广东省深圳市2021年中考数学（北师大版）考点题型专项复习训练第13讲 几何压轴题-【含答案】

1、 深圳中考专项复习第13讲之几何填空压轴题【考点介绍】 在深圳中考卷中第15或16题位置，每年都会出现一道纯几何填空题，难度中等或偏上，对初中几何性质、定理、数学典型模型的综合（特别是相似综合）考查.【最近五年中考实题详解】1.(2020深圳)如图，已知四边形ABCD，AC与BD相交于点O，ABC=DAC=90，tanACB=12,BOOD=43,则 SABDSCBD=_ 由已知条件的线段比联想到相似，故过B点作BE/AD交AC于点E，构造相似典型图形“8字模型”，可得OEOA=BOOD=43,而相似中的面积问题，一般有两条解题思路线：若两三角形相似，则面积比等于相似比的平方；若两三角形不相似

2、，则必出现等底（或等高），则面积之比会等于高（或底）之比。此题是属于第种情况，SOADSOCD=SOABSOCB=OAOC，则由比例的等比性质可得SABDSCBD=OAOC，故只需要求出OAOC的值即可。在RtABC中出现一个数学典型模型“双垂模型”，则ACB=ABE，则tanACB=tanABE=12，即BECE=AEBE=12，由OEOA=43可设OE=4a,则OA=3a,AE=7a，BE=14a，EC=28a，OC=OE+EC=32a,则SABDSCBD=OAOC=3a32a=332.2.(2019深圳)如图，在正方形ABCD中，BE=1，将BC沿CE翻折，使B点对应点刚好落在对角线AC

3、上，将AD沿AF翻折，使D点对应点刚好落在对角线AC上，求EF=_中等难度题，折叠问题，考查正方形性质及勾股定理。作FMAB于点M，设B的对应点为G，由折叠问题易得：BCEDAF（ASA），BE=DF=1，BE=EG=1，BAC=45，EGA是等腰直角三角形，AE=2，AB=AD=MF=2+1，ME=AE-AM=2-1，在直角三角形MFE中，由勾股定理可得EF=6.3.(2018深圳)在RtABC中，C=90,AD平分CAB，AD、BE交于点F，且AF=4,EF=2,则AC=_.填空压轴题，高难度题型。考查几何综合证明与计算。由多条角平分线，联想到“两角平分线与角度关系”的典型模型-“两内角角

4、平分线：AFB=90+12C”，便可得出AFB=135，进而得出AFE=45，（这个结论的得出，是解决此题的“突破口”和思路的关键点），则AFE=45联想到一条解题经验：“出现45往往构造等腰直角三角形”，所以作EMAD于点M，则EFM是等腰直角三角形，由EF=2，便可算出MF=EM=1，则AM=3，由勾股定理得出AE=10，连接CF，由“三角形三条角平分线会交于一点”可知CF是ACB的角平分线，则ACF=45，由相似典型图形的“共角”模型，易证AEFAFC，得AEAF=AFAC，即104=4AC，则AC=85104.(2017深圳)如图，在RtABC中，ABC=90，AB=3，BC=4，Rt

5、MPN，MPN=90，点P在AC上，PM交AB于点E，PN交BC于点F，当PE=2PF时，AP=旋转典型模型“尺子模型”，常见解题方法：把尺子摆正，按这添辅助线。如图作PQAB于Q，PRBC于R由QPERPF，推出PQPR=PEPF=2，可得PQ=2PR=2BQ，由PQBC，可得AQ：QP：AP=AB：BC：AC=3：4：5，设PQ=4x，则AQ=3x，AP=5x，BQ=2x，可得2x+3x=3，可得x=35,AP=5x=3【针对练习巩固】1如图，将ABC沿BC边上的中线AD平移到ABC的位置已知ABC的面积为16，阴影部分三角形的面积9若AA1，则AD等于_2.如图，在RtABC中，ACB=

6、90，CDAB于点D，AF平分CAB，交CB于点F，交CD于点E，若AC=6，sinB=35,则DE的长为_.3.如图，ABC中，4AB=5AC，AD为ABC的角平分线，点E在BC的延长线上，EFAD于点F，点G在AF上，FG=FD，连接EG交AC于点H，若点H是AC的中点，则AGFD的值为_4如图，在ABC 中，ABAC5，BC45，D 为边 AB 上一 动点（B 点除外），以 CD 为一边作正方形 CDEF，连接 BE，则 BDE 面积的最大值为_5.如图，四边形 ABCD 是菱形，AB=4，且ABC=60，M 为对角线 BD（不含 B 点）上任意 一点，则 AM+12BM 的最小值_ 6

