《固体物理学》房晓勇-思考题01第一章 晶体的结构

1、 第一章晶体的结构思考题为什么自然界中大多数固体以晶态形式存在？为什么面指数简单的晶面往往暴露在外表面？解答：在密勒指数（面指数）简单的晶面族中，面间距d较大。对于一定的晶格，单位体积内格点数目一定，因此在晶面间距大的晶面上，格点（原子）的面密度必然大。面间距大的晶面，由于单位表面能量小，容易在晶体生长过程中显露在外表面，所以面指数简单的晶面往往暴露在外表面。任何晶面族中最靠近原点的那个晶面必定通过一个或多个基矢的末端吗？解答：根据固体物理学式（l-10a）acos1,n=hd11,n=hd22(1-10a)acos3,n=hd33解理面是面指数低的晶面还是指数高的晶面？为什么？解答：晶体容易

2、沿解理面劈裂，说明平行于解理面的原子层之间的结合力弱，即平行解理面的原子层的间距大.因为面间距大的晶面族的指数低,所以解理面是面指数低的晶面.在14种布喇菲格子中，为什么没有底心四方、面心四方和底心立方？解答：参考陈金富P33页，徐至中1-13佃(6)1）图（a）代表向c轴俯视所观察到的体心四方的格点分布。格点距离由格点组成的晶面的C/2处。如C=a，则点阵为bcc;如图所示，为已经伸长的bcc，cHa，它是体心四方点阵。如图（b）与图（a）代表同样的点阵，只是观察的角度不同，图中构成四方面心格点，面心格点间的距离a-云，如C=書，则点阵为fcc；对于一般的C值，图是沿c轴伸长后的点阵，因此相

3、同的点阵从（a）是体心点阵，从（b）看是面心点阵，本质上相同，都称为体心四方点阵。2）类似的底心四方和简单四方是同一种点阵。3）底心立方不再具有立方对称性。所以不存在。许多金属既可以形成体心立方结构，也可以形成面心立方结构。从一种结构转变为另一种结构时体积变化很小。设体积的变化可以忽略，并以R/和R代表面心立方和体心立方结构中最近邻原子间的距离,fb试问R/R等于多少？fd4R解答：在面心立方晶胞结构的空间面对角线为4R，晶胞的边长a=；一个晶胞包含4个原子，单ff丁2位体积中的原子数为nf（4R在体心晶胞结构的空间体对角线为4R，晶胞的边长abb4R一个晶胞包含两个原子，单位体积中的原子数为

4、nb（4R/bn=nfb依题意，在两种晶格变化时设体积的变化可以忽略，即密度相等。4即（4R/程）=（4R/朽）fb得R/Rfd=石X213=1.029将等体积的硬球在平面上密积排列时，空间利用率等于多少？解答：在平面上排列时可以理解为是圆在二维平面上的排列，1)每一个圆如图所示排列时，最紧密，空间利用率最大。每一个圆在平面四边形一个顶角上，为四个四边形共有，每个四边形有四个圆，所以每个四边形包含一个圆。每个四边形的面积S=2xxa2cos2=2x1x（2R）2sin兀=2x、3R223每个圆的面积S=冗R2空间利用率面利用率pS2頁R22P3空间利用率体利用率pS4冗R3323R2X2R2)

5、球排成正方形格子每个正方形的面积S=a2=(2R)2=4R2每个圆的面积S=冗R2第一章晶体的结构习题2 空间利用率面利用率P=-SS4R24V4冗R33兀V4R2x2R6空间利用率体利用率PS在立方晶系中，晶列hkl垂直于同指数的晶面（hkl）。这个结论对别的晶系，例如四方晶系兀、（a=卩=丫=,a=b主c），是否成立？2解答：设d为晶面族的（hkl）的面间距，n为法向单位矢量，根据晶面的定义，晶面族（hkl）将a,b,c分别截为h,k|,|l|等分，即()a-n=acosa,n=hd于是有dddn=hi+ki+li(1)abc其中i,k,l分别是a,b,C三个坐标轴的单位矢量，面晶列Vhk

6、i的方向矢量为R=hai+kbj+ick(2)如果是立方晶系a=b=c，TOC o 1-5 h zdddd()n=hi+kj+lk=hi+kj+lk(1)bcaR=hai+kbj+ick=ha(+kj+ik)(2)-*d*比较两式得n=正R，即n与R平行，晶列hkl垂直于同指数的晶面（hkl）cos0=/d-d-d-A()hi+kj+lkI-Vhai+kbj+lck丿*abc丿(h2+k2+l2)+kbj+lck)h2k2l2+xh2a2+k2b2+l2c2a2b2c2如果是立方晶系，cos0=1，表示平行，即晶列hkl垂直于同指数的晶面（hkl）兀如果不是立方晶系，例如四方晶系（a=卩=丫=

