有限参数模型

1、关于有限参数模型第一张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月 特征： 越接近0，阻尼就越大，单摆稳定的越快； 越接近 ，阻尼越小，单摆振荡得越剧烈。只要 ,单摆总能稳定下来，这时系统(1.1)被称为是稳定的。当 时，单摆无法稳定下来，这时称系统(1.1)是非稳定的。 第二张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月 第三张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月 第四张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月 第五张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月 二. 自回归模型的定义与分类定义1.1 称以下模型为p阶自回归模型Autoregression Model) ,简记为

2、 (1.2)式中 是白噪声序列，而且 ，对一切st 成立. 称为自回归系数，满足(1.2)式的时间序列 被称为p阶自回归序列。第六张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月 称多项式 为(1.2)式的自回归系数多项式。定义1.2 如果AR(p)模型对应的算子方程的根全部在单位圆外，称该模型是平稳的，否则成为是非平稳的，或者称为广义的AR(p)模型。注：相应的随机差分方程的特征多项式 的根全部要在单位圆之内第七张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月 中心化：如果平稳序列 满足(1.2)式，且 ，则令 ，得到则称 为平稳中心化的AR(p)序列。第八张，PPT共一百八十九页，创作于202

3、2年6月 定义1.3 设 为零均值平稳序列，若满足如下的p阶随机差分方程且满足如下条件(1) 为白噪声序列(2) 且 ,t0，使得对所有正整数j,有 (2) 称系统(1.8)是渐近稳定的，如果当 时，有 (3) 称系统(1.8)是一致渐近稳定的，如果存在着常数 ，使得对所有正整数j,有第十七张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月 定理1.1 对于AR(P)模型所表示的系统是一致渐近稳定的，即存在正常数 ，使得定理1.2 ： (1) 由(1.8)定义的时间序列 是AR(p)模型(1.3)的唯一平稳解； (2) AR(p)模型的通解有如下形式 其中 是多项式 的k个互异根，r(j) 是 的

4、重数， 是随机变量。第十八张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月 注：由定理1.2，AR(p)模型的通解 和平稳解之差满足 (1.9) 其中 是 中的数. AR(p)模型的任何解都随着时间的推移以负指数阶的速度接近平稳解(1.8)，而且 越大 趋于平稳解越快，或者说 稳定下来得越快。第十九张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月 利用白噪声 和AR(p)模型的自回归系数 产生AR(p)序列的方法：第一步：取初值 第二步：计算第三步：取则 视为所需要的AR(p)序列,一般取 ,当较小时，m要适当放大。第二十张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月 例：生成序列100个观测数据

5、。其中，m=50, 是正态白噪声，标准差为1.2。(sample11) 第二十一张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月 四 平稳AR(p)序列的自协方差函数1.自协方差函数的表述形式第一种：设 是AR(p)模型的平稳解，由 AR(p)模型的传递形式利用线性平稳序列的性质可知它有有零均值和自协方差函数第二十二张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月短记忆性第二十三张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月 第二种：当k=0时， 当 时， (1.10)使用后移算子B, 可得，第二十四张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月 2 尤尔-沃克(Yule-Walker)方程 取k

6、=1,2,p,由自协方差函数和自相关函数的对称性，由公式(1.10),有如下方程组：第二十五张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月 引入记号则方程组化简为：其中， 称为托普尼兹(Toepletz)矩阵。对于平稳AR(p)序列而言， 总是正定的，于是 (1.11)第二十六张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月 3 AR(p)模型白噪声 的方差 ，回归系数 和 之间的关系(1) 白噪声 方差的两种表述形式 (1.12)(2) 自协方差函数 和自相关函数 具有拖尾性，即存在正常数 ，有第二十七张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月 (3) 三者的关系模型参数 被自协方差值 唯

7、一决定；(公式1.11,1.12) 被 所唯一决定； 被 所唯一决定。(公式1.10)第二十八张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月 五 AR模型的平稳域和允许域1. AR模型的平稳域定义1.5 对于AR(P)模型，使 的根全部在单位圆外的参数向量 的全体构成一个p为向量空间上的子集，记为 称 为AR(P)模型的平稳域。第二十九张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月 平稳性的检验：(1) 模型阶数较低p=1,2 ，可直接计算例：求AR(1)的平稳域；第三十张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月 (2) 高阶模型参数平稳性检验-Jury准则方法一 通过求解高次代数方程，判

8、定其根是否在单位圆外。该方法较难实现。方法二 使用裘莱(Jury)准则裘莱(Jury)准则设实系数多项式则 的根全在单位圆内的充要条件是第三十一张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月 以及这n-1个关系式全部成立。其中， 是 的系数， 依次由下列方阵求得若求到相应于 的一步，k只能取0,1,2,3,那么最后一步 为第三十二张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月 平稳性检验目的：检验 的根全在单位圆外。令Z=1/B，得多项式则 的根全在单位圆外当且仅当F(Z)的根全在单位圆内。故在Jury准则中取第三十三张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月 例5.2 试证如下零均值平稳

