人教版高数选修2-2第7讲直接证明与间接证明(教师版)

1、直接证明与间接证明(1)了解直接证明的一种基本方法综合法、分析法；(2)了解间接证明的一种基本方法反证法；(3)了解综合法、分析法、反证法的思考过程与特点,会用综合法、分析法、反证法证明数学问题.类型一、直接证明：一.综合法1.定义：从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.2.思维特点：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法3.框图表示：(P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等,Q表示要证明的结论)PQ(QQ)QQ.QQ11223n二.分析法1.定义：一般地,从要证明的结论出发,逐步寻求

2、使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判断一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止,这种证明方法叫做分析法.2.思维特点：执果索因步步寻求上一步成立的充分条件，它与综合法是对立统一的两种方法3.框图表示：(用Q表示要证明的结论,Pn表示充分条件)QP(PP).(P112n14.分析法的书写格式：P)PPnn要证：例3求证:3725只要证：只需证：显然成立上述各步均可逆所以,结论成立证明：因为37和25都是正数，所以要证3725只需证(37)2(25)2展开得1022120只需证215,只需证2125因为2125显然成立，所以31725类型二、反证法：反证法：假设命题结

3、论不成立（即命题结论的反面成立），经过正确的推理,引出矛盾，因此说明假设错误,从而证明原命题成立,这样的的证明方法叫反证法。（2）反证法的一般步骤：；a、反设：假设命题结论不成立（即假设结论的反面成立）b、归缪：从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；c、下结论：由矛盾判定假设不成立，从而肯定命题成立。（3）应用反证法的情形：直接证明困难;需分成很多类进行讨论结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个”-类命题；结论为“唯一”类命题；（4）关键在于归缪矛盾：a、与已知条件矛盾；b、与公理、定理、定义矛盾；c、自相矛盾。题型一综合法：例1已知a,b,c是不全相等的正数，求证：lgabbccalglglg

4、algblgc222故lgab.eqoac(,3)证明：a,b,cRabbccaab,bc,ca,222ab1lglgab(lgalgb),22bc1lglgbc(lgblgc),22ca1lglgca(lgclga),22以上三式相加，且注意到a,b,c不全相等，bccalglglgalgblgc222总结：本题主要综合运用基本不等式以及对数的运算性质来证明.例2在ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b，c,且A,B,C成等差数列,a,b，c成等比数列,求证ABC为等边三角形.证明：由A,B,C成等差数列，有2B=A+Ceqoac(,1)因为A,B,C为ABC的内角，所以A+B+C=

5、eqoac(,)2由，得B=3由a,b，c成等比数列，有b2ac.eqoac(,4)2由余弦定理及，可得b2a2c22accosBa2c2ac.再由，得a2c2acac.(ac)20,因此ac.从而A=C.eqoac(,5)由，得A=B=C=3.所以ABC为等边三角形总结:解决数学问题时，往往要先作语言的转换，如把文字语言转换成符号语言，或把符号语言转换成图形语言等还要通过细致的分析，把其中的隐含条件明确表示出来练习：1、在ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且A,B,C成等差数列,a,b,c成等比数列,求证ABC为等边三角形.分析：将A,B,C成等差数列，转化为符号语言就是2

6、B=A+C;A,B,C为ABC的内角，这是一个隐含条件，明确表示出来是A+B+C=；a,b，c成等比数列，转化为符号语言就是b2ac此时，如果能把角和边统一起来，那么就可以进一步寻找角和边之间的关系，进而判断三角形的形状，余弦定理正好满足要求于是，可以用余弦定理为工具进行证明证明：由A,B,C成等差数列，有2B=A+C因为A,B,C为ABC的内角，所以A+B+C=由，得B=3.由a,b，c成等比数列，有b2ac.由余弦定理及，可得b2a2c22accosBa2c2ac.再由，得a2c2acac.(ac)20,因此ac.从而A=C.由，得A=B=C=3.所以ABC为等边三角形解决数学问题时，往往

