高中物理奥赛辅导参考资料之机械能守恒

1、本章题头chapter 3mechanical energyconservation of mechanical energy第三章机械能机械能机械能机械能机械能守恒机械能守恒机械能守恒机械能守恒内容提要本章内容Contentschapter 3功与动能work and kinetic energy保守力与势能conservative force and potential energy机械能守恒定律principle of conservation of mechanical energy碰撞collision第一节3 - 1ssss功与动能work and kinetic energy一、

2、变力的功the work of changeable forces力的元功在力 作用下，F质点运动路程为位移矢量为r21XYOrrqrFsPrdFcosqAdhFrd作用于P点的F力 的元功为且dsrd考虑无限靠近P点时dssrrd功是标量q2p为负q2p为正q2p为零，。提到功须指明是某力的功。功可叠加。（如积分、变力、多力的功）功与动能work and kinetic energy质点系动能定理二、动能定理theorem of kinetic energy质点的动能定理theorem of kinetic energy of particle对单个质点力对质点所做的功 质点动能的增量。动能

3、定理的表述：AkEkE0DkE下面作一简要证明证明证明1m2mm3v1v2v3内力做功外力做功外力做功外力做功+1m122v1A12A01m122v102mv21222mv2122. . . . .SiASm122v0m122viiiiSAkE0kEA内A外系统终态总动能系统初态总动能系统动能的增量，等于作用在系统中各质点的力所做的功的代数和。AA内+A外kE0kEDkE随堂练习一三、随堂练习practice on the classhA3dxvtd2tkm2td力 的功xFdxxF100tk2tkm2td100tk22mtd8mk2()J1042.25 107xFmdvdtdvtkmdtdv

4、tkmdt0t0vv2tkm2vdxtd解法提要已知求m启动牵引力从0到10秒，xFtk若不计阻力。v0t00力 的功。xF练习一= 2 吨( = 6103 N/s )kX功的概念与特点力（功）与状态（动能）及系统（质点系）的分析注意：练习二阿特伍德机求重力加速度轻滑轮1m2m22m0kgh01m1kgh细绳xXO0m3hsv11h0m3h4从静态释放测得解法提要：系统：2m1m,滑轮 细绳h轻滑轮及细绳的质量均忽略；不计阻力。该系统内力做功代数和为零。外力做功2m1mxgxg12mv212mv212+0系统的动能增量g12mv212mv212+x()1m2ms()m22489.练习二练习三已

5、知解法提要：m0215.1kg()X0X0阻力与深度成正比阻力与深度成正比xFbxFbb5.01051mN.b5.01051mN.dd终止深度终止深度v0m2()00.1s求dx质点在 方向仅受阻力，其余方向合力为零。运用质点动能定理b0阻力做的功质点动能的增量0ddxx12mv2012bd212mv20dmbv0505.15.20101)m(20035.201练习三第二节保守力与势能保守力与势能3 - 2ssssconservative force and potential energy 保守力做功的大小，只与运动物体的始 末位置有关，与路径无关。特点：如 重力 万有引力 弹性力 非保守力

6、做功的大小，不仅与物体的始 末位置有关，而且还与物体的运动路径有关。特点：如 摩擦力 粘滞力 流体阻力 保守力保守力conservative force 非保守力非保守力non-conservative force 保守力与势能保守力与势能conservative force and potential energy保守力的功：一、保守力的功the work of conservative force及其做功的共同特点下面将进一步讨论几种常见的保守力重力的功the work of gravity万有引力的功the work of universal gravitational force弹力的

7、功the work of elastic force重力的功brmgF重krabaYXOZkkjjiihAd质点 在重力作用下发生元位移 ，重力的元功mrdgmkrdgmzdab)在任一弧段,重力所做的功AAdab)azbzgmzd()gmazbzgm给定，重力的功只与质点的始 末位置 有关。azbz重力的功重力的功the work of gravity引力的功MMF引qpqmrdrdrdcos()pqrF引2rmGMhAdF引rdF引rdcosqF引rdcos()pqF引rd2rmGMrd gravitational forcethe work of universal 万有引力的功万有引力

