少人？35一元方程解法：设x 人，那么男生465 x 人，列方程 4 (465 x) 2 x 2053解得 x 240 ，240 人，男生 225 人二元方程组解法：y 人设男生 x 人，x y 465x 225 42解得x y 20 3y 240 574、小学六年级学生

3、中占，后来又转来了 15 名12，这样占六年级总人数3的 ，六年级原来有多少名学生？5解:不列方程解法：12男生的人数是不变的，将男生看为1，那么原来总人数是男生的，现在总人数是男551生的 ，多了，就是多的 15 人，男生 150 人，总人数 360 人210二元方程组解法：总人数 x,y 7x yx 360123解得y 2105(x 15) y 152 / 1095、有一堆糖果是由奶糖和水果糖混合而成，其中奶糖占，再放入 16 块水果糖，奶糖就2014占，求这堆糖糖多少块？不列方程解法：2016奶糖数没变，看为1，那么总共是奶糖的，后来是奶糖的 4 倍，那么多了，就是9916 块糖，奶糖就

4、有 9 块.二元方程组解法设总数 x,奶糖 y 9x yx 20 201解得y 9 4(x 16) y【列简易方程解应用题】（1）分析问题中的已知数与未知数之间的数量关系.（2）一般语言与数学的形式语言之间的相互关系转化.要提高列方程解应用题的能力，就应在这两方面下功夫.分析：欲求这个六位数，只要求出五位数abcdex 就可以了.按题意，这个六位数的 3 倍等于abcde1 .x ，则六位数1abcde105解：设五位数abcdex ，六位数abcde110 x1 ，从而有3（105+x）=10 x+1，x42857.答：这个六位数为 142857.3 / 10说明：这一解法的关键有两点：抓住

5、相等关系：六位数1abcde 的 3 倍等于六位数abcde1 ；设未知数x ：将六位数1abcde 与六位数abcde1 用含x 的数学式子表示出来，这里根据题目的特点，采用“整体”设元的方法很有特色.例 2 有一队伍以 1.4 米/秒的速度行军，末尾有一通讯员因事要通知排头，于是以 2.6 米/秒的速度从末尾赶到排头并立即返回排尾，共用了 10 分 50 秒.问：队伍有多长？分析：这是一道“追及又相遇”，通讯员从末尾到排头是追及问题，他与排头所行路为队伍长；通讯员从排头返回排尾是相遇问题，他与排尾所行路程和为队伍长.如果设通讯员从末尾到排头用了 x 秒，那么通讯员从排头返回排尾用了（650

6、-x）秒，于是不难列方程.解：设通讯员从末尾赶到排头用了 x 秒，依题意得2.6x-1.4x=2.6（650-x）+1.4（650-x）.解得 x500.推知队伍长为：（2.6-1.4）500=600（米）.答：队伍长为 600 米.说明：在设未知数时，有两种办法：一种是设直接未知数，求什么、设什么；另一种设间接未知数，当直接设未知数不易列出方程时，就设与要求相关的间接未知数.对于较难的应用题，恰当选择未知数，往往可以使列方程变得容易些.例 3 铁路旁的一条与铁路平行的小，有一行人与骑车人同时向南行进，行人速度为 3.6千米/时，骑车人速度为 10.8 千米/时，这时有一列火车从他们背后开过来

7、，火车通过行人用 22 秒，通过骑车人用 26 秒，这列火车的车身总长是多少？分析：本题属于追及问题，行人的速度为 3.6 千米/时=1 米/秒，骑车人的速度为 10.8 千米/时=3 米/秒.火车的车身长度既等于火车车尾与行人的路，也等于火车车尾与骑车人的路.如果设火车的速度为 x 米/秒，那么火车的车身长度可表示为（x-1）22 或（x-3）26，由此不难列出方程.4 / 10解：设这列火车的速度是 x 米/秒，依题意列方程，得（x-1）22=（x-3）26.解得 x=14.所以火车的车身长为：（14-1）22=286（米）.答：这列火车的车身总长为 286 米.例 4 如图，沿着边长为

8、90 米的正方形，按逆时针方向，甲从 A 出发，每分钟走 65 米，乙从 B 出发， 每分钟走 72 米.当乙第一次追上甲时在正方形的哪一条边上？分析：这是环形追及问题，这类问题可以先看成“直线”追及问题，求出乙追上甲所需要的时间，再回到“环行”追及问题，根据乙在这段时间内所走路程，推算出乙应在正方形哪一条边上.解：设追上甲时乙走了 x 分，则甲在乙前方 390=270（米）.依题意2707解得： x故有：72x65x+270在这段时间内乙走了：（米）7由于正方形边长为 90 米，共四条边，故由可以推算出这时甲和乙应在正方形的 DA 边上.答：当乙第一次追上甲时在正方形的 DA 边上.5 /

9、10例 5 一条船往返于甲、乙两港之间，由甲至乙是顺水行驶，由乙至甲是逆水行驶. 已知船在静水中的速度为 8 千米/时，平时逆行与顺行所用的时间比为 21.某天恰逢暴雨，水流速度为原来的 2 倍，这条船往返共用 9 时. 问：甲、乙两港相距多少千米？分析：这是流水中的行程问题：顺水速度=静水速度+水流速度，逆水速度=静水速度-水流速度.解答本题的关键是要先求出水流速度.解：设甲、乙两港相距 x 千米，原来水流速度为 a 千米/时根据题意可知，逆水速度与顺水速度的比为 21，即（8-a）（8a）12，再根据暴雨天水流速度变为 2a 千米/时，则有解得 x=20. 答：甲、乙两港相距 20 千米.