7、要先作语言的转换，如把文字语言转换成符号语言，或把符号语言转换成图形语言等还要通过细致的分析，把其中的隐含条件明确表示出来2、已知a,bR,求证aabbabba.本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。证明：1)差值比较法：注意到要证的不等式关于a,b对称，不妨设ab0.ab0aabbabbaabbb(aabbab)0，从而原不等式得证。2）商值比较法：设ab0,a1,ab0,baabba()ab1.故原不等式得证。abbab注：比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。用比较法证明不等式的步骤是：作差（或作商）、变形、判断符号。讨论：若题设中去掉x1这一限制条件，要求证的结论如何

8、变换？3题型二分析法：例2若a,b,c是不全相等的正数，求证：lgabbcca+lg+lglga+lgb+lgc。222证明：要证lgabbcca+lg+lglga+lgb+lgc，222abbcca只需证lglg（abc），222abbcca只需证abc。222但是，abbccaab0，bc0，ac0。222abbcca且上述三式中的等号不全成立，所以，abc。222abbcca因此lg+lg+lglga+lgb+lgc。222分析：从定不等式不易发现证明的出发点，因此我们直接从待证不等式出发，分析其成立的重要条件练习:在锐角ABC中,求证:tanAtanB1证明:要证明tanAtanB1只

9、需证sinAsinBcosAcosB1a2(2m1)24m24m12(2m22m)1，即a是奇数。所以，2不能整除a。这与已知“2能整除a”相矛盾。于是，“2不能整因为A、B为锐角,所以cosA0,cosB0只需证cosAcosBsinAsinB只需证cos(AB)0因为C为锐角,ABC为钝角所以cos(AB)0恒成立所以tanAtanB1题型三反证法：例1、已知a是整数，2能整除a2，求证：2能整除a.证明：假设命题的结论不成立，即“2不能整除a”。因为a是整数，故a是奇数，a可表示为2m+1（m为整数），则222除a”这个假设错误，故2能整除a.例2、在同一平面内，两条直线a，b都和直线c

10、垂直。求证：a与b平行。证明：假设命题的结论不成立，即“直线a与b相交”。设直线a，b的交点为M，4PMQ00a，c的交点为P，b，c的交点为Q，如图所示，则。这样eqoac(,)MPQ的内角和PMQMPQPQMPMQ9009001800。这与定理“三角形的内角和等于1800”相矛盾，这说明假设是错误的。所以直线a与b不相交，即a与b平行。例3、求证：2是无理数。证明：2不是无理数，即2是有理数，那么它就可以表示成两个整数之比，设2pq，p0，且p，q互素，则p2q。所以2p2q2.故q2是偶数，q也必然为偶数。设q=2k，代入式，则有2p24k2，即p22k2，所以p也为偶数。P和q都是偶数

11、，它们有公约数2，这与p，q互素相矛盾。因此，假设不成立，即“2是无理数”。练习：已知，a,b,c(0,1)，求证：(1a)b,(1b)c,(1c)a不能同时大于14。证法一：假设三式同时大于，即1ab，1bc，1ca11114444a,b,c0,1，三式同向相乘得1ab1bc1ca1，又641aa1aa，1cc2214，同理1bb11441ab1bc1ca164，这与假设矛盾，故原命题得证。证法二：假设三式同时大于14，0a11a0，1ab21ab11,42,三式相加得33同理证1bc11ca1,222222，这是矛盾的，故假设错误，所以原命题得51、已知a，b，c是不全相等的正数，求证：a

