《学案与测评》2011年高考数学总复习-第七单元第二节-等差数列精品课件-苏教版

1、第二节 等差数列根底梳理1. 等差数列的定义一般地，如果一个数列 从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用d表示.2. 等差数列的通项公式一般地，对于等差数列an的第n项an,有an= a1+(n-1)d .这就是等差数列an的通项公式，其中a1为 首项 ，d为 公差.3. 等差中项如果 三个数a,A,b组成的数列是等差数列，那么 ,把 叫做a和b的等差中项.第一页，编辑于星期五：四点 三十七分。4. 等差数列的常用性质1通项公式的推广：an=am+ (n-m)d (n,mN*).(2)假设an为等差数列，且p+q

2、=m+n(p,q,m,nN*),那么 ap+aq=am+an.(3)假设an是等差数列，公差为d,那么a2n也是等差数列，公差为2d.(4)假设an,bn是等差数列，那么pan+qbn是 等差数列.(5)假设an是等差数列，那么ak,ak+m,ak+2m,(k,mN*)组成公差为 md 的等差数列.5. 等差数列的前n项和公式设等差数列an的公差为d,其前n项和.第二页，编辑于星期五：四点 三十七分。6. 等差数列的前n项和公式与函数的关系数列an是等差数列的充要条件是其前n项和公式Sn=f(n)是n的 二次函数且常数项为0 ，即Sn= an2+bn.7. 在等差数列an中，假设a10,d0，

3、那么Sn存在最 大 值; 假设a10,d0，那么Sn存在最 小 值.第三页，编辑于星期五：四点 三十七分。典例分析题型一 等差数列的根本运算【例1】(2021全国)等差数列an中，a4=10,且a3,a6,a10成等比数列.求数列an前20项的和S20.分析 用a4与d表示a3,a6,a10,根据等比中项的性质，知a26=a3a10，列方程求出d,进而根据a4与d求出首项a1，即可求S20,或用a1,d表示a3,a4,a6,a10,再列方程求出a1和d，然后求出S20.解 设数列an的公差为d,那么a3=a4-d=10-d,a6=a4+2d=10+2d,a10=a4+6d=10+6d.由a3,

4、a6,a10成等比数列,得a3a10=a26,第四页，编辑于星期五：四点 三十七分。即(10-d)(10+6d)=(10+2d)2,整理得d2-d=0,解得d=0或d=1.当d=0时，S20=20a4=200;当d=1时，a1=a4-3d=10-31=7.所以, 学后反思 等差数列an中一共涉及五个根本量，即首项a1,第n项an,项数n,公差d以及前n项和Sn,在a1,an,n,d,Sn中只要知道其中三个，其他两个就能求简称“知三求二.其中a1与d是最根本的两个量，往往用它们表示其他的量列出方程组进一步求解.另外等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d,前n项和公式 以及其性质公式应在解题过

5、程中灵活应用.第五页，编辑于星期五：四点 三十七分。举一反三2021全国等差数列 中， 求an的前n项和 .解析: 设 的公差为d,则 即 解得 或 所以,当 时， 当 ， 第六页，编辑于星期五：四点 三十七分。题型二 等差数列的判定【例2】(2021启东模拟)数列an的前n项和为Sn,且满足 (1)求证: 是等差数列；2求an的表达式.分析（1）由已知条件联想 = (n2)，然后再利用等差数列的定义证明 (n2)为常数；（2）根据等差数列的通项公式求出 ，代入 = (n2)即可求出 第七页，编辑于星期五：四点 三十七分。（2）由（1）知当n2时，有又n=1时，解（1）证明：an=Sn-Sn-

6、1(n2),Sn-1-Sn=2SnSn-1,Sn0, 由等差数列的定义知 是以 为首项，以2为公差的等差数列.第八页，编辑于星期五：四点 三十七分。2判断等差数列最常用的方法是定义法an+1-an=d(nN*)和等差中项法an+1+an-1=2an(nN*且n2)举一反三2. (2009湖北改编)已知数列 的前n项和 (n为正整数).令 ,求证:数列 是等差数列，并求数列 的通项公式.学后反思 (1)数列an是等差数列an-an-1=d(nN*且n2,d为常数)或an+1-an=d(nN*);an+1+an-1=2an(nN*且n2);an=kn+b(k,b为常数);Sn=An2+Bn(A,B

7、为常数).第九页，编辑于星期五：四点 三十七分。 ,即当n2时， 又 ,数列 是首项和公差均为1的等差数列.于是 , 解析： 在 中，令n=1,可得 ,即 当n2时， ,即 第十页，编辑于星期五：四点 三十七分。题型三 等差数列性质的应用【例3】(1)(2021宁夏、海南)an为等差数列，a3+a8=22,a6=7,求a5;(2)等差数列an的前m项和为30,前2m项和为100,求它的前3m项的和.分析 1由等差数列的性质a3+a8=a6+a5,即可求出a5,或用a1与d表示出a3,a8,a6,根据条件列出关于a1与d的方程组，求出a1与d的值，然后根据等差数列的通项公式求出a5.(2)由等差