7、,a=b丰c）(h2+k2+l2)cos0=h2k2l2:+x；h2a2+k2a2+l2c2a2a2c2第一章晶体的结构习题123 显然，cos0丰1,即n与R不平行，即晶列hkl不垂直于同指数的晶面（hkl）。1.8验证晶面（210）、（110）、（012）是否属于同一晶带？若是同一晶带，其带轴方向的晶列指数是什么？解答：参考王矜奉1.1.6；根据习题1.10，三个晶面属于同一晶带的条件是hhh-21123hhh=0,而-11123hf1h2hf3010=(-2)x(1x2-1x1)+1x2所以晶面（210）、（110）、（1x0-(-1)x2=0012）是属于同一晶带。三晶面属于同一晶带u

8、vw其带轴方向的晶列指数是uvw，（交线为晶带轴，此即为晶带轴的方向指数）,则满足KCa+vb+wc一一一)()a*+hb*+he*丿ua+vb+wc=0123因为a*a=b*b=e*e=2兀得hu+hv+hw=0123同理有hfu+hfv+hfw=01233hh22hhhh12hhhhhhhh100-2-212u:v:w=33112=hhhhh111-1-1112233123得=1:2:12331121.9晶面指数为（123）的晶面ABC是离原点O最近的晶面，OA、OB、和OC分别与基矢a,a,a重合,123除O点外，OA、OB、和OC上是否有格点？若ABC的面指数为（234）,情况又如何？

9、解答：参考1.2.5晶面族（123）截a,a,a分别为1,2,3等份，ABC面是离原点O最近的晶面，OA的长度等于a长1231度,OB的长度等于7长度的1/2,OC的长度等于7长度的1/3,所以A是格点。若ABC的面指数为（234）,23则A、B、C都不是格点。1.10与晶列lll垂直的倒格面的面指数是什么？第一章晶体的结构习题 2aa2（a）斜方晶格，a,a任意，申任意.12b）正方晶格，（c）长方晶格，a主a,q=兀/2.12解答：王矜奉1.1.8正格子与倒格子互为倒格子，正格子晶面（仇1,h2,与倒格式Kh=-bi+h2b2+h3b3垂直，则倒格晶面Qii）与正格矢r=ia+1a+1a正

10、交，即晶列/门与倒格面（iii）垂直。123l112233123123面心立方和体心立方晶格中原子线密度最大的是哪个方向？解答：参考王矜奉1.2.11面间距最大的晶面上的格点最密，格点最密的线一定分布在格点最密的面上。根据固体物理学习题1.12，面心立方晶格中格点面密度最大的面是面指数为（111）的晶面，所以面心立方晶格中原子线密度最大的方向是晶面（111）内如图所示，最小的晶体心立方晶格中，面密度最大的面是面指数为（110）的晶面，所以面心立方晶格中原子线密度最大的方向是晶面（110）内如图所示，最小的晶列周期为冒3a/2.二维布喇菲点阵只有五种，试列举并画图表示之。解答：参考基泰尔P6有斜

11、方晶格、正方晶格、长方晶格、六角晶格和有心长方晶格五种。（e）长方晶格，左边为原胞，右为晶胞(d)六角方晶格，a=a,cp=2兀/3.12具有4度象轴而没有4度旋转对称轴的晶体，有没有对称中心？举例说明。解答：1.14如晶体中存在两个相互交角为n/4的对称面，试问这两个对称面的交线是几度旋转对称轴？解答：面心立方元素晶体中最小的晶列周期为多大？该晶列在那些晶面内？解答：参考王矜奉1.1.12周期最小的晶列一定在原子面密度最大的晶面内。若以密堆积模型，则原子密度最的晶面就是密排面。如固体物理学图1-9所示，可知密勒指数（111）可以证明原胞坐标系中的面指数也为（111）是一个密排面晶面族，最小的

12、晶列周期为2a/2.根据同族晶面族的性质，周期最小的晶列处于（111）晶面内。对晶体做结构分析时，为什么不使用可见光？解答：固体物理学式（1-39）布拉格反射公式2dsin0=n九（1-39），当入射波长一定时，入射h1h2h3角只有符合sin0=n九f2d时才能发生衍射。由于sin01，则当n=1时，必有X2d。晶体中h1h2h3h1h2h3原子间距的数量级为10-10m，要使原子晶格成为光波的衍射光栅，光波的波长应小于10-10m。但可见光的波长为（4.07.6）x10-7m，是晶体中原子间距的1000倍。因此，在晶体衍射中，不能用可见光。在晶体的X射线衍射中，为了实现来自相继晶面的辐射发

13、生相长干涉，对于高指数的晶面，应采用长的还是短的波长？解答：高指数的晶面族与低指数的晶面族相比，对于同级衍射，哪一晶面衍射光弱？为什么？解答：（参考王矜奉1.1.14）对于同一级衍射，高指数的晶面族衍射光弱，低指数的晶面族衍射光强。低指数的晶面族面间距大，晶面上的原子密度大，这样的晶面对射线的反射（衍射）作用强。相反，高指数的晶面族面间距小，晶面上的原子数密度小，这样的晶面对射线的反射（衍射）作用弱。另外，由固体物理学式（1-39）布拉格反射公式2dsin=nX（-L39h1h2h3可知，面间距大的晶面，对应一个小的光的掠射角0，面间距小的晶面，对应一个大的光的掠射角0，0越大，光的透射能力越

