人教A版选择性必修第三册 第七章 第2课时 二项分布的综合问题 学案

1、第2课时二项分布的综合问题学习目标1.掌握二项分布的均值与方差公式.2.能利用二项分布解决一些简单的实际问题导语姚明作为中锋，他职业生涯的罚球命中率为0.8，假设他每次命中率相同，请问他5投4中的概率是多少？一、二项分布的均值与方差问题若随机变量X服从二项分布B(n，p)，那么X的均值和方差各是什么？提示当n1时，X服从两点分布，分布列为X01P1ppE(X)p，D(X)p(1p)二项分布的分布列为(q1p)X01knPCeq oal(0,n)p0qnCeq oal(1,n)p1qn1Ceq oal(k,n)pkqnkCeq oal(n,n)pnq0则E(X)0Ceq oal(0,n)p0qn

2、1Ceq oal(1,n)p1qn12Ceq oal(2,n)p2qn2kCeq oal(k,n)pkqnknCeq oal(n,n)pnq0，由kCeq oal(k,n)nCeq oal(k1,n1)，可得E(X)nCeq oal(0,n1)p1qn1nCeq oal(1,n1)p2qn2nCeq oal(k1,n1)pkqnknCeq oal(n1,n1)pnq0np(Ceq oal(0,n1)p0qn1Ceq oal(1,n1)p1qn2Ceq oal(k1,n1)pk1qnkCeq oal(n1,n1)pn1q0)np(pq)n1np，同理可得D(X)np(1p)知识梳理1若X服从两点

3、分布，则E(X)p，D(X)p(1p)2若XB(n，p)，则E(X)np，D(X)np(1p)例1将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球自由下落，在下落的过程中，小球将遇到黑色障碍物3次，最后落入A袋或B袋中，已知小球每次遇到障碍物时，向左、右两边下落的概率分别是eq f(1,3)，eq f(2,3).(1)分别求出小球落入A袋和B袋中的概率；(2)在容器的入口处依次放入4个小球，记为落入B袋中的小球的个数，求的分布列、均值和方差解(1)设M“小球落入A袋”，N“小球落入B袋”，则P(M)eq f(1,3)eq f(1,3)eq f(1,3)eq f(2,3)eq f(2,

4、3)eq f(2,3)eq f(1,3)，所以P(N)1P(M)1eq f(1,3)eq f(2,3).(2)易知Beq blc(rc)(avs4alco1(4，f(2,3)，则的分布列为P(k)Ceq oal(k,4)eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)keq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)4k(k0,1,2,3,4)，E()4eq f(2,3)eq f(8,3)，D()4eq f(2,3)eq f(1,3)eq f(8,9).反思感悟解决此类问题第一步是判断随机变量X服从什么分布，第二步代入相应的公式求解若X服从两点分布，则E(X)p，D(X)p(1p)

5、；若X服从二项分布，即XB(n，p)，则E(X)np，D(X)np(1p)跟踪训练1某一智力游戏玩一次所得的积分是一个随机变量X，其分布列如下表，均值E(X)2.(1)求a和b的值；(2)某同学连续玩三次该智力游戏，记积分X大于0的次数为Y，求Y的分布列与均值X036Peq f(1,2)ab解(1)因为E(X)2，所以0eq f(1,2)3a6b2，即3a6b2.又eq f(1,2)ab1，得abeq f(1,2)，联立，解得aeq f(1,3)，beq f(1,6).(2)P(X0)eq f(1,2)，依题意知YBeq blc(rc)(avs4alco1(3，f(1,2)，故P(Y0)eq

6、blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)3eq f(1,8)，P(Y1)Ceq oal(1,3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)2eq f(3,8)，P(Y2)Ceq oal(2,3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)2eq f(1,2)eq f(3,8)，P(Y3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)3eq f(1,8).故Y的分布列为Y0123Peq f(1,8)eq f(3,8)eq f(3,8)eq f(1,8)Y的均值为E(Y)0eq f(1,8)1eq f(3,

7、8)2eq f(3,8)3eq f(1,8)eq f(3,2).二、二项分布的实际应用例2为了了解校园噪音情况，学校环保协会对校园环境噪音值(单位：分贝)进行了50天的监测，得到如下统计表：环境噪音值(单位：分贝)55，57(57，59(59，61(61，63(63，65(65，67频数14122085(1)根据该统计表，求这50天校园噪音值的样本平均数(同一组的数据用该组的组中值作代表)；(2)若环境噪音值超过65分贝，视为重度噪音污染，环境噪音值不超过59分贝，视为轻度噪音污染，把由上述统计表算得的频率视作概率，回答下列问题：求周一到周五的5天中恰有两天校园出现重度噪音污染而其余3天都是轻

8、度噪音污染的概率；学校要举行为期3天的“汉字听写大赛”校园选拔赛，把这3天校园出现的重度噪音污染天数记为X，求X的分布列和方差D(X)解(1)由数据可知样本平均数为eq f(56158460126220648665,50)61.8(分贝)(2)由题意，知出现重度噪音污染的概率为eq f(1,10)，出现轻度噪音污染的概率为eq f(1,10)，设事件A为“周一至周五的5天中恰有两天校园出现重度噪音污染而其余3天都是轻度噪音污染”，则P(A)Ceq oal(2,5)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,10)2eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,10)3eq f(1,1

