概率论与数理统计复习资料要点总结#

1、概率论与数理统计复习资料一、复习提纲 注：以下是测试的参考内容，不作为实际测试范围，仅作为复习参考之用。测试内容以教学大纲和实行计划为准；注明“了解” 的内容一般不考。1、能很好地掌握写样本空间与事件方法，会事件关系的运算，了解概率的古典定义2、能较熟练地求解古典概率；了解概率的公理化定义3、掌握概率的基本性质和应用这些性质进行概率计算；理解条件概率的概念；掌握加法公式与乘法公式4、能准确地选择和运用全概率公式与贝叶斯公式解题；掌握事件独立性的概念及性质。5、理解随机变量的概念，了解 (0 1)分布、二项分布、泊松分布的分布律。6、理解分布函数的概念及性质，理解连续型随机变量的概率密度及性质。

2、7、掌握指数分布 ( 参数 )、均匀分布、正态分布，特别是正态分布概率计算8、会求一维随机变量函数分布的一般方法，求一维随机变量的分布律或概率密度。9、会求分布中的待定参数。10、会求边缘分布函数、边缘分布律、条件分布律、边缘密度函数、条件密度函数，会判别随机变量的独立性。11、掌握连续型随机变量的条件概率密度的概念及计算。12、理解二维随机变量的概念，理解二维随机变量的联合分布函数及其性质，理解二维离散型随机变量的联合分布律及其性质， 理解二维连续型随机变量的联合概率密度及其性质，并会用它们计算有关事件的概率。13、了解求二维随机变量函数的分布的一般方法。14、会熟练地求随机变量及其函数的数

3、学期望和方差。会熟练地默写出几种重要随机变量的数学期望及方差。15、较熟练地求协方差与相关系数 .16、了解矩与协方差矩阵概念。会用独立正态随机变量线性组合性质解题。17、了解大数定理结论，会用中心极限定理解题。18、掌握总体、样本、简单随机样本、统计量及抽样分布概念，掌握样本均值与样本方差及样本矩概念，掌握2 分布 (及性质 )、t 分布、 F 分布及其分位点概念。19、理解正态总体样本均值与样本方差的抽样分布定理；会用矩估计方法来估计未知参数。20、掌握极大似然估计法，无偏性与有效性的判断方法。21、会求单正态总体均值与方差的置信区间。会求双正态总体均值与方差的置信区间。二、各章知识要点第

4、一章 随机事件与概率1事件的关系A B A B AB A B A AB2运算规则 (1) A B B A AB BA(AB) C A (B C) (AB)C A(BC)(AB)C (AC) (BC) (AB) C (A C)(B C)( 4) A B AB AB A B3概率 P(A) 满足的三条公理及性质：(1) 0 P(A) 1 (2) P( ) 1 nn( 3)对互不相容的事件 A1,A2, ,An，有 P( Ak)P(Ak) ( n 可以取 )k 1 k 14) P( ) 0(5) P(A) 1 P(A)P(A B) P(A) P(AB)，若 A B，则P(B A) P(B) P(A)

5、，P(A) P(B)P(A B) P(A) P(B) P(AB)P(A B C) P(A) P(B) P(C) P(AB) P(AC) P(BC) P(ABC) 4古典概型：基本事件有限且等可能5几何概率6条件概率(1)定义：若 P(B) 0，则 P(A|B) P(AB)P(B)(2)乘法公式： P(AB) P(B)P(A| B)若 B1,B2, Bn 为完备事件组， P(Bi) 0，则有n(3)全概率公式： P(A)P(Bi)P(A| Bi)i1P(Bk )P(A|Bk )(4)Bayes 公式： P(Bk | A) n k kP(Bi )P(A|Bi)i17事件的独立性： A, B 独立