12、(b2c2)b(c2a2)c(a2b2)6abc证明：b2c22bc,a0,a(b2c2)2abc同理b(c2a2)2abcc(a2b2)2abc因为a，b，c不全相等，所以b2c22bc,c2a22ca,a2b22ab三式不能全取“=”号，从而、三式也不能全取“=”号a(b2c2)b(c2a2)c(a2b2)6abc2、已知a，b，c都是正数，且a，b，c成等比数列，求证：a2b2c2(abc)2证明：左右=2（ab+bcac）a，b，c成等比数列，b2ac又a，b，c都是正数，所以0bacacac2x1,从而(x1)20,且(x)20,acb2(abbcac)2(abbcb2)2b(acb

13、)0a2b2c2(abc)23、若实数x1，求证：3(1x2x4)(1xx2)2.证明：采用差值比较法：3(1x2x4)(1xx2)2=33x23x41x2x42x2x22x3=2(x4x3x1)=2(x1)2(x2x1)13=2(x1)2(x)2.241324132(x1)2(x)20,243(1x2x4)(1xx2)2.4、已知a,b,c,dR,求证:ac+bd(a2b2)(c2d2)分析一:用分析法证法一:(1)当ac+bd0时,显然成立(2)当ac+bd0时,欲证原不等式成立,只需证(ac+bd)2(a2+b2)(c2+d2)即证a2c2+2abcd+b2d2a2c2+a2d2+b2c

14、2+b2d2即证2abcdb2c2+a2d2即证0(bc-ad)2因为a,b,c,dR,所以上式恒成立,综合(1)、(2)可知:原不等式成立分析二:用综合法证法二:(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2=(a2c2+2abcd+b2d2)+(b2c2-2abcd+a2d2)6=(ac+bd)2+(bc-ad)2(ac+bd)2(a2b2)(c2d2)|ac+bd|ac+bd故命题得证分析三:用比较法证法三:(a2+b2)(c2+d2)-(ac+bd)2=(bc-ad)20,(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2(a2b2)(c2d2)|ac+bd|ac+bd

15、,即ac+bd(a2b2)(c2d2)5、设a、b是两个正实数，且ab，求证：a3+b3a2b+ab2证明：(用分析法思路书写)要证a3+b3a2b+ab2成立，只需证(a+b)(a2-ab+b2)ab(a+b)成立，即需证a2-ab+b2ab成立。(a+b0)只需证a2-2ab+b20成立，即需证(a-b)20成立。而由已知条件可知，ab，有a-b0，所以(a-b)20显然成立，由此命题得证。(以下用综合法思路书写)ab，a-b0，(a-b)20，即a2-2ab+b20亦即a2-ab+b2ab由题设条件知，a+b0，(a+b)(a2-ab+b2)(a+b)ab即a3+b3a2b+ab2，由此

16、命题得证._基础巩固一、选择题eqoac(,1)设ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若bcosCccosBasinA，则ABC的形状为()A锐角三角形C钝角三角形B直角三角形D不确定而sinA0，sinA1，A，所以eqoac(,)ABC是直角三角形答案B解析由正弦定理得sinBcosCsinCcosBsin2A，所以，sin(BC)sin2A，sinAsin2A，22已知x、y为正实数，则()7A2lgxlgy2lgx2lgyB2lg(xy)2lgx2lgyC2lgxlgy2lgx2lgyD2lg(xy)2lgx2lgy答案D解析2lg(xy)2(lgxlgy)2lgx2lgy

17、.3设a、bR，且ab，ab2，则必有()A1abBab1Cab1D1aba2b22a2b22a2b22a2b22解析ab22(ab)4设0 x1，则a2x，b1x，c中最大的一个是()答案Bab2a2b211xAaCcBbD不能确定1x1x1x点评可用特值法：取x，则a1，b，c2.答案C1x211x2解析因为bc(1x)0，所以b2x0，所以b1x2xa，所以abx0，且xy1，那么()Axy2xyB2xyxyCx2xyyDx2xyx0，且xy1，设y，x，则，2xy.所以有x2xy0，b0，mlgabab22解析因为(ab)2ab2abab0，所以ab，所以mn.解析b4答案mnab22