8、数列an的前n项和Sn的性质知Sm,S2m-Sm,S3m-S2m也成等差数列，即由2(100-30)=30+(S3m-100)可求出S3m.解 (1)方法一：由等差数列的通项公式得a5=a1+4d=47-32=15.第十一页，编辑于星期五：四点 三十七分。方法二：由等差数列的性质,得a3+a8=a5+a6a5=15.(2)方法一：Sm=a1+a2+am,S2m-Sm=am+1+am+2+a2m,S3m-S2m=a2m+1+a2m+2+a3m.(S2m-Sm)-Sm=m2d=(S3m-S2m)-(S2m-Sm).所以Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列.从而有2(S2m-Sm)=Sm+(

9、S3m-S2m),S3m=3(S2m-Sm)=210.方法二：将Sm=30,S2m=100代入得第十二页，编辑于星期五：四点 三十七分。解方程组得方法三：由等差数列an的前n项和公式知Sn是关于n的二次函数，即Sn=An2+Bn(A,B是常数)，将Sm=30,S2m=100代入上式，得S3m=A(3m)2+B3m=210.学后反思 (1)运用通项公式an=a1+(n-1)d和前n项和公式，结合方程思想是解决此类问题的通用方法.第十三页，编辑于星期五：四点 三十七分。举一反三3. 2021滨州模拟改编等差数列an、bn的前n项和分别是Sn、Tn,且.解析：利用等差数列的性质，若m+n=p+q,则

10、 答案： 第十四页，编辑于星期五：四点 三十七分。题型四 数列中的最值问题【例4】(14分)在等差数列an中，a1=20,前n项和为Sn,且S10=S15,求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值.分析1由a1=20及S10=S15可求得d,进而求得通项,由通项得到此数列前多少项为正，或利用Sn是关于n的二次函数，利用二次函数求最值的方法求解.2利用等差数列的性质，判断出数列从第几项开始变号.解 方法一：第十五页，编辑于星期五：四点 三十七分。即当n12时，an0;当n14时，an 0当n=12或13时，Sn取得最大值，且最大值为方法二：同方法一求得nN*,当n=12或13时，Sn有最

11、大值，且最大值为S12=S13=130方法三:同方法一求得第十六页，编辑于星期五：四点 三十七分。又由S10=S15，得a11+a12+a13+a14+a15=0. 5a13=0,即a13=0.当n=12或13时，Sn有最大值，最大值为S12=S13=130学后反思 求等差数列前n项和的最值常用的方法：1利用等差数列的单调性，求出其正负转折项；2利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；3利用等差数列的前n项和Sn=An2+Bn(A,B为常数)为二次函数，根据二次函数的性质求最值.举一反三4. 设等差数列 的前n项和为Sn,已知 (1)求公差d的取值范围；（2）指出 中哪一个值最大，并说明理

12、由.第十七页，编辑于星期五：四点 三十七分。解析：(1)依题意，得 即 ， ,由 ,得 .将式分别代入、式，得 因此 (2)方法一：由d0,可知 因此，若在1n12中存在自然数n，使得 ,则 就是 中的最大值.由于 , 即 , ,因此 , ,故在 中 的值最大.第十八页，编辑于星期五：四点 三十七分。方法二：由d0,可知 因此，假设在1n12中存在自然数n,使得 , ,那么 就是 中的最大值.由 故在 中， 的值最大.第十九页，编辑于星期五：四点 三十七分。易错警示【例】等差数列an中，a1=-5,从第10项开始为正数，那么公差d的取值范围为.错解 由错解分析 此解法忽略了条件a90.学生由于

13、未能理解“从第10项开始为正数的含义，主观认为a100,导致答案不够完整，因此学生在审题过程中一定要深刻把握题设条件的隐藏含义，防止出现类似的错误.正解由题意知a10=-5+9d0且a9=-5+8d0,第二十页，编辑于星期五：四点 三十七分。10. (2008山东改编)已知 ,求f(2)+f(4)+f(8)+f( )的值.解析：令 , ,即 ,f(2)+f(4)+f(8)+f( ) 第二十一页，编辑于星期五：四点 三十七分。11. (2009盐城模拟)数列an的首项a1=3，通项an与前n项和Sn之间满足2an=SnSn-1(n2).(1)求证: 是等差数列，并求公差;(2)求数列an的通项公式.解析：(1)当n2时， 是首项为 ,公差为 的等差数列.第二十二页，编辑于星期五：四点 三十七分。（2）12. 在等差数列 中， .其前n项和为 (1)求