数理之三补充习题数理经济学

1、一、集合的证明：1. 证明： (1) 任意闭集类的交集是闭集；(2) 有限闭集类的并集是闭集。证：（1）对于所有i I ， I 是一个指标集， S 是闭集，即其补集SC 是开集。iiCS CS，根据德定律，有i i iIiI因为开集的并集是开集，即Si 是开集。iICCSi 是开集。 Si 是闭集，即任意闭集的交是闭集。iI iI（2）同理，对于所有的 i 1, 2,.n ， S 是闭集，即说明其补集SC 是开集。iii 1根据德定律，有iii 1inSC因为任何有限个开集的交集是开集，即是开集。i 1i CnniS是开集。 S 是闭集，即有限个闭集的并集是闭集。i 1i 1续函数，其中 S

2、x 2 x 20,i 1, 2,., n ，2. 设函数 f i：S T 是iT x 4 x 10 。证明： f i (x) x 0 有解。i证明：在 S 中任取两点 x1 ， x2 ，对于t 0,1 ，令t x2 ，即有 tx1 (1 t)x2 。依题意，有2 x1 20 ， 2 x2 20 。xtiiiii则 2t tx1 20t ， 2(1 t) (1 t)x2 20(1 t) ； 2 tx1 (1 t)x2 20 ，即 iiii2 xt 20 。i xt 也在S 中。 S 是凸集。又 S x 2 xi 20,i 1, 2,., n，显然的， S 是紧集。令 F (x) ( f 1(x)

3、, f 2 (x), f n (x)T ，显然，F（x）为连续函数，且4 f i (x) 8 2 f i (x) 20,i 1, 2, n ，这表明 F (x) S ，即 F 为S S 的连续。根据x* S ，使得不动点定理，在 S 中至少有一个 F 的不动点，即至少存在一个*x f i (x*) 。i即 f i (x) x 0 有解。证明完毕。i二、函数凹性证明：n函数： f (x) Ax，其中 A 0 ， 0 ，对于i ，当 x 03.-iiii 1时，证明：该函数 f (i) 是拟凹函数。 2x x 2 ：4. 有函数(1)f (11 22(2) 求其驻点，以及局部极值。该函数的凹凸性解

4、：依题意，f1 4 2x1 x2 ,f2 2 x1 2x2 f22 2. f ()的矩阵为： f11f1 212H f 12f 2122 H 的顺序主子式为：D1 2 0D (2)2 1 3 02H 负定， f () 是严格凹函数。（2） 令 103x 0,x *21 83 解得驻点为 x* x 02210 8(x*, x*) (, )123 3又 f () 是严格的凹函数，10 8 (x*, x*) (, )为该函数的局部极大值点，同时也是该函数的全局最大值123 3点。相应的，函数的极值为 84 。9三、函数&定理5. 证明下列函数是函数，并求其次数：n(C-D)函数： f (x) A x

5、i ；(1)-ii1nnnnii解： f (kx) A(kxi ) A k xi k f (x) ，i1i1iii 1i 1n f (x)是次的函数。ii 1i in)函数： g(x) A( x)， v/ (2) 不变替代弹性(i1n其中， A 0, v 0, 1且 0 ，对于所有的i, 0, 1。iii1v / v / nn (kx ) 解： g(kx) AA kxiiiii 1i 1i iv / n x k Av kv g(x) ，i 1 g(x)是 v 次的函数。f (x)n定理，即有 f (x) i 1 xi 。进一步的，还可以出：验证xi四、定理&无约束单变量极值6. 令 f : 在

6、围绕 x0 0 的区间中是m 1 阶可微函数。假设对于某个m 1，f (m) (x0 ) 是第一个在 x0 0 处不等于 0 的 f 的导数，即：f (x0 ) f (x0 ) f (3) (x0 ) . 定理证明：f (m1) (x0 ) 且f (m) (x0 ) 0利用若m 是偶数，且 f (m) (x0 ) 0 ，则 f 在 x0 处取得局部极大值；(1)若m 是偶数，且 f (m) (x0 ) 0 ，则 f 在 x0 处取得局部极小值；(2)若m 是奇数，则 x0 既不是 f 的极大值点，也不是 f 的极小值点。(3)证：根据假设， f (m) 在 x0 0 处连续。因此，根据连续函数