6、P(AB) P(A)P(B) (注意独立性的应用)第二章 随机变量与概率分布1 离散随机变量：取有限或可列个值， P(X xi) pi满足(1) pi 0 ，(2)pi =1i( 3)对任意 D R ， P(X D)pii:xi D2 连续随机变量：具有概率密度函数 f (x) ，满足( 1) f (x) 0, f(x)dx 1；-bP(a X b)f (x)dx ；(3)对任意 a R，P(X a) 0a3 几个常用随机变量名称与记号分布列或密度数学期望方差两点分布 B(1,p)P(X 1) p， P(X 0) q 1 pppq二项式分布 B(n, p)P(X k) Cnkpkqn k,k

7、0,1,2, n，npnpqPoisson 分布 P( )kP(X k) e ,k 0,1,2, k!均匀分布 U (a,b)1f (x) , a x b ， baab2(b a)212指数分布 E( )f (x) e x , x 0112正态分布 N( , 2 )1 (x )2f (x) 1 e 2 224 分布函数 F(x) P(X x) ，具有以下性质1) F() 0, F( ) 1；(2)单调非降；(3)右连续；P(a X b) F(b) F(a)，特别 P(X a) 1 F(a)； (5)对离散随机变量， F(x)pi ；i:xi x x(6)对连续随机变量， F(x) f (t)d

8、t 为连续函数，且在 f(x) 连续点上， F (x) f (x)5 正态分布的概率计算 以 (x) 记标准正态分布 N (0,1) 的分布函数，则有 2x(1) (0) 0.5；(2) ( x) 1(x)；(3)若 X N( , 2)，则 F(x) ( )；(4 )以 u 记标准正态分布 N(0,1) 的上侧 分位数，则 P(X u ) 1 (u )6 随机变量的函数 Y g(X)(1 )离散时，求 Y 的值，将相同的概率相加；(2)X 连续， g(x) 在 X 的取值范围内严格单调， 且有一阶连续导数， 则 fY(y) fX (g 1( y) |(g 1(y) |， 若不单调，先求分布函数

9、，再求导。第四章 随机变量的数字特征1期望(1) 离散时 E(X)xi pi ，E(g(X)g(xi)pi ；(2) 连续时 E(X) xf (x)dx ， E(g(X) g(x)f (x)dx；二维时 E(g(X,Y)g(xi,yj )pij ，E(g(X,Y)g(x,y) f (x,y)dxdyi, j(4) E(C) C ；(5)E(CX) CE(X)；(6) E(X Y) E(X) E(Y) ；(7) X,Y 独立时， E(XY) E(X)E(Y)2方差方差 D(X) E(X E(X)2 E(X 2) ( EX )2 ，标准差 (X) D(X) ；D(C) 0, D(X C) D(X)

10、；2(3) D(CX) C2D(X) ；X,Y 独立时， D(X Y) D(X) D(Y)3协方差(1) Cov(X,Y) E( X E(X)(Y E(Y) E(XY) E(X)E(Y)；(2) Cov(X,Y) Cov(Y, X ), Cov(aX,bY) abCov( X ,Y ) ；Cov(X1 X2,Y) Cov(X1,Y) Cov(X2,Y) ；(4) Cov(X,Y) 0时，称 X,Y 不相关，独立不相关，反之不成立，但正态时等价；D(X Y) D(X) D(Y) 2Cov(X,Y)4相关系数 XY Cov(X,Y) ；有 | XY | 1， | XY | 1 a,b, P(Y a

11、X b) 1 (X) (Y)5 k 阶原点矩 k E(Xk)， k 阶中心矩 k E(X E(X)k第五章 大数定律与中心极限定理1 Chebyshev 不等式 P| X E(X) | D(2X) 或 P| X E(X) | 1 D(X2 ) 222大数定律3中心极限定理n(1)设随机变量 X1, X2, ,Xn独立同分布 E(Xi ), D(Xi) 2 ，则 Xi N(n ,n 2)，1 n 2 或 1 Xi 近似N( , )n i 1 i 近似 nnX i n或 i 1 n近似 N(0,1)，(2)设m是n 次独立重复试验中A发生的次数， P(A) p ，则对任意 x ，有lim Pm n