7、如图，正方形ABCO的边长为2.，OA与x轴正半轴的夹角为15o，点B在第一象限，点D在x轴的负半轴上，且满足BDO15，直线ykx+b经过B、D两点，则bk7如图，RtABC 中，C90，AB43，F 是线段 AC 上一点，过点 A 的F 交 AB 于点 D，E 是线段 BC 上一点，且 EDEB，则 EF 的最小值为_8如图，RtABC，AB3，AC4，点D在以C为圆心3为半径的圆上，F是BD的中点，则线段AF的最大值是 9.如图，在O的内接四边形ABCD中，AB=3，AD=5，BAD=60，点C为弧BD的中点，则AC的长是_10如图，在ABCD中，B=60，AB=10，BC=8，点E为边

8、AB上的一个动点，连接ED并延长至点F，使得DF=14DE，以EC、EF为邻边构造EFGC，连接EG，则EG的最小值为 .11.如图，四边形ABCD中，ABCD，ABC60，ADBCCD4，点M是四边形ABCD内的一个动点，满足AMD90，则点M到直线BC的距离的最小值为 12如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为_ 13.如图，矩形ABCD中，AB3，BC12，E为AD中点，F为AB上一点，将AEF沿EF折叠后，点A恰好落到CF上的点G处，则折痕EF的长是14.如图，在RtABC中，ACB90，AB

9、10，BC6，CDAB，ABC的平分线BD交AC于点E，DE15如图，矩形ABCD的四个顶点分别在直线l3，l4，l2，l1上若直线l1l2l3l4且间距相等，AB4，BC3，则tan的值为_16.如图，矩形OABC的边OC的y轴上，OA在x轴上，C（0，3），点D是线段OA的一个动点，连接CD，以CD为边作矩形CDEF，使EF过点B，连接OF，当点D与点A重合时，所作矩形CDEF的面积为12，在点D的运动过程中，当线段OF有最大值时，则点F的坐标为_ 17.如图，矩形ABCD中，BC=4，且AB=23，连接对角线AC，点E为AC中点，点F为线段AB上的动点，连接EF，作点C关于EF的对称点C

10、，连接CE，CF，若EFC与ACF的重叠部分（EFG）面积等于ACF的14，则BF= . 18.如图，正方形ABCD中，点E,F,G分别为AB,BC,CD边上的点，EB=3,GC=4,连接EF,FG,EG，恰好构成一个等边三三角形，则这个正方形的边长是_19. 如图，矩形OABC的边OA与x轴重合，B（-1，2），将矩形OABC绕平面内一点P顺时针旋转90，使A、C两点落在反比例函数y= 4x的图像上，则旋转中心P点的坐标为_20.如图，分别以ABC中BC和AC为腰向外作等腰直角EBC和等腰直角DAC，连结DE，且DEBC，EB=BC=6，四边形EBCD的面积为24，则AB的长为_ 21.如图

11、，等腰ABC中，BC=85,tanABC=12,D为边AC上一动点（不与C点重合），作DEBD于点D，使得DEBD=23,连接CE，则CDE面积的最大值为_22. 已知矩形ABCD，AB=8,AD=6,E是BC边上一点且CE=2BE,F是CD边的中点，连接AF、BF、DE相交于M、N两点，则FMN的面积是_23如图，矩形ABCD中，AE13AD，将ABE沿BE折叠后得到GBE，延长BG交CD于F点，若CFFD3，则BC的长为_【答案详解】1设AB交BC于E，AC交BC于FSABC16、SAEF9，且AD为BC边的中线，SADE12SAEF92，SABD12SABC8，将ABC沿BC边上的中线A

12、D平移得到ABC，AEAB，DAEDAB，则（ADAD）2SADESABD，即（ADAD+1）2928=916，解得AD3或AD37（舍），2.考查角平分线的性质、相似判定与性质应用。由AC及sinB可得AB=10，BC=8，在直角三角形ABC中，由数学典型模型“双垂型”的“射影定理”可得：AC=ADAB，AD=3.6，由角平分线的相似性质可得：AF是BAC的角平分线，AB：AC=BF：FC，FC=3，易证ADEACF，AD：DE=AC：CF，DE=1.8.3.由题易知DEG为等腰三角形，证ABDAHG即可，AG:DF=4:3.【思路分析】（1）先理清题目条件:已知条件：在ABC中，AB:AC

13、=5:4,H是AC的中点，则AB:AH=5:2；由题可证EDG是等腰三角形，F是DG中点；所求结论：求AG:FD的值，可拓展为求AG:GF或AG:GD或AG:AD的值均可；（2）梳理解题思路： 求线段比问题，首先考虑相似知识，即首先找到相关联的两个三角形。对刚才梳理的条件中“已知条件与未知条件”进行比对，不难发现：已知条件中的“AB:AH”与未知条件中的“AG:AD”既包含有已知条件与未知条件，AB与AD、AG与AH又分别处于ABD与AGH中，若能证明出这两个三角形相似，本题就问题就能迎刃而解。所以思考的重点转移到了如何证明ABDAHG中，BAD=HAG是已知条件，故只需再找一组对应等角即可，

