函数的单调性教案(优秀)

1、课 题：函数的单调性授课教师：王青【教学目标】.知识与技能：使学生从形与数两方面理解函数的单调性概念，初步掌握利用 函数图象和单调性定义判断、证明函数的单调性的方法，了解函数单调区问 的概念。.过程与方法：通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合的数学思想方法, 培养学生的观察、归纳、抽象思维能力。.情感态度与价值观：在参与的过程中体验成功的喜悦，感受学习数学的乐趣 【教学重点】函数单调性的概念、判断及证明.教教学难点】归纳抽象函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性.【教学方法】教师启发讲授，学生探究学习.【使用教具】多媒体教学【教学过程】一、创设情境，引入课题1、下图是北京市今年8月8

2、日一天24小时内气温随时间变化的曲线图(1)当天的最高温度、最低温度以及何时达到；(3)哪些时段温度升高？哪些时段温度降低？在生活中，我们关心很多数据的变化规律，了解这些数据的变化规律，对我们的生活是很有帮助的.归纳：用函数观点看，其实就是随着自变量的变化，函数值是变大还是变小.K设计意图2由生活情境引入新课，激发兴趣.二、归纳探索，形成概念对于自变量变化时， 函数值是变大还是变小， 初中同学们就有了一定的认识，但是没有严格的定义，今天我们的任务首先就是系统地学习这块内容.1 借助图象，直观感知问题 1：分别作出函数y x 1 ， y x 1 ， f(x)x2 的图象，并且思考1) 函数 y

3、x 1 的图象从左至右是上升还是下降， 在区间 上 f (x)的值随 x 的增大而 2) 函数 y x 1 的图象从左至右是上升还是下降，在区间 上f (x)的值随x的增大而函数f(x)x2在区间上，f (x)的值随x的增大而增大函数f(x)x2在区间上，f (x)的值随x的增大而减小 设计意图 从图象直观感知函数单调性， 完成对函数单调性的 第一次认识 2 抽象思维，形成概念问题：你能用数学符号语言描述第( 3) ( 4)题吗？x2) 0 , 即22任 取x1，x20,)，且xix2,因为xix2(xix2)(xi22 TOC o 1-5 h z xix2 ，所以 f xif x2任意的xi

4、 ， x 2任意的xi ， x 2，0 ) ，xi x2 , 则 fxifx2，0) ，xi x2 , 则 fxifx2师生共同探究，得出增函数和减函数的定义：增函数定义：如果函数 y=f(x) 在数集 I 上满足： 随着自变量x 的增大， 因变量 y 也增大，那么称 y=f(x) 在数集 I 上单调增，也称y=f(x) 在数集 I 上是增函数数学语言描述：如果函数y=f(x)在数集I上满足：对于任意的xi , x2 C I,当xi x2时， f( xi )f( x2 ) ，则称 y=f(x) 在数集 I 上单调增，也称y=f(x) 在数集 I 上 是增函数。同学们根据增函数的定义给出减函数的

5、定义 设计意图 把对单调性的认识由感性上升到理性认识的高度, 完成对概念第二次认识 事实上也给出了证明单调性的方法，为证明单调性做好铺垫.判断题:若函数“乂)满足(2) f(3),则函数f(x)在区间2,同上为增函数.通过判断题，强调三点：通过判断题，强调三点：单调性是对定义域内某个区间而言的， 离开了定义域和相应区间就谈不上 单调性.对于某个具体函数的单调区问，可以是整个定义域 (如一次函数)，可以是 定义域内某个区间(如二次函数)，也可以根本不单调(如常函数).函数的单调性就是函数的增减性K设计意图2让学生由特殊到一般，从具体到抽象归纳出单调性的定义，通过对判断题的辨析，加深学生对定义的理

6、解，完成对概念的第三次认识.有了函数的单调性这一概念就有如下概念：如果函数y f x在某区间上是增函数，就称该区间为函数y f x的单调增区间。如果函数y f x在某区间上是减函数，就称该区间为函数y f x的单调减区间。练一练下图为函数f(x)的图像，找出它的单调区间以及在每个区间上f(x)是增函数还是减函数。三、掌握证法，适当延展例1、证明函数f x 7x 2在R上是增函数.1.分析解决问题针对学生可能出现的问题，组织学生讨论、交流.证明：任取，x1,x2 R,且x x2设元f(x1) f(x2) (7x1 2) (7x2 2)求差7(x x?)变形xx2，x1x20f(x) f(x2)

7、0,即 f(x1) f(x2),断号定论函数f（x）x 2在（72,）上是增函数. x2.归纳解题步骤引导学生归纳证明函数单调性的步骤：设元、作差、变形、断号、定论.，_ 1.练习：证明函数f x 在0,）上是增函数. x四、归纳小结，提高认识学生交流在本节课学习中的体会、 收获，交流学习过程中的体验和感受，师 生合作共同完成小结.小结（1）函数单调性的定义（2）证明函数单调性的步骤：设元、作差、变形、断号、定论.作业书面作业：学习指导用书P53-P54函数的可导性与连续性的关系教案教学目的.使学生理解函数连续是函数可导的必要条件，但不是充分条件.使学生了解左导数和右导数的概念.教学重点和难点

