2025-2026学年黑龙江省哈尔滨市第三十二中学高一（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年黑龙江省哈尔滨市第三十二中学高一（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b=ccosA，则C=(

)A.π3 B.π6 C.π22.已知CA=b，BA=c，则A.12b+12c B.b3.已知iz=3−4i，则|z|=(

)A.5 B.5 C.25 D.4.已知z=1−i1+i，则z的共轭复数z−的虚部为A.1 B.i C.0 D.−15.如图，在△ABC中，D为BC的中点，AE=2EC,AD与BE交于点F，若CF=xAB+yAC，则下面对于x、y的描述正确的是(

)

①2x+3y=−1

②2x−3y=1A.①③ B.②③ C.①④ D.②④6.已知向量a=(−2,6)，b=(x,x+4)，且a//b，则A.3 B.10 C.237.如图，D是△ABC边AC的中点，E在BD上，且DE=2EB，则(

)

A.AE=23AB+16AC 8.已知非零向量a，b满足|a|=2|b|，且向量b在向量a上的投影向量是14a，则向量aA.2π3 B.π2 C.π3二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知向量a=(2,0),b=(1,1)，则A.|a|=|b| B.4a−3b10.已知互不相同的两条直线m，n和两个平面α，β，下列命题正确的是(

)A.若m//α，α∩β=n，则m//n

B.若α⊥β，α∩β=n，m⊂β，m⊥n，则m⊥α

C.若m⊥α，n//β，且m⊥n，则α//β

D.若m⊥α，n//β，且m//n，则α⊥β三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。11.已知复数z满足i(2−z)=1，则|z|=

．12.已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且a=2，b=1，A=45°，则B=

．13.已知三棱锥P−ABC中，△PBC为等边三角形，AC⊥AB，PA⊥BC，PA=23，BC=26，则三棱锥的外接球的半径为

四、解答题：本题共3小题，共33分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。14.(本小题11分)

计算：

(1)(1+3i)+(−2+i)+(2−3i)；

(2)(4−i)(6+2i)−(7−i)(4+3i)；

(3)7+i3+4i．15.(本小题11分)

如图，已知正方体ABCD−A′B′C′D′的棱长为1．

(1)正方体ABCD−A′B′C′D′中哪些棱所在的直线与直线A′B是异面直线？

(2)若M，N分别是A′B，BC′的中点，求异面直线MN与BC所成角的大小．16.(本小题11分)

如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，平面AA1C1C⊥平面ABC，AB=AC=BC=AA1=2

参考答案1.C

2.D

3.A

4.A

5.A

6.B

7.A

8.C

9.BC

10.BD

11.512.30°

13.3

14.(1)(1+3i)+(−2+i)+(2−3i)=1−2+2+(3+1−3)i=1+i．

(2)(4−i)(6+2i)−(7−i)(4+3i)

=24+8i−6i−2i2−(28+21i−4i−3i2)

=26+2i−(31+17i)15.解：(1)正方体ABCD−A′B′C′D′中，

直线A′B是异面直线的棱所在直线有：

AD，B′C′，CD，C′D′，DD′，CC′，共6条．

(2)M，N分别是A′B，BC′的中点，

以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD′为z轴，建立空间直角坐标系，

则A′(1,0,1)，B(1,1,0)，C′(0,1,1)，

M(1,12,12)，N(12,1,12)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，

MN=(−12,12,0)，BC=(−1,0,0)，

设异面直线MN与BC所成角的大小为16.解：(1)证明：取AC的中点O，则BO⊥AC，且BO=3，

因为平面AA1C1C⊥平面ABC，且平面AA1C1C∩平面ABC=AC，BO⊂平面ABC，

所以BO⊥平面AA1C1C，

因为A1O⊂平面AA1C1C，

所以BO⊥A1O，

所以A1B=6,BO=3，所以A1O=3，

因为AO=1，AA1=2，所以AO⊥A1O，

又因为AO⊥BO，A1O∩BO=O，A1O，BO⊂平面A1OB，

所以AC⊥平面A1OB，

又A1B⊂平面A1OB，

所以AC⊥A1B；

(2)如图所示，以O为原点，