14、结合已知条件，不难得出ABD=AGH。【解答过程】4AB=5AC，H是AC的中点，AB:AH=5:4，又EFAD，FG=FD，EF是DG的垂直平分线，EG=ED，EGD=EDG，ADB=AGH，又BAD=HAG，ABDAHG，AB:AH=AD:AG=5:2,设AD=5,则AG=2，则DG=3，DF=1.5,AG:DF=2:1.5=4:3=4/34求BDE面积的底与高均是未知变化的，关于两个变量的最值问题，多采用代数方法：用二次三项式表示出面积，再利用二次函数配方法求最值。设BD=x,作EGBA交BA的延长线于点G，用办法用x表示出EG的长即可。当EGBA时，出现一个数学典型模型“L型一线三垂直

15、模型”中的“二垂”，故作CHBA于点H，则RtEDGRtDCH,则EG=DH，想办法利用等腰三角形ABC性质及勾股定理表示出DH的长。作AMBC于点M，则BM=CM=25,由相似典型图形“共角模型”易证BMABHC，得BMBH=ABBC,即25BH=545，得BH=8，则DH=8-x=EG，则SBDE=12BDEG=12x8-x=-12x-42+8，当x=4时，SBDE有最大值，最大值为8.5.数学典型题型：“胡不归问题”，由ABD=30，故作MEAB于点N，则12BM=EM，BD是ABC的角平分线，作MFBC于点F，则MF=ME=12BM,当A、M、F在同一直线上时，即作AFBC交BC于点F

16、，交BD于点M，此时AM+MF有最小值，即AM+12BM有最小值，最小值为AF的长度，在RtABF中，AF=ABsin60=23.6连接OB，过点B作BEx轴于点E，根据正方形的性质可得出AOB的度数及OB的长，结合三角形外角的性质可得出BDODBO，利用等角对等边可得出ODOB，进而可得出点D的坐标，在RtBOE中，通过解直角三角形可得出点B的坐标，由点B，D的坐标，利用待定系数法可求出k，b的值，再将其代入（bk）中即可求出结论解：连接OB，过点B作BEx轴于点E，如图所示正方形ABCO的边长为2，AOB45，OB2OA2OA与x轴正半轴的夹角为15o，BOE451530又BDO15，DB

17、OBOEBDO15，BDODBO，ODOB2，点D的坐标为（2，0）在RtBOE中，OB2，BOE30，BE12OB1，OE3，点B的坐标为（3，1）将B（3，1），D（2，0）代入ykx+b，解得：k=2-3b=4-23，bk423（23）237数学转化思维，连接DF，由DE=BE可得B=1，由A+B=90, A=2,可得1+2=90，FDE=90，则D、E、C、F四点共圆，EF是该圆的直径，连接OC、OD，则EF=OC+OD，求EF的最小值也就求OC+OD的最小值，当C、O、D在同一直线上，且CDAB时OC+OD最短，如图2，易证四边形DFCE是正方形，CAB是等腰直角三角形，由CD=12

18、AB=23.8取BC的中点N，连接AN，NF，DC，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形的中位线定理求得AN和NF的长，然后确定AF的范围解：取BC的中点N，连接AN，NF，DC，RtABC，AB3，AC4，BC5，N为BC的中点，AN12BC52，又F为BD的中点，NF是CDB的中位线，NF12DC32，5232AF52+32，即1AF4最大值为4，9.A、B、C、D四点共圆，BAD=120，BCD=180-60=120，BAD=60，AC平分BAD，CAD=CAB=30，如图1，将ACD绕点C逆时针旋转120得CBE，则E=CAD=30，BE=AD=5，AC=CE，ABC+E

19、BC=（180-CAB+ACB）+（180-E-BCE）=180，A、B、E三点共线，过C作CMAE于M，AC=CE，AM=EM=12（5+3）=4，在RtAMC中，AC=AMcos30=432=83310由点E的“三个特殊位置确定运动轨迹法”可以确定点G在线段MN上运动，如图1，当EG是平行线AB、MN之间的距离（高）时，EG最短，如图2,由于平行线的距离处处相等，与点E的位置无关，故可以取E在特殊位置来求AB与MN之间的距离，如图2，当E与A重合时，EG=AD=8,则DF=2,AF=CG=10,BG=18，作GHAB于点H，在RtBHG中，GH=cosBBG=93，即EG的最小值为93.1