7、的符号保持性，存在某个围绕 x0 0 的开区间 I ， f (m) 在这个区间中不改变符号。根据定理，对于 I 中的每个 x ，有：f (m) ( x)f (m) ( x)f (k) (0)f (x) f (0) m 1 f (0) xkxmxmk 1k !m!m!其中， (0,1) ，则 x I 。因此，对于任意 x I ，有：f (m) ( x)其中 f (m) ( x) 与 f (m) (0) 的符号相同。f (x) f (0) xm ，m!考虑上式右边的符号。(1) 若m 是偶数，对于不等于 0 的所有 x I , xm 0 。若 f (m) (0) 0 ，则有 f (m) ( x)

8、0 ，对于 I 中所有不同于 0 的点 x ，f (x) f (0) 0 。 f 在 x0 0 处取得局部极大值。(2) 同理，若m 是偶数，但 f (m) (0) 0 ，则有 f (m) ( x) 0 ，对于 I 中所有不同于0 的点 x ， f (x) f (0) 0 。 f 在 x0 0 处取得局部极小值。xm 0,若x 0(3)若m 是奇数，对于不等于 0 的所有 x I , 有两种情形，即x 0,若x 0m因此，对于 I 中所有不同于 0 的点 x ，无法得出 f (x) f (0) 0或是f (x) f (0) 0 。 x0 0 既不是 f 的极大值点，也不是 f 的极小值点。七、

9、导数&积分 17. 消费者的边际消费倾向是收入 Y 的函数： f (Y ) 0.8 0.2Y 2 ，并且当他的收入 Y=100 时，他会将其全部收入用于消费，求他的消费函数 11解： C(Y ) f (Y )dY (0.8 0.2Y 2 )dY 0.8Y 0.4Y 2 c由题意得 Y=100 时，C=100代入上式 c=161该消费者的消费函数C(Y ) 0.8Y 0.4Y 2 16八、无约束极值问题x 2x2 5 的极值8. 求 f12 12九、等式约束极值问题9. max（x 8 y）, 受约束于x 4 y 4 1日函数 L (x 81y )(x4 y4）解：构造Lx LY L FONC：

10、0 1 1 1 14得到： x 17, y 2 17,或x 17, y 2 17444(x，y) (17；37 4(x，y) (17十、不等式约束静态优化问题0 5 x0 5 ，其中 x 和 x10. 已知消费者的效用函数为 u(分别表示对甲、乙1212p1x1 p2 x2 I ，试求消费者的均衡点，并两种商品的量。假定约束为验证二阶条件成立。解：该问题为：maxU (0 5 x0 5s.t. p x p x I121 12 2构造日函数：L xx (I p x p x )0 5 0 5121 12 2由 Kuhn-Tucker 条件 0 51 xLx p 0 2 (1)12x1 1 0 5L

11、1 x p 0 1 (2)x22x2 2 * L 0 I L p x p x01 122 *0 x2p1 ，1* 由(1)、(2)得，p x px即；1 12 2xp2 p p121 2 * 0 ，根据松弛互补条件， * L 0得L 0 L I p x p x I 2 p x 01 12 21 1I2 pI x x .122 p12II消费者的均衡点是（x , x ）=(,).122 p2 p12L 0 * 0 ,问题同等式约束条件下的极值问题。即消费者使其效用最大化问题。下面二阶条件：g(x1, x2 ) pg(x1, x2 ) p .设 g(x , x ) I p x p x, 则，121