8、的功续引力功r万有引力的元功Ad2rmGMrd为两质点的距离负号表示若距离变大rd()0万有引力做负功；反之做正功。在万有引力作用下，质点 沿任一弧段 运动，mab)万有引力所做的功AAd2rmGMrdab)rbar1()mGMar1()mGMrbmGM给定，万有引力的功只与两质点间的始 末距离 有关。rbarMMF引qpqmrdrdrdcos()pqrF引2rmGMAdhF引rdF引rdcosqF引rdcos()pqF引rd2rmGMrdbrbara gravitational forcethe work of universal 万有引力的功万有引力的功弹力的功水平光滑表面弹簧劲度k质点X

9、O弹簧无形变位置x弹FFdxbxbxaa质点位于 时所受的弹性力x弹FFikx为X轴正向单位矢量，负号表示 时受力沿X负向；反之沿X正向。ix0质点位置变化 ，弹性力所做的元功xdAhd弹FF()xdiikx()h()xdikxxdxabx从 运动到 弹性力所做的功abAAdabkxxd得A12kxa212kbx2给定，只与始 末位置 有关。kxabx弹性力的功弹性力的功the work of elastic force保守力功小结保守力的功只取决于受力质点的始、末位置，而与路径无关。.0drF保亦即沿任意闭合路径，保守力对质点所做的功为零亦即非保守力沿闭合路径作功不为零.0drF保非保守力的

10、功小结AFbadrh重力的功重力的功万有引力的功万有引力的功弹性力的功弹性力的功AgmazbzgmAmGM(1ar)rbmGM()12kxa2bx2A12k1势能概念保守力的功EpaAFbadrhbEp初态势能末态势能保守力做正功，物体系的势能减少；保守力做负功，物体系的势能增加。通常写成保守力的功EpaAFbadrhbEp初态势能末态势能Ep系统势能增量的负值二、势 能potential energy若物体间的相互作用力为 保守力，保守力由物体间 相对位置 决定的能量，称为 物体系的 势能（或位能）。相对位置物体系的势能的概念势能性质Mm任意路径a物体系或质点系F保守力mb零势能点mM相对于

11、处于 点位置时系统所具有的势能，a等于将m从a点沿任意路径移到势能零点，保守力所做的功。势能的性质势能是物体系中物体间相对位置配置状态参量的单值函数。势能属物体系所共有；势能是相对量，与势能零点选择有关。保守性只有在保守力场中才有；系统性相对性若选 点为零势能点EpaadrhF零势能点Epb0则，badrhFb势能曲线为势能零点重力势能重力势能选地面0bzEpb0dzEpgmaz0gmazgmh：离地面高度hEphEpgmhO万有引力势能万有引力势能8为势能零点Epb0选rb2Epr8mGMdrr1mGMrOEprEp1mGMr弹性势能弹性势能为势能零点Epb00选无形变处bxEpkxdxx0

12、12kx2EpxOEp12kx2几种常见保守力的势能与势能曲线势能力势关系 势能是标量，保守力是矢量。两者之间是否存在某种普遍的空间关系？ 势能曲线的斜率对应任一位置 处xxd0,dEp0 xd0,dEp0 xd0,dEp0 xd0,dEp0()dEpxd0(FxdEpxd(0()dEpxd0(FxdEpxd(0沿X正向沿X反向XOxxFxFxEpdEpxdFx)(FxdEpxd先看一维弹性势能保守力与势能的关系普遍关系三维空间中某质点在保守力 作用下势能发生微变rhFdEp()xyz,FdEp()xyz,d)Fxdx+zFyF+dydz(eeEpxdx+eeEpydy+eeEpzdz对 比,