12、p x(x)或n npqi14 / 8近似理解为若 X B(n, p) ，则 X N (np, npq) 近似第六章 样本及抽样分布1总体、样本(1)简单随机样本：即独立同分布于总体的分布(注意样本分布的求法)(2)样本数字特征：样本均值X 1 Xi ni12E(X) ， D(X) )；2样本方差 S2(XiX)2E(S ) )样本标准差 S(Xi X)1 n k样本 k 阶原点矩 kX ik ，样本 k 阶中心矩ni11nk 1 (Xi X)kni12统计量：样本的函数且不包含任何未知数3三个常用分布(注意它们的密度函数形状及分位点定义)21)分布2 X12 X 22Xn2 22(n) ，其

13、中 X1,X2, ,Xn 独立同分布于标准正态分布N(0,1) ，若 X 2(n1),Y 2(n2) 且独立，则 X Y 2(n1 n2)；X22)t分布 tt(n)，其中 X N (0,1), Y 2 (n)且独立；Y /n3) F 分 布 FX /n12 21 F(n1,n2) ，其中 X 2(n1),Y 2(n2) 且独立，有下面的性质Y /n21F F(n2 ,n1),F1 (n1,n2)1F (n2,n1)n4正态总体的抽样分布1)X N( ,/n) ；n(Xi) 22(n)；3)2(n 1)S22 2(n 1) 且与 X 独立；4)tX t(n 1) ；S/ n5)t (X Y)

14、( 12) n1n2tn1 n2t(n1 n22)， S2 (n1 1)S12 (n2 1)S22n1 n2 2S2 / 26)F SS122 / 122 F(n1 1,n2 1)第七章 参数估计1矩估计：( 1)根据参数个数求总体的矩； (2)令总体的矩等于样本的矩； (3)解方程求出矩估计2极大似然估计：( 1)写出极大似然函数； ( 2)求对数极大似然函数( 3)求导数或偏导数；(4)令导数或偏导数为 0，解出极大似然估计(如无 解回到( 1)直接求最大值，一般为 minxi 或max xi )3估计量的评选原则无偏性：若 E( ?)，则为无偏； (2) 有效性：两个无偏估计中方差小的有

15、效；4参数的区间估计(正态)参数条件估计函数置信区间2已知x u / nx u 2n2未知t s/ nsx t (n 1) 2n2未知2 (n 1)s2222 (n 1)s2 , (n 1)s2 2 (n 1), 12 (n 1) 22三、概率论部分必须要掌握的内容以及题型1概率的基本性质、条件概率、加法、乘法公式的应用；掌握事件独立性的概念及性质。如对于事件 A，B， A或B ，已知 P(A)，P(B)，P(AB)，P(A B)，P(A|B)，P(B|A)以及换为 A或B 之中的几个，求另外几 个。例：事件 A与 B相互独立，且 P(A)=0.5，P(B)=0.6，求：P(AB)，P(AB)

16、，P(A B)例：若 P(A)=0.4，P(B)=0.7，P(AB)=0.3，求： P(AB)，P(A B)， P(A|B)，P(A|B)， P(A|B) 课本上 P19，例 5； P26，第 14，24 题。2准确地选择和运用全概率公式与贝叶斯公式。若已知导致事件 A 发生(或者是能与事件 A同时发生 )的几个互斥的事件 B i，i=1,2,n,的概率 P(B i) ，以及 B i 发生的条件下事 件 A发生的条件概率 P(A|B i)，求事件 A发生的概率 P(A)以及 A 发生的条件下事件 B i 发生的条件概率 P(B i| A)。 例：玻璃杯成箱出售，每箱 20只。假设各箱含 0、1