9、0 000).由题意，得XBeq blc(rc)(avs4alco1(3，f(1,10)，则随机变量X的分布列为P(Xk)Ceq oal(k,3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,10)keq blc(rc)(avs4alco1(f(9,10)3k，k0,1,2,3.所以D(X)np(1p)0.27.反思感悟二项分布的实际应用类问题的求解步骤(1)根据题意设出随机变量；(2)分析随机变量服从二项分布；(3)求出参数n和p的值；(4)根据二项分布的均值、方差的计算公式求解跟踪训练2一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，

10、并且概率都是eq f(1,3).(1)求这名学生在途中遇到红灯的次数的均值；(2)求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数的分布列；(3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率解(1)方法一由Beq blc(rc)(avs4alco1(5，f(1,3)，得P(k)Ceq oal(k,5)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)keq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)5k，k0,1,2,3,4,5.即P(0)Ceq oal(0,5)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)0eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)5eq f(

11、32,243)，P(1)Ceq oal(1,5)eq f(1,3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)4eq f(80,243)，P(2)Ceq oal(2,5)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)2eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)3eq f(80,243)，P(3)Ceq oal(3,5)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)3eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)2eq f(40,243)，P(4)Ceq oal(4,5)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)4eq f(2,3)eq

12、f(10,243)，P(5)Ceq oal(5,5)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)5eq f(1,243).故的分布列为012345Peq f(32,243)eq f(80,243)eq f(80,243)eq f(40,243)eq f(10,243)eq f(1,243)E()0eq f(32,243)1eq f(80,243)2eq f(80,243)3eq f(40,243)4eq f(10,243)5eq f(1,243)eq f(5,3).方法二Beq blc(rc)(avs4alco1(5，f(1,3)，E()eq f(5,3).(2)的分布列为P(k)P

13、(前k个是绿灯，第k1个是红灯)eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)keq f(1,3)，k0,1,2,3,4，即P(0)eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)0eq f(1,3)eq f(1,3)，P(1)eq f(2,3)eq f(1,3)eq f(2,9)，P(2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)2eq f(1,3)eq f(4,27)，P(3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)3eq f(1,3)eq f(8,81)，P(4)eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)4eq f(1,3)eq f(1

14、6,243)，P(5)eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)5eq f(32,243).故的分布列为012345Peq f(1,3)eq f(2,9)eq f(4,27)eq f(8,81)eq f(16,243)eq f(32,243)(3)所求概率为P(1)1P(0)1eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)5eq f(211,243).三、二项分布的性质例3某一批产品的合格率为95%，那么在取出的20件产品中，最有可能有几件产品合格？解设在取出的20件产品中，合格产品有X件，则XB(20,0.95)，则恰好有k件产品合格的概率为P(Xk)Ceq oal(k,

15、20)0.95k0.0520k(0k20且kN)eq f(PXk,PXk1)eq f(Coal(k,20)0.95k0.0520k,Coal(k1,20)0.95k10.0521k)eq f(20k10.95,k0.05)1eq f(210.95k,k0.05)1eq f(19.95k,k0.05)(1k20且kN)则当k19.95时，P(Xk1)19.95时，P(Xk1)P(Xk)，eq f(PX20,PX19)1.由以上分析可知，在取出的20件产品中，合格品有19件的概率最大，即最有可能有19件合格品反思感悟二项分布概率最大问题的求解思路可以用eq f(PXk1,PXk)1(0kn1，kN

16、)来求，还可以考虑用不等式组eq blcrc (avs4alco1(PXkPXk1，,PXkPXk1)(kN，1kn1)来求跟踪训练3若XBeq blc(rc)(avs4alco1(20，f(1,3)，则P(Xk)(0k20且kN)取得最大值时，k_.答案6或7解析由题意知，X服从二项分布，所以P(Xk)Ceq oal(k,20)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)keq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,3)20kCeq oal(k,20)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)keq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)20k,0k2

17、0且kN.由不等式eq f(PXk1,PXk)1(0k19且kN)，得eq f(20k,k1)eq f(1,2)1，解得k6.所以当k6时，P(Xk)P(Xk1)；当kP(Xk)因为当且仅当k6时，P(Xk1)P(Xk)，所以当k6或k7时，P(Xk)取得最大值1知识清单：(1)二项分布的均值、方差(2)二项分布的性质2方法归纳：公式法3常见误区：判断随机变量X是否服从二项分布1(多选)下列关于随机变量及分布的说法正确的是()A抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量B某人射击时命中的概率为0.5，此人射击三次命中的次数X服从两点分布C离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以

18、小于1D离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的答案AD解析对于选项A，抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数可能是0，也可能是1，故是随机变量，故选项A正确；对于选项B，某人射击时命中的概率为0.5，此人射击三次是3重伯努利试验，命中的次数X服从二项分布B(3,0.5)而不是两点分布，故选项B错误；对于选项C，离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和一定等于1，故选项C错误；对于选项D，由互斥事件的定义可知选项D正确2同时抛掷两枚质地均匀的硬币10次，设两枚硬币同时出现反面的次数为X，则D(X)等于()A.eq f(15,8)B.eq f(15,4)C.eq f(5,2)D5答案A解析抛掷两枚均匀硬币，两枚硬币都出现反面的概率为Peq f(1,2)eq f(1,2)eq f(1,4)，则易知XBeq blc(rc)(avs4alco1(10，f(1,4)，故D(X)10eq f(1,4)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,4)eq f(15,8).3设随机变量XB(n，p)，如果E(X)12，D