13、FxeeEpxyFeeEpyzFeeEpzFiFx+jyF+kzFeeEpxieeEpyjeeEpzkEp其中为梯度算符eexiyjzk+eeee+Ep称为势能梯度结论：保守力等于势能梯度的负值。保守力与势能的普遍关系随堂小议随堂小议卫星在A，B两点处（请点击你要选择的项目）a的势能差为上图中，AB卫星地球质量m质量M近地点远地点Or2r1结束选择（1）r2mMGr1r1r2（2）r2mMGr1r1r2（3）r2mMGr1r1（4）r2mMGr1r2选项1链接答案结束选择随堂小议卫星在A，B两点处（请点击你要选择的项目）a的势能差为上图中，AB卫星地球质量m质量M近地点远地点Or2r1（1）r

14、2mMGr1r1r2（2）r2mMGr1r1r2（3）r2mMGr1r1（4）r2mMGr1r2选项2链接答案结束选择随堂小议卫星在A，B两点处（请点击你要选择的项目）的势能差为上图中，AB卫星地球质量m质量M近地点远地点Or2r1（1）r2mMGr1r1r2（2）r2mMGr1r1r2a（3）r2mMGr1r1（4）r2mMGr1r2选项3链接答案结束选择随堂小议卫星在A，B两点处（请点击你要选择的项目）a的势能差为上图中，AB卫星地球质量m质量M近地点远地点Or2r1（1）r2mMGr1r1r2（2）r2mMGr1r1r2（3）r2mMGr1r1（4）r2mMGr1r2选项4链接答案结束选

15、择随堂小议卫星在A，B两点处（请点击你要选择的项目）a的势能差为上图中，AB卫星地球质量m质量M近地点远地点Or2r1（1）r2mMGr1r1r2（2）r2mMGr1r1r2（3）r2mMGr1r1（4）r2mMGr1r2第三节 机械能机械能守恒定律机械能守恒定律3 - 3ssssprinciple of conservationof mechanical energy一、机械能mechanical energy某一力学系统的 机械能是该系统的 动能 与 势能 之 和Ek+pEE系统的机械能系统的动 能系统的势 能即在一般情况下，系统的机械能并不保持恒定。系统机械能发生变化的外因：系统外各种形

16、式的力对系统做功，简称A外内因：系统内存在非保守力做功（如摩擦消耗），简称A非保内只有在一定条件下，系统的机械能才能保持恒定。principle of conservation of mechanical energy机械能守恒定律机械能守恒定律守恒条件与结果二、机械能守恒定律principle of conservation of mechanical energy守恒条件与结果提要若+A外A非保内0即外力和非保守内力不做功，或其总功为零时，条 件：E结 果：系统的机械能 保持恒定，若用 表示此过程中系统机的械能用 表过程中某时刻系统的机械能E0E则EE0或EDEE00即 系统机械能不变此结

17、果既是大量观测的总结和归纳，还可从动能定理和势能概念推演出来 ：守恒定律推演各种可能形式的外力对系统做功A外系统内的保守力做功系统内的非保守力做功A保内A非保内+AA外A保内+A非保内A外+A非保内Ek+pE()0Ek+0Ep()EE0末态机械能E初态机械能E0机械能守恒定律（推演及文字表述）动能定理Ek0Ek：势能概念()pE0Ep：续推演各种可能形式的外力对系统做功A外系统内的保守力做功系统内的非保守力做功A保内A非保内+AA外A保内+A非保内A外+A非保内Ek+pE()0Ek+0Ep()EE0末态机械能E初态机械能E0机械能守恒定律（推演及文字表述）动能定理Ek0Ek：势能概念()pE0

18、Ep： 若某一过程中外力和非保守内力都不对系统做功，或这两种力对系统做功的代数和为零，则系统的机械能在该过程中保持不变。机械能守恒定律若A外A非保内+0及0或A外A非保内0Ek+pE0Ek+0Ep则常量即EE00或EDEE0各种可能形式的外力对系统做功A外系统内的保守力做功系统内的非保守力做功A保内A非保内+AA外A保内+A非保内动能定理()Ek0EkpE势能概念0EpA外+A非保内EE0Ek+pE()0Ek+0Ep()末态机械能E初态机械能E0随堂练习一：三、随堂练习机械能守恒定律的应用用守恒定律求运动参量（ x, v, a ）和力（F ），一般较简便，注意掌握。用守恒定律求解有条件+A外A