18、8设a2，b73，c62，则a、b、c的大小关系为_答案acb4，c，显然bc，7362而a22，c28212848c.也可用ac226860显然成立，即ac.9如果aabbabba，则实数a、b应满足的条件是_答案ab且a0，b0解析aabbabbaaabbabba0a(ab)b(ba)0(ab)(ab)0(ab)(ab)20只需ab且a，b都不小于零即可三、解答题10(2013华池一中高三期中)已知nN*，且n2，求证：1nnn1.证明要证1nn1，n即证1nnn1，只需证nn1n1，n2，只需证n(n1)(n1)2，只需证nn1，只需证01，最后一个不等式显然成立，故原结论成立一、选择题

19、11设函数f(x)的导函数为f(x)，对任意xR都有f(x)f(x)成立，则()A3f(ln2)2f(ln3)C3f(ln2)2f(ln3)B3f(ln2)0)，则F(x)，x0，lnxR，对任意xR都有f(x)f(x)，f(lnx)f(lnx)，F(x)0，F(x)为增函数，320，F(3)f(2)，即，答案Bflnxflnxflnxxx2fln3fln2323f(ln2)2f(ln3)33312要使abab成立，a、b应满足的条件是()AabbCab0且a0且abDab0且ab或ab0且ab解析333ababab3ab23a2bab.ab20时，有ba，即ba；当aba，即ba.13若两个

20、正实数x、y满足1，且不等式x0，y0，1，x(x)()2224，等号在y14yy14y4xxy44xy4xyy4x4xy4x，即x2，y8时成立，x的最小值为4，要使不等式m23mx有解，应有m23m4，yy44m4，故选B.14在f(m，n)中，m、n、f(m，n)N*，且对任意m、n都有：(1)f(1,1)1，(2)f(m，n1)f(m，n)2，(3)f(m1,1)2f(m,1)；给出下列三个结论：f(1,5)9；f(5,1)16；f(5,6)26；其中正确的结论个数是()个A3C1B2D0答案A解析f(m，n1)f(m，n)2，f(m，n)组成首项为f(m,1)，公差为2的等差数列，f

21、(m，n)f(m,1)2(n1)又f(1,1)1，f(1,5)f(1,1)2(51)9，又f(m1,1)2f(m,1)，f(m,1)构成首项为f(1,1)，公比为2的等比数列，f(m,1)f(1,1)2m12m1，f(5,1)25116，f(5,6)f(5,1)2(61)161026，都正确，故选A.10答案二、填空题15若sinsinsin0，coscoscos0，则cos()_.12解析由题意sinsinsincoscoscoscos().求证：.ambmcm只需证明0即可aambmcmambmcmaambmcm17求证：2cos().，两边同时平方相加得22sinsin2coscos12

22、cos()1，12三、解答题16已知a、b、c表示ABC的三边长，m0，abcambmcmabc证明要证明，abcambmcmbcabmcmbamcmcambm，a0，b0，c0，m0，(am)(bm)(cm)0，a(bm)(cm)b(am)(cm)c(am)(bm)abcabmacmam2abcabmbcmbm2abcbcmacmcm22abmam2abcbm2cm22abmabc(abc)m2，ABC中任意两边之和大于第三边，abc0，(abc)m20，2abmabc(abc)m20，bc.sin2sinsinsin证明要证明原等式成立即证明sin(2)2sincos()sin，11又因为

23、sin(2)2sincos()sin()2sincos()sin()coscos()sin2sincos()sin()coscos()sinsin()sin.所以原命题成立备用例题1：已知x,y,zR,a,b,cR求证：bccaabx2y2z22(xyyzzx)abc证明：由于x，y，zR，a，b，cR，则bccaabx2y2z2abcbccaabx2x2y2y2z2z2aabbccbacbac(x2y2)(y2z2)(z2x2)abbcca2xy2yz2zx2(xyyzzx)bccaab所以x2y2z22(xyyzzx).abc备用例题2:已知1tan2tan1，求证：cossin3(cos