8、掌握函数的可导性与连续性的关系.教学过程一、复习提问.导数的定义是什么？当氏-0时，字有极限，我们说函数y =00在点町处可停，这一极限值就 叫做讴)在七处的导数.记作强调丫=6)在点臼处可导包含以下三个要点,y = F3)在点向处及其附近有意义;左极限11 m及右极限hm 一都存在qhm -= lim ；、即左右板T y zxjx-i0+ nsiu-40- nx 4mtci+&限相等.这三个条件中缺一条件，函数在该点就不可导.函数在点xo处连续的定义是什么?如果函数电)在点飞的某一领域内有定义，而且lim %) = f()就说函数f在 点知处道毅在学生回答定义基础上，教师进一步强调函数f(x

9、)在点x=xo处连续必须具备以下三个条件:函数侬在点向的某一领域内有定义lim E(x)存在事E。lim f(x) =除.HZ。土设。是函薮y = )定义域内的一点，则函数X侬在点见处连续的充要条 件是 lim Ay = 0.畋f。证明 充分性即由己知lim Ay = 0推证lim侬=f(x0) iX3E-3Cq f(x)在点X0处连续.(2)必要性m即己知lim f(x)=取0)推证lim / = 0.或 TXgAX-S-0/ lim Ay= lirnf(x)-f(x0) = lim f(x) - Em f(x0) =f(x0) - f(z0) = 0 凰 T。AMT。KT5C0 -综合(1

10、)(2)原命题得证.在复习以上三个问题基础上，直接提出本节课题.先由学生回答函数的可导性与连续性的关系.二、新课1.如果函数f(x)在点X0处可导，那么f(x)在点X0处连续.分析.即由已知产Im1而 防一跖)=()是一个常数,要证瓜QAsvlim 除)=侬口).MT支. TOC o 1-5 h z 证明=. y = litn=F3d，招T。及”二屈/的+ &)_电)f 晶 +- f (嘉 口)=lim * 3版7。Axf(K0 + &0 -f(X0)=lim , lim Ak = F) + 0 = 0W 口Axis一0由复习提问0)可知照f(%+冲=心力.即lim f(s) = 0)7C-*

11、Kn f(x)在点X0处连续.提问：一个函数f(x)在某一点处连续，那么f(x)在点X0处一定可导吗？为什么？若 不可导，举例说明.如果函数f(x)在点X0处连续，那么f(x)在该点不一定可导.例如：函数y=|x|在点x=0处连续，但在点x=0处不可导.从图2 3看出，曲线y = f(x)在点0(0, 0)处没有切线.网Z-3证明： : Ay=f(0 + A x)-f(0)=|0+Ax|-|0|=|Ax|,lim Ay = lim|Ax|= CL:函数y=|x|在点x0处是连续的. - L 二出.1|. -r：. Y - - : =* I；ar： + .江，.二片j w, - s TOC o

12、1-5 h z 也就是当口时，学的左、右极限不相等，所以舁当AxfO时极根不存在.小蠡口、因此函数7=同在点K =。处不可导.2.左导数与右导数的概念.设已知函数y =月初=f(x0 + Ax) -3口)，如果?的左极限存在，就把左极限bm ?叫做际在点血处的左导物 如果 色的右微限存在,就把右极限 盘口一 ?Axkm卓叫做通在点町处的右导数.世句* Ax(2)左、右导数存在且相等是导数存在的充要条件(利用左右极限存在且相等是极限 存在的充要条件，可以加以证明，本节不证明).(3)函数在一个闭区间上可导的定义.如果函数y=f(x)在开区间(a, b)内可导，在左端点x=a处存在右导数，在右端点

13、x=b处存在左导数，我们就说函数f(x)在闭区间a, b上可导.三、小结,函数f(x)在xo处有定义是f(x)在xo处连续的必要而不充分条件.函数f(x)在xo处连续是f(x)在xo处有极限的充分而不必要条件.函数f(x)在xo处连续是f(x)在xo处可导的必要而不充分的条件.四、布置作业1.先从函数的图霁观察，然后根据定义判断函数y二妙Z在点不=。处是否连续, 在点5= 0处是否可寻.作业解答的提示:二f. f(x)在点x= 1处连续.?4:在万=1处是否连缥，是否可导.3x （工；1）二 1;工 t 区=hi延 21=J lim 2(:) = lim = 2, :KT Xfl+X-J-14即 lirn ffx) = lim f(s) = 2 ”厂一 Ay 一 而T 1丁上 公lim -j = lim -r- = lim ,不存在,JoctO 凸 met。iX i