19、非保内0基本方法和步骤：分析条件选系统；根据过程状态算功能；应用定律列、解方程。第二宇宙速度用机械能守恒定律求第二宇宙速度机械能守恒21mv21GRMm0v2GMR2R2GM()Rg2R2hms31110h1MRv8mm脱离地球引力地面附近rEk021mv2pE0GMm1R0EkpE0E0E练习一系统：()RM地球,质点m条件：不考虑空气阻力及系统外力解法提要光滑半球面O练习二hQhQ球面任意点 P 处由静止开始释放证明：hPhPhQhQ-13-hPhP练习二Q滚至 Q 点处开始切向脱离球面hPhPPm续练习二光滑半球面OhQhQ球面任意点 P 处由静止开始释放证明：hPhPhQhQ-13-h

20、PhP练习二Q滚至 Q 点处开始切向脱离球面hPhPPmRv练习二光半滑球面mhPhPhQhQP球面任意点 P 处由静止开始释放Q滚至 Q 点处开始切向脱离球面证 明：hPQhQ-13-hPO解法提要取系统：地球，质点。内力：重力。外力：支撑力，但不做功。故 在 P Q 过程中机械能守恒QhQmhPgmg+12mv2 (1)在 Q 点处脱离球面时，质点动力学方程为 (2)mv2cosmgqR (4) (3)由 (1) 得QhQhPg2v2由 (2) 得gv2RcosqQhQ (5)由 (3)(4) 得12QhQhPQhQ、即QhQ2hP3 (6)由 (5)、(6) 得1QhQhP12.2hP3

21、hP3第三宇宙速度从地球发送 脱离太阳引力所需最小初动能mm212vm21v2+m21vse2vv2+vse2第三宇宙速度1hms7360h11附一：第三宇宙速度从地球发射质点脱离太阳引力所需最小速度m21v2v(第二宇宙速度)脱离地球引力需初动能从 仅脱离太阳引力需初动能rsem21v2se(vseG2Msrse)利用地球公转速度ve同向发射,vsevevseG2MeRe受益后的系统：()RM地球,质点m条件：不考虑空气阻力及系统外力太阳,eMserse地球公转轨道公转速度ve日地距earthsunsunm经典黑洞附二：“黑洞”的牛顿力学浅释某恒星质量为 半径为 。欲摆脱该恒星的引力，质点

22、的逃逸速度 应满足mvRMG21mv2MmR得v22GMR若此恒星的密度很大，以至于 vcR2GM2c为光速则逃逸速度c这意味着连光也逃不脱如此高密度的天体的引力，成为“黑洞”黑洞新证据 据美联社 2 0 0 4 年 2月19 日报道，欧洲和美国天文学家宣布，他们借助 X 射线太空望远镜，在一个距地球大约 7 亿光年的星系中观测到了耀眼的 X 射线爆发。这一强大的X射线爆发是黑洞撕裂恒星的确凿证据。黑洞撕裂恒星恒星被“ 四分五裂 ”恒星被“ 四分五裂 ”天文学家首次观测到 据天文学家的描述，他们在代号为“RX-J1242-11”的星系中央地带观测到了这场“生死决斗”。黑洞的质量约为太阳质量的一