14、强，反射能力越弱。温度升高时，衍射角如何变化？X光波长变化时，衍射角如何变化？解答：（参考王矜奉1.1.15）由固体物理学式（1-39）布拉格反射公式2dsin0=nX（1-39）h1h2h3可知，对于同一级衍射，当X光波长不变时，面间距d之间变大，衍射角逐渐变小，所以温度h1h2h3升高，由于热膨胀，面间距d逐渐变大，衍射角变小。h1h2h3当温度不变时，X光波长变大时，对于同一晶面族，衍射角随之变大。体心立方元素晶体，密勒指数（100）和（110）面，原胞坐标系中的一级衍射，分别对应晶胞坐标系中几级衍射？解答：（参考王矜奉1.1.16,1.2.15，王矜奉教材29页）根据固体物理学1.5节

15、，根据固体物理学式1-9)体心立方晶体的固体物理学原胞和结晶学晶胞的中基矢分别为a1aia2ajaka3倒格矢分别为b1(j+k)=b*+c*a*1b2j=1(一b一b+bb3+j)=a*+b*1(一b+b一b与固体物理学原胞晶面族（hhh）和结晶学晶胞晶面族（hkl）对应的倒格矢分别为123一(一)(一)()K=hbhbhb=hb*c*ha*c*ha*b*h1h2h3112233123=(h+h)a*+(h+h)b*+(h+h)c*(a)2313127一一hK=ha*+kb*+lc*=hkl77)k(-777)l(77)b+b+b一b+b+b+b一b/212321232123=1(h+k+l

16、)b+(hk+l)b+(h+kl)b(b)根据固体物理学式（1-18）晶面间距离分别为,d123h1h2h3hkl2兀又根据固体物理学式（1-39）布拉格反射公式，2dsin0=n九(c)1232dsin0=n九(d)hkl衍射角相同意味着（hhh）与（hkl）为同一晶族，对应的倒格矢平行，即123K=pK（e）h1h2h3hkl其中p是一个常数。比较得式（a）和（c）(hkl)=p(h+h)(h+h)(h+h)(f)231312p为(h+h),(h+h),(h+h)的公约数。231312比较比较得式(b)和(c)TOC o 1-5 h zK=K(g)hkl2h1h2h3(hhh)=(h+k+

17、l)(h-k+l)(h+k-l)(h)123pp为(h+k+l),(h-k+l),(h+k-1)的公约数。对于体心立方元素晶体，对应密勒指数（100）的原胞体系的指数根据式（h）(hhh)123=(-h+k+l)(h-k+l)(h+k-l)=(-1+0+0)(1-0+0)(1+0-0)=C11)ffppp，=1，由式（c）、（d）和（g）可知n=2n，即对于体心立方元素晶体，对应密勒指数（100）晶面族的原胞体系中一级衍射，对应晶胞坐标系中的二级衍射。对于体心立方元素晶体，对应密勒指数（110）的原胞体系的指数根据式（h）（hhh）=（h+k+l）（h-k+l）（h+k-l）=（-1+1+0）

18、（1-1+0）（1+1-0）=1（001）123pp2p，=2，由式（c）、（d）和（g）可知n=n，即对于体心立方元素晶体，对应密勒指数（100）晶面族的原胞体系中一级衍射，对应晶胞坐标系中的一级衍射。1.21如果间距为d的两个相邻原子面上X射线反射彼此加强，间距为2d，3d，4d,的两个原子面上的反射是否也彼此加强？反之，如果间距为2d的两个面的反射满足布喇格公式，间距为d的面上的反射是否加强？解答：根据固体物理学式（1-39）2dsin0=n九（139）h1h2h3时满足衍射加强，d是晶面族的面间距，与原子间间距成正比，即d=md。h1h2h3h1h2h3显然当间距为d的两个原子满足式（

19、1-39）时，间距为2d，3d，4d,的两个原子面也满足衍射加强。反之，如果间距为2d的两个面的反射满足布喇格公式时，如n为奇数时，间距为d的面不满足衍射方程,而当n为偶数时，间距为d的面满足衍射方程，表示此面上的反射是加强的。1.22金刚石和锗的几何结构因子有何异同？解答：（参考王矜奉1.1.18）几何结构因子的表达式（1-52）Fhkl=工fei2nn(huj+kv,+Iw其中u,v,w是一个晶胞内，第j个原子的位置矢量在a,b,c轴上投影的系数。jjj金刚石和锗具有相同的结构，尽管它们的a,b,c大小不相同，但第j个原子的位置矢量在a,b,c轴上投影的系数相同。如果认为晶胞内各个原子的散射因子f都一样，则几何结构因子化为Ei2nnCu+kv+iw)ejjjiF=hkij在这种情况下金刚石和锗的几何结构因子的求和部分相同。由于金刚石和锗原子中的电子数和分布不同几何结构因子中的原子散射因子f不会相同。1.23旋转单晶法中，将胶片卷成以转轴为轴的圆筒，胶片上的