24、sin)证明：要证cossin3(cossin)，只需证cossincossin3，只需证1tan1tan3，只需证1tan3(1tan)，只需证tan，121tan2tan1，1tan2tan，即2tan1.tan显然成立，结论得证12一、选择题1否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是()A有一个解B有两个解C至少有三个解D至少有两个解答案C解析在逻辑中“至多有n个”的否定是“至少有n1个”，所以“至多有两个解”的否定12为“至少有三个解”，故应选C.2否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时的正确反设为()Aa、b、c都是奇数Ba、b、c或都是奇数或至少有两个偶数Ca、b、c都是偶数D

25、a、b、c中至少有两个偶数答案B解析a，b，c三个数的奇、偶性有以下几种情况：全是奇数；有两个奇数，一个偶数；有一个奇数，两个偶数；三个偶数因为要否定，所以假设应为“全是奇数或至少有两个偶数”故应选B.3用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60”时，反设正确的是()A假设三内角都不大于60B假设三内角都大于60C假设三内角至多有一个大于60D假设三内角至多有两个大于60答案B解析“至少有一个不大于”的否定是“都大于60”故应选B.4用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax2bxc0(a0)有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是()A假设a，b，c都是偶

26、数B假设a、b，c都不是偶数C假设a，b，c至多有一个偶数D假设a，b，c至多有两个偶数答案B解析“至少有一个”反设词应为“没有一个”，也就是说本题应假设为a，b，c都不是偶数eqoac(,5)命题“ABC中，若AB，则ab”的结论的否定应该是()Aab”的否定应为“ab或a0，x11且xn1(n1,2)，试证“数列xn或者对任意正整数n都满9有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖”，乙说：“甲、丙都未获奖”，丙说：“我获奖了”，丁说：“是乙获奖了”，四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是()A甲B乙C丙D丁答案C解析因为只有一人获奖，

27、所以丙、丁只有一个说对了，同时甲、乙中只有一人说对了，假设乙说的对，这样丙就错了，丁就对了，也就是甲也对了，与甲错矛盾，所以乙说错了，从而知甲、丙对，所以丙为获奖歌手故应选C.xn(x2n3)23xn1足xnxn1”，当此题用反证法否定结论时，应为()A对任意的正整数n，都有xnxn1B存在正整数n，使xnxn1C存在正整数n，使xnxn1且xnxn1D存在正整数n，使(xnxn1)(xnxn1)0答案D解析命题的结论是“对任意正整数n，数列xn是递增数列或是递减数列”，其反设是“存在正整数n，使数列既不是递增数列，也不是递减数列”故应选D.二、填空题11命题“任意多面体的面至少有一个是三角形

28、或四边形或五边形”的结论的否定是_答案没有一个是三角形或四边形或五边形解析“至少有一个”的否定是“没有一个”12用反证法证明命题“a，bN，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”，那么反设的内容是_答案a，b都不能被5整除解析“至少有一个”的否定是“都不能”13用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：ABC9090C180，这与三角形内角和为180相矛盾，则AB90不成立；所以一个三角形中不能有两个直角；假设A，B，C中有两个角是直角，不妨设AB90.正确顺序的序号排列为_1516已知a，b，c(0,1)求证：(1a)b，(1b)c，(1c)a不能同时大于.证明证法1：假设(1a)b、(1b)c、(1c)a都大于.a、b、c都是小于1的正数，1答案解析由反证法证明的步骤知，先反证即，再推出矛盾即，最后作出判断，肯定结论即，即顺序应为.14用反证法证明质数有无限多个的过程如下：假设_设全体质数为p1、p2、pn，令pp1p2pn1.显然，p不含因数p1、p2、pn.故p要么是质数，要么含有_的质因数这表明，除质数p1、p2、pn之外，还有质数，因此原假设不成立于是，质数有