23、亿倍，而该恒星与太阳的质量差不多。摘自人民日报和平号有控坠落“和平号”空间站的有控坠落“和平号”空间站的有控坠落v2MrGerGMe空间站椭圆轨道的扁率，与运行间站在近地点时到地心的距离为r速度 有关 。设地球质量为 空vMe 的取值范围是v逐步减小 ，并在预设位置达下限v开始坠落、烧毁、余烬落入安全区。，附三：附三：续和平号第一次逆向点火制动二第次逆向点火制动三第次逆向点火制动 空间站在椭圆轨道上运行，若近地点至地心的距离为 ，在该点的运动速率为 ，椭圆轨道的扁率与 的大小有关。 的取值范围是在运行中，若间歇向前喷发燃气（逆向点火制动）减小运行速度，可逐步改变椭圆轨道扁率,进入预期的低轨道，

24、然后更精确地控制最后一次逆向点火制动时间和姿态，使 ，令其按预定地点落入稠密大气层坠毁。rvv2GMerGMervGMervv第四节 碰撞collision碰 撞3 - 4ssss特点：两个或多个物体相互作用且作用时间极短。形变后能完全复原并弹开。形变后不能完全复原，但能弹开。形变后完全无恢复阶段，不能弹开。完全弹性碰撞perfect elastic collision完全非弹性碰撞perfect inelastic collision非弹性碰撞 inelastic collision碰撞问题的基本物理模型两孤立球体正碰（即对心碰撞，碰撞前后两球速度共线）2mu12u2m2m碰前碰（形变-恢复

25、）碰后v2v1m1m1m1碰 撞碰 撞collision碰撞系统的动量判断碰撞过程系统的动量或机械能是否守恒的依据仍为SF0+A外或F内F外系统动量守恒若若S外A内非保0系统机械能守恒机械能是否守恒则要根据具体条件进行分析。完全弹性碰撞，因孤立系统不考虑外力，动量守恒。其内力为弹性力（保守力）做功。对心正碰，碰后系统弹性势能完全恢复到无形变的初态，系统机械能守恒，且动能守恒。对于两孤立球体正碰，不论完全弹性、完全非弹性或非弹性碰撞，在对心连线方向，系统动量均守恒。对心连线上投影式m2u2m1u1+m1v1m2v2+完全弹性碰撞一、完全弹性碰撞perfect elastic collision2

26、m碰后m1u12u碰前v1v2碰撞前后系统总动量守恒连心方向透影式m2u2m1u1+m1v1m2v2+m2u2m1u1+m1v1m2v2+续全弹碰一、完全弹性碰撞perfect elastic collision2m碰后m1u12u碰前碰撞前后系统总动量守恒连心方向透影式v1v2m2u2m1u1+m1v1m2v2+m2u2m1u1+m1v1m2v2+对心正碰时，系统动能守恒+m11222m1222m2u122m1u1122v1v2全弹碰速度公式m2u2m1u1+m1v1m2v2+(1)212m1v1+212m2v2212m1u1212m2u2(2)m2(1)由得u1m1v1v2u2()(3)u

27、1m1m2v1v2u2()(2)由得2222(4)(3)(4)得u1v1v2u2+即v1v2u2u1(5)(3)由得(5)和v1u2)(m2m1u1+2m2m2m(1)+u1)(m1m2u2+2m1m2m(1)+v2公式讨论碰后两球分离速度碰前两球接近速度v1u2)(m2m1u1+2m2m2m(1)+u1)(m1m2u2+2m1m2m(1)+v2v2u2u1v1归纳上述推导结果2mm1若速度交换讨论：1212u11212u12uv1v2v221u1212mm12121u12mm1若2mm1且2u0()m12mu1m12m+,v1m1m12m+u12v2v1v2v1完全非弹性碰撞二、完全非弹性碰撞perfect inelastic collision对孤立系统不考虑外力，动量守恒。碰撞只形变不恢复，已远超弹性限度，含非保守内力做功，机械能不守恒，动能有损失。碰后连体同速v12vv由动量守恒u1v12v2um12m+m1+2m()得vm1u1+2m2u(m1+2m)碰撞前后能量变化Ek-0EkEk21(m1+2m)v2-21(m1u12+212m2u2)0()-m12m(u1-2u)22(m1+2m)损失随堂练习