经典层合板理论(The-classical-Laminated-Plate-Theory)

1、经典层合板理论（CLPT） 仅以此文来复习整理一下复合材料理论的学习，水平有限，如有错误请指正。 1. 前提假设 经典层合板理论是建立在基尔霍夫假设之上。基尔霍夫假设就三点。 1 变形前垂直于中面的直线在变形后仍保持直线。 2 这条垂直于中面的直线在变形过程中的长度不变。 3 这条垂直于中面的直线在变形后仍垂直于中面。 这三点说的是啥意思呢？我们可以想象一下，一块矩形板放在三维直角坐标 系里，中面于XOY 面重合，两条邻边分别和x 轴，y 轴重合。前两条的意思就是 说板在z 方向的法向应变为0，即zz= 0。第三条的假设导致板的横向剪切应变 为0，即xz= yz= 0 其实这个理论如果放在梁理

2、论里面就是欧拉-伯努利梁。不考虑横向的剪切 应变。若考虑横向剪切应变的梁则为铁木辛柯梁理论，若应用在板则是一阶剪切 变形层合板理论(The First-Order Shear Deformation Laminated Plate Theory。) 这个 以后我会整理。 2. 点的位移 废话不说，直接上图(3.32)。 基于上述假设。我们可以得出板上任意一点（x,y,z）的位移。 z0 x u = u 0 y v = v 0 z0 w = 0 注意：在经典层合板理论中，挠度是关于坐标z 的函数。而在一阶剪切变 形理论中，变形后的横向法线不再垂直于板的中面。因此挠度不再是关于 z 的函数。 3.

3、 应变 位移方程写完了再来看应变。这里分两种情况， 情况1. 板的变形为小挠度，小变形。属于线弹性范围内。 直接用弹性力学中的公式给出（很轻松随意） = u0 2 x2 x z 0 x = v0 2 0 v x + 0 y y z y2 xy = u0 0 y 2z 2 xy xz = yz = z = 0 情况 2. 板的变形为大挠度，大变形。属于超弹性范围内。应变则用下式计 算。 x + x) x) y + y) z ) z + z) z ) 2 2 = 1 v z + y + u y u z + v y v z + y E 2 E E xx xx = u = v 1 2 ( 1 2 (

4、u x) u y) 2 2 + (v + (v 2 2 yz + ( + ( 2 2 E zz = 1 2 ( u z) 2 + (v 2 + ( 2 E xy = 1 u y + v x + u x u y + v x v y + x y E xy = 1 u z + x + u x u z + v x v z + x z z 当然在这种方法里我们认为变形很小，略去高阶无穷小量以后即得到情况1 中的小变形公式。 4. 层合板本构方程 我们得到了应变的方程，下面重点来喽。我们将写出板的内力N和板的弯 （扭）矩M。针对于单层板写成张量形式： 令0IJ= 0,IJ = C = C 0+ zC 0

5、IJKL KL IJKL KL IJKL KL IJ h h 2 h2 = = C KL KL h h 2 h2 = z = zC KL KL h h 2 h2 C ; z2C N IJ 2 h2 2 IJ dz 2 h2 2 IJKL h 0dz + zC h IJKL 0dz M 我们令 IJ 2 h2 IJ dz h2 h IJKL 0dz + z2C 2 IJKL 0dz h2 IJKL dz = A; zC IJKL dz = B h2 IJKL dz = D 因此我们得出 N IJ = A 0+ B KL KL 0 M = B 0+ D IJ KL KL 0 Aij 为拉伸刚度矩阵, Dij 为弯曲刚度矩阵, Bij 是弯曲-拉伸耦合刚度矩阵。 如果对于层合板来说就是把每一层的结果按层数和顺序加起