12、 12 2x1x212L ； L L L 5.；11121221122212444加边矩阵1p1p2H 2410 50 50 5 Dp2 0 5034 21121I2211242I（x ,x ）=(,)是极大值点，即为消费者的消费均衡点。122 p2 p12类似的，可以出这样：一个消费者面对价格分别为 p1 和p2 的商品 1 和商品 2 的效用函数 2x )U (12其中0 1(1) U (x1, x2 )如果该消费者面对的预算约束是p1 x1 p2 x2 y ，那么当他实现其效用最大化的时候，求其需求函数。当商品1价格增加的时候，商品2的需求将发生怎样的变化？这表明它们之间的关系是替代还是

13、互补？十一、单变量一阶微分方程11. 在一个动态市场里，存在：QdPdt P PD，Q S假设这一市场在每一个时点都是出清的， t 0 时，价格为 P(0) ；求其时间路径P(t) 。dP解：由于市场在每一个时点都是出清的， P Pdt dP ( ) P dt解这个微分方程得时间路径： P(t) P(0) exp( t) 十二、微分方程系统12. 求解下列微分方程系统，并分析系统的稳定性。y 1 y1 2 y2（1） y 6 y 3y； 212 x x2 y（2） y x xy解：（1）当 y 1 0, y 2 0 时，再看该方程组的系数矩阵为：y1 0，y2 0 。A 12 63由(I A)

14、 X 0 ，得特征行列式 126 3I A ( 1)( 3) 12 2 2 15 ( 5)( 3) 0解得， 1 5 ， 2 3由系数矩阵特征根分析，知， 1 2 tr( A) 2 0 ， 1 2 15 0A该系统存在一条鞍点稳定路径。在( y *, y *) (0, 0) 处，系统达到鞍点稳态。12（2）当 x 0, y 0 时，(x, y) (0,0) 或 (x, y) (1,1) 。对原微分方程系统，在均衡点附近进行 Taylor 展开：*f (x*, y*) x*) ( y y*)xg(x*, y*)y f (x, y) x2 y，其中， g(x, y) x xy ；g(x*, y*)

15、 y (x x*) ( y y*)xyx 0 y(i) 在(x, y) (0,0) 处，Taylor 展开后，有 y x 0对于这个线性微分方程系统，其系数矩阵为 A 1 ，可解得对应的特征根0 10 为1 i, 2 i 。 1 2 tr( A) 0 ， 1 2 det A 1 0在(x, y) (0, 0) ，均衡点是中心点，且系统是极限环式稳定。x 2x y 1(ii) 在(x, y) (1,1) 处，Taylor 展开后，有 y 2x y 3对于这个线性微分方程系统，其系数矩阵为 A 1 ，则对应的trA 3 0 ，2 21det A 4 0 ， tr2 A 4det A 7 0 对应的

16、特征根为复数根，且实部不为 0，可以判断，该均衡点是螺线点，且系统是不稳定的。十三、线性规划13. 已知下列线性规划：Min. C x1 4x212 x1 8 2 x 12s.t. 3 2 且 x1 , x2 0的最优解是 x1 8, x2 0 ：（1）（2）（3）求 s1, s2和C ； 写出对偶规划；根据上面（1）的， y2 的值应等于多少？根据已给的最优解，哪一个对偶约束条件是严格等式？（4） 用（3）的解出 y1 。解：(1) 可以将此线性规划转化为：Min.C x1 4x2s.t.x1 2x2 s1 83x1 2x2 s2 12x1, x2 02 分将已知条件中的最优解代入上述约束条件和目标函数，可以解得：s1 0 ， s2 12 ， C 83 分(2) 写出该线性规划的对偶规划：用C* 表示对偶规划中的目标函数，相应的对偶变量用 y1, y2 表示：依题意，原规划的对偶规划可以写成以下形式：Max.C* 8 y 12 y12 1 3y11s.t. 22 y 4 2 y1, y2 0或者，可以相应地表示为：Max.C* 8 y 12 y12y1 3y2 t1 1,2 y1 2 y2 t2 4,y1, y2 0s.t. (3) 根据对偶定理，如果线性规划中某个虚拟变量的最