量子力学2015考试夹2014量一题2014a

1、学院：专业：入学年月：学号：东北师范大学 2014 年 春季 学期 期末 试卷课程名称： 量子力学 试卷类型： A （A卷/ B卷）时间： 90 分钟方式： 闭 卷（开卷/闭卷）（卷面总分 100 分，占总成绩的 70% ）1、1923在-的光量子论的启发下，提出了物质波假设，即与一定动量 p 和能量 E 的实物粒子相对应的波的频率和波长分别为 和 人们后来称其为德关系。2、按照 Born 的统计诠释，描述单粒子量子体系的波函数 (r ) 通常称为概率波， (r )2 表示概率密度，其意义是：。而 (r ) dr 1称作波函数的 (r )2xyz 表示在r 处的体积元xyz 中找到粒子的，其物

2、理意义是在全空间找到粒子的。3、设一维粒子的初态 (x, 0) expip0 x ，则在任意t 0 时刻，该粒子的随时间演化的波函数 (x, t) 的表达式为。4、从方程出发，能够推导出概率守恒的微分表达式：，式中和分别为概率密度和概率流密度。5、受到的体系能量本征态的能量是它是态边界条件下求解能量本征方程的必然结果，而非的能量本征态的能量是，因而在通常情况下仅研究粒子的隧道效应。6、一个质量为m 的粒子在宽度为a 的一维无限深方势阱0 x a 中运动，能量本征值为，相应的本征函数为；从能级公式可以看出，粒子的能量是，这是由于边界条件造成的；而且最低能量 （填“为零”或“不为零”）这与经典粒子

3、不同，是微观粒子波动性的表现。7、设粒子被限制在长、宽、高分别为a 、b 、c 的盒子中运动，其状态波函数为 (x, y, z) ，在盒中上1 3 部分发现粒子的几率为 。 (x) e2 描述的粒子，则粒子位置主要局限区域（即位置的不确定度x ）为 , x2 2 8、若用 Gauss 波包而粒子的动量主要局限区域（即不确定度p ）为 。9、为了便于研究电子自旋，引入三个2 2 的 Pauli 矩阵 x 、 y 和 z ；在 z 表象中，它们的矩阵形式分别为：， ，。第 1页（共 4 页）得分一、填空题（每空 1 分，共 20 分）题号一二三四总分得分评卷人复核人二、判断题（每小题 1 分，共

4、10 分）注：正确的打对号，错误的画叉。1、在量子力学中方程是经过严格推导而得到的一个最基本的方程，其地位与方程在经典力学中地位相当。（）2、体系的定态是由不同能量本征函数相叠加而成的量子态。（）3、厄米算符的本征函数，一定都彼此正交。4、两个厄米算符之和仍为厄米算符。（）5、两个厄米算符之积也一定是厄米算符。（）6、在任何状态下，厄米算符的平均值必为实数。（）7、在任意状态下平均值都为实数的算符必为厄米算符。（）8、在定态中，几率流密度与时间无关。（）9、若两个厄米算符有共同本征态，它们一定彼此对易。（）10、在量子力学中，守恒量在任何状态下的平均值都不随时间改变。（）、证明题（每小题 5

5、分，共 15 分）1、根据量子力学最基本的对易关系式，证明下列对易式：(1)、L , x ix ， (2)、L , p ip ，其中 , , 1, 2, 3 。 2、证明下列等式成立: (1)、 0 ,(2)、 0 。pLLpr LLr第 2页（共 4 页）三得分得分 3、证明： exp in exp in n n n n cos 2 n sin 2 ，这里 为常数， n 为任意方向的向量。、计算题（共 55 分）的粒子在一维无限深势阱 0 x a 中运动，在 t 0 时刻粒子处于波函数为 1 、（ 15分）一个质量为 m (的状态。(1)、在后来某一时刻t0 的波函数是什么？(2)、体系在t 0 和t t0 时的平均能量a各是多少？(3)、在t t0 时，在势阱左半部0 x a2 发现粒子的几率是多少？第 3页（共 4 页）四得分2、（20 分）已知算符 A 在某一表象中，其矩阵形式为 A 21 。(1)、判断 A 是否是厄米算符？(2)、求 A 的本征值和 25相应的归一化的本征函数，该归一化本征函数是否正交？(3)、将该矩阵对角化；其变换矩阵唯一否？(4)、将 A 矩