17、、2只残次品的概率相应为 0.8、0.1和 0.1，某顾客欲购买一箱玻璃杯，在 购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机地察看 4 只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回。试求： ( 1)顾客买下该箱 的概率；(2)在顾客买下的该箱中，没有残次品的概率。课本上 P26，第 24 题 3一维、二维离散型随机变量的分布律，连续型随机变量的密度函数性质的运用。分布中待定参数的确定，分布律、密度函数 与分布函数的关系，联合分布与边缘分布、条件分布的关系，求数学期望、方差、协方差、相关系数，求函数的分布律、密度 函数及期望和方差。(1)已知一维离散型随机变量 X 的分布律 P(X=xi)=pi，i=1,

18、2,n,确定参数 求概率 P(aXb) 求分布函数 F(x) 求期望 E(X)，方差 D(X) 求函数 Y=g(X)的分布律及期望 Eg(X) 课本上 P39，例 1； P50，例 1；P59，第 33 题； P114，第 6、8 题； 例 ：随机变量 X 的分布律为 .X1234pk2k3k4k确定参数 k求概率 P(0 X3)， P1 X 3 求分布函数 F(x)求期望 E(X)，方差 D(X) 22求函数 Y (X 3) 的分布律及期望 E(X 3)已知一维连续型随机变量 X 的密度函数 f(x)kx0 x2其他确定参数 求概率 P(aXb) 求分布函数 F(x) 求期望 E(X)，方差

19、 D(X) 求函数 Y=g(X)的密度函数及期望 Eg(X) P43，例 1；P51，例 2；P53，例 5；P59，第 36、37题；P114，第 9 题；例 ：已知随机变量 X 的概率密度为 f x确定参数 k 求概率 P1 X 3 求分布函数 F(x) 求期望 E(X)，方差 D(X) 求函数 Y X 的密度及期望 E( X )已知二维离散型随机变量 (X，Y)的联合分布律 P(X=xi，Y=yj)=pij，i=1,2,m,；j=1,2,n, 确定参数 求概率 P( X,Y) G求边缘分布律 P(X=xi)=pi.， i=1,2,m,；P(Y=yj)=p.j， j=1,2,n, 求条件分

20、布律 P(X=xi|Y=yj)，i=1,2,m,和 P(Y=yj|X=xi)， j=1,2,n, 求期望 E(X)，E(Y)，方差 D(X)， D(Y)求协方差 cov(X,Y)，相关系数 XY ，判断是否不相关求函数 Z=g(X, Y)的分布律及期望 Eg(X, Y)X Y012300.050.10.150.210.030.050.050.0720.020.050.10.13课本 P65，例 1；P88，第 36题； P115，第 14题； P116，第 22 题； 例 ：已知随机变量 (X,Y) 的联合分布律为求概率 P(XY)， P(X=Y)求边缘分布律 P(X=k) k=0,1,2 和

21、 P(Y=k) k=0,1,2,3 求条件分布律 P(X=k|Y=2) k=0,1,2 和 P(Y=k|X=1) k=0,1,2,3 求期望 E(X)，E(Y)，方差 D(X)， D(Y)求协方差 cov(X,Y)，相关系数 XY ，判断是否不相关 求 Z=X+Y，W=maxX，Y，V=min X，Y的分布律已知二维连续型随机变量 X 的联合密度函数 f(x, y) 确定参数 求概率 P( X,Y) G求边缘密度 fX (x) ， fY(y)，判断 X,Y 是否相互独立求条件密度 fX|Y(x| y)， fY|X(y|x)求期望 E(X)，E(Y)，方差 D(X)， D(Y)求协方差 cov(X,Y)，相关系数 XY ，判断是否不相关求函数 Z=g(X, Y)的密度函数及期望 E g(X, Y)课本上 P63，例 2； P66，例 2，P72，例 4；P84，第 3 题；P85，第 7 题； P87，第 22题； P117，第 31题； 22cx y, x y 1 例 ：已知二维随机变量 (X，Y)的概率密度为 f (x, y) ，0, 其它 确定常数 c 的值； 求概率 P(XY)求边缘密度 fX (x) ， fY(y)， 判断 X,Y 是否相互独立求条件密度 fX|Y(x| y)， fY|X(y|x) 求期望 E(X)，E(Y)，方差 D(