20、1.延长AD、BC交于点P， 作MHPB 于H. ABCD，PDAD=PCBC，ABCDCP60.ADBCCD4，PDPC，PDC为等边三角形，PDPCCD4，P60. 由AMD90，可知点M在以AD为直径的E上，且在四边形ABCD内的一个动点，根据垂线段最短可知E、M、H三点共线时MH最小.在RtPEH中，EP6，P60，EHEPsin6033，MH的最小值EHEM332. 12本题考查了圆的概念、勾股定理、三角形中位线的性质以及动点运动最值问题，因为点C为坐标平面内一点，BC1，所以点C在以点B为圆心、1长为半径的圆上，在x轴上取OA=OA=2，当A、B、C三点共线时，AC最大，则AC=2

21、 EQ R(,2) 1，所以OM的最大值为 EQ R(,2) EQ f(1,2) ，13.连接EC，利用矩形的性质，求出EG，DE的长度，证明EC平分DCF，再证FEC90，最后证FECEDC，利用相似的性质即可求出EF的长度解：如图，连接EC，四边形ABCD为矩形，AD90，BCAD12，DCAB3，E为AD中点，AEDEAD6由翻折知，AEFGEF，AEGE6，AEFGEF，EGFEAF90D，GEDE，EC平分DCG，DCEGCE，GEC90GCE，DEC90DCE，GECDEC，FECFEG+GEC18090，FECD90，又DCEGCE，FECEDC，EC3，FE2，14.由CDAB

22、，DABE，DCBE，所以CDBC6，再证明AEBCED，根据相似比求出DE的长ACB90，AB10，BC6，AC8，BD平分ABC，ABECDE，CDAB，DABE，DCBE，CDBC6，AEBCED，CEAC83，BE，DEBE，15作CFl4于点F，交l3于点E，设CB交l3于点G，由已知可得，GEBF，CEEF，CEGCFB，BC3，GB，l3l4，GAB，四边形ABCD是矩形，AB4，ABG90，tanBAG，tan的值为，16. 【思路过程】由条件“当点D与点A重合时，所作矩形CDEF的面积为12”，及利用矩形面积的“一半模型”即可求出OA的长，由点D不管怎么运动，矩形CDEF都经

23、过B点可知CFB=90，可构造圆模型，以CB为直径作CFB的外接圆，当点F在该圆CB的上方运动，当点F、圆心、点O在同一直线上时，OF有最大值。【解题过程】如图1，当D点与A点重合时，BAC的面积，即是矩形CDEF面积的一半，也是矩形OABC面积的一半（“一半模型”），矩形CDEF的面积为12，矩形OABC的面积为12，OA=4。由题可知，矩形CDEF经过B点，即CFB在运动中保持90不变，以CB为直径，作BCF的外接圆M，则点F在BC上方圆部分运动，当点O、M、F在同一直线上时，OF有最大值，OC=3，CM=MB=MF=2，OF的最大值为：OF=OM+MF=13+2.过点F作FNBC于点N，

24、FN/OC，FM：MO=FN：OC=MN：CM，即2：13=FN：3=MN：2，FN=61313，MN=41313，F点的坐标为（41313+2，61313+3），即当线段OF有最大值时，则点F的坐标为（413+2613，613+3913）.17.由E是中点，EFC与ACF的重叠部分（EFG）面积等于ACF的14，可得G是AE的中点，由折叠可得EFG面积等于FEC的12，所以G也是FC的中点，则AFEC是平行四边形，AF=EC=EC=7，故BF=23-7.18.用函数方法求解。以点B建立直角坐标系，如图构造“一线三垂直模型”并设未知数计算，由图可列方程为：4-3a=32，解得a=536，则正方

25、形边长=a+332 = 73319. 20.由题意可得SDEC=24-18=6，由等腰三角形的性质可得BE=BC=6，AC=DA，EBC=DAC=90，ECB=45=DCA，可证ABCDEC，由相似三角形的性质可得SABC=3，DEC=ABC=45，由三角形的面积公式可求AB的长解：SBEC=12BCBE=18，四边形EBCD的面积为24，SDEC=24-18=6.EBC与DAC是等腰直角三角形.BE=BC=6，AC=DA，EBC=DAC=90，ECB=45=DCA，EC=2BC，DC=2AC，BCA=DCE，ECBC=DCAC=2，且BCA=DCE，ABCDEC,DEC=ABC，SDECSA

26、BC=(2)2=2,SABC=3,DEBC,DEC=ECB=45.ABC=45,如图，过点A作AMBC于M,SABC=12BCAM=3,AM=1,ABC=45，AMBC,ABC=BAM=45,BM=AM=1，AB=221.作AFBC于点F，则BF=FC=45,由tanABC=12可得AF=25,AB=AC=10,由CAFCBQ，可得CFCQ=CACB=1085，可得CQ=16,设CD=x，则QD=16-x，易证EDG=QBD，则sinEDG=sinQBD,则GEQD=DEBD=23，可得GE=23(16-x)，SCDE=12x23(16-x)=-13(x-8)2+643，CDE面积的最大值为64322. 如图，过点F作FG/