10、【引入参数列方程解应用题】对于数量关系比较复杂或已知条件较少的应用题，列方程时，除了应设的未知数外，还需要增设一些“设而不求”的参数，便于把用自然语言描述的数量关系翻译成代数语言，以便沟通数量关系，为列方程创造条件.例 6在公行走，往返公共汽车每隔 4 分就有一辆与此人迎面相遇，每隔 6 分就有一辆从背后超过此人. 如果人与汽车均为匀速运动，那么汽车站每隔几分发一班车？分析：此题看起来似乎不易找到相等关系，注意到在公行走与迎面开来的车相遇，是相遇问题，人与汽车 4 分所行的路程之和恰是两辆相继同向行驶的公共汽车的距离；每隔6 分就有一辆车从背后超过此人是追及问题，车与人 6 分所行的路恰是两车

11、的距离，再引进速度这一未知常量作参数，问题就解决了.6 / 10解：设汽车站每隔 x 分发一班车，的速度是 v1，汽车的速度为 v2，依题意得由，得将代入，得说明：此题引入 v1，v2 两个未知量作参数，计算时这两个参数被消去，即问题的与参数的选择无关.例 7 整片牧场上的草长得一样密，一样地快.已知 70 头牛在 24 天里把草吃完，而 30 头牛就得 60 天. 如果要在 96 天内把牧场的草吃完，那么有多少头牛？分析：本题中牧场原有草量是多少？每天能生长草量多少？每头牛一天吃草量多少？若这三个量用参数 a，b，c 表示，再设所求牛的头数为 x，则可列出三个方程. 若能消去 a，b，c，便

12、可解决问题.解：设整片牧场的原有草量为 a，每天生长的草量为 b，每头牛一天吃草量为 c，x 头牛在 96天内能把牧场上的草吃完，则有-，得 36b=120C. -，得96xc=1800c36b. 将代入，得 96xc1800c+120c.解得 x=20. 答：有 20 头牛.7 / 10【课后作业】1.从甲地到乙地的公路，只有上坡路和下坡路，没有平路. 一辆汽车上坡时每小时行驶 201车从甲地开往乙地需 9 时，从乙地到甲地需7时.2千米，下坡时每小时行驶 35 千米.问：甲、乙两地间的公路有多少千米？从甲地到乙地须行驶多少千米的上坡路？解：从甲地到乙地的上坡路，就是从乙地到甲地的下坡路；从

13、甲地到乙坡路，就是从乙地到甲地的上坡路. 设从甲地到乙地的上坡路为 x 千米，下坡路为 y 千米，依题意得，得将 y=210 x 代入式，得解得 x140.答：甲、乙两地间的公路有 210 千米，从甲地到乙地须行驶 140 千米的上坡路.2.在车站开始检票时，有 a 名旅客在候车室排队等候检票进站，检票开始后，仍有旅客继续前来排队检票进站，设旅客按固定的速度增加，检票中检票的速度也是固定的，若开放一个检票口，则需要 30 分钟才可将等候检票的旅客全部检票完毕；若开放两个检票口，则需要 10 分钟便可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；如果要在 5 分钟内将排队等候检票的旅客全部检票完毕，以使后来

14、到站的旅客能随到随检，至少要同时开放几个检票口？解：设检票开始后每分钟增加旅客为 x 人，检票速度为每个检票口每分钟检票 y 人，5分钟内检票完毕要同时开放 n 个检票口8 / 10a30 x30y210yn 5y(1)依题意得 aa10 x (2)5x(3)a15（2）3（1），得ya30代入（1）便得x再把所求的 x、y 代入（3）便有a6a3an1613因为 a0，所以1n即n3.5n 取最小的整数，所以 n4答：至少需要同时开放 4 个检票口.【教师备用】1.某校组织 150 名师生到外地旅游，这些人 5 时才能出发，为了赶火车，6 时 55 分必须到火车站.他们仅有一辆可乘 50 人

15、的客车，车速为 36 千米/时，学校离火车站 21 千米，显然全部路程都乘车，因需客车多次往返，故时间来不及，只能乘车与步行同时进行.如果步行每小时能走 4 千米，那么应如何安排，才能使所有人都按时赶到火车站？115602312分析：把 150 人分三批，每批 50 人，均要在 115 分钟即（时）内赶到火车站，每人步行时间应该相同，乘车时间也相同.设每人步行 x 时，乘车(23 x) 时.列出12x ，便容易安排了，不过要计算一下客车能否在 115 分钟完成.解：把 150 人分三批，每批 50 人，步行速度为 4 千米/时，车速为 36 千米/时.设每方批师生步行用x 时，则9 / 10解得 x1.5（时），即每人步行 90 分，乘车 25 分.三批人 5 时同时出发，第一批人乘 25分钟车到达 A 点，下车步行；客车从 A 立即返回，在 B 点遇上步行的第二批人，乘 25 分钟车，第二批人下车步行，客车再立即返回，又在 C 点遇到步行而来的第三批人，然后把他们直接送到火车站.如此安排第一、二批人按时到火车站是没问题的，第三批人是否正巧可乘25 分钟车呢？必须计算.256015（千米），第二批人已步行 4 255（千603第一批人到 A 点，客车已行36405340米），这时客车返回与第二批人步行共完15（千米），需（时），3客车与第二批