9、序列 具有平稳性。第三十四张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月 2 . AR模型的允许域使得AR(p)序列落入平稳域的 的全体构成的区域，称为 的允许域。例如：AR(1)模型平稳域为允许域为第三十五张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月 六 偏相关函数1 偏相关函数的定义例：设 为零均值平稳序列，考察由 对 进行线性预测。这里采用线性最小方差预测。即求下列极值问题第三十六张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月 经计算得到： 或写为 (1.13) 亦称(1.13)为Yule-Walker方程。定义1.6 如果 正定，称 为 或 的n阶偏相关函数。第三十七张，PPT共一百

10、八十九页，创作于2022年6月 2 偏相关函数的概率定义 令 记，定理：设 为 的偏相关函数，则 (1.14)第三十八张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月 概率定义：与平稳序列的自相关函数 作比较，(1.14)相当于条件相关函数。第三十九张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月 3 偏相关函数的递推算法定理1.3 设 为平稳序列，则它的偏相关函数 满足如下递推公式第四十张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月 算法流程图 第四十一张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月 定理1.4 零均值平稳序列 为AR(P)序列的充分必要条件是 的偏相关函数是p步截尾的。 第四十

11、二张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月第四十三张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月第四十四张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月 例：考虑AR(2)模型 (1) 差分算子方程： (2) 平稳域：第四十五张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月 (3) 平稳解的相关系数满足 (4) 允许域：具体考虑序列第四十六张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月 具体考虑序列第四十七张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月第四十八张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月第四十九张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月第五十张，PPT共一百八十九页，创

12、作于2022年6月第五十一张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月 第二节 滑动平均模型一 滑动平均模型的定义定义2.1 设 为一白噪声序列，称以下模型为q阶滑动平均模型，简记为MA(q)模型（Moving Average), (2.1) 称序列 为q阶滑动平均序列，简称MA(q)序列。 MA(q)序列 是平稳线性序列。第五十二张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月 二 MA(q)序列的自协方差函数 (2.2)第五十三张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月 引理2.1 一个自协方差函数列 成为某个MA(q)序列的自协方差函数列的充分必要条件是 是q步截尾的。定理2.1 若

13、自协方差函数列 q步截尾，而且满足 那么，将 替代(2.2)左边各量，则必存在唯一的实数解 ,而且保证 的根都在单位圆外。第五十四张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月 三 可逆的MA(q)模型定义2.2： 若在MA(q)模型(2.1)中，其系数多项式 的根全部在单位圆外，则称这样的MA模型为可逆的MA(q)模型，相应的序列 被称为可逆的MA(q)序列。第五十五张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月 如果MA(q)模型可逆，则有 (2.3) 其中， 且存在正常数 ,使得， 我们称(2.3)为(2.1)的逆转形式.第五十六张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月 例2.1：

14、考虑两MA(1)序列其中， 为白噪声序列。经计算两序列具有相同的自相关函数：更一般地，对任何 有相同 自相关。两个相同的自相关过程之间，仅且仅有一个过程 是可逆的。为了唯一性，我们将选择的模型满足可逆性。第五十七张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月 定理2.2 假定 满足(2.1)，而且其系数多项式 的根都不在单位圆上，则一定存在实数 和白噪声序列 使得 而且此式的系数多项式 的根都在单位圆外。注：一个MA序列可以满足不同的两个（或者多个）MA模型。第五十八张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月第五十九张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月第六十张，PPT共一百八十九

15、页，创作于2022年6月 推论2.2： 设 为平稳序列，且 ，又设 为其自协方差函数列，则有以下事实，(1) 若 为MA(q)序列，那么 必在q后截尾。(2) 若 在q后截尾，而且满足 （2.3）那么 必满足某一可逆的MA(q)模型。注：决定一个MA序列是否为可逆的MA序列取决于 是否成立。第六十一张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月第六十二张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月 例2.1：序列满足其中， 为正态白噪声序列，经计算其协方差函数：考虑：第六十三张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月 当 时，为可逆的MA(1)模型。其逆转形式： 当 时，为不可逆的MA(1

16、)模型。考虑白噪声作相应的改变：则 为可逆的MA(1)模型。第六十四张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月 四 . MA模型的可逆域与允许域定义2.3： MA(q)模型(2.1)式的系数参量矢量 所组成的多项式 对一切复数 ，则称满足上述条件的全体矢量 为MA(q)模型的可逆域。定义2.4: MA(q)模型的系数参量矢量 与序列自相关函数 满足依赖关系(2.2)式，只有当 能表达成(2.2)式形式时，才可成为某一MA(q)序列的前q个自相关函数值，于是我们称满足这一性质的全体 构成MA(q)的允许域。第六十五张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月 五. MA(q)序列的偏相关函

17、数定理2.3： 为MA(q)序列，则 的偏相关函数 是拖尾的。递推计算方法同定理1.3第六十六张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月 例2.2：MA(1) 序列其中，可逆域为：逆转形式为：自相关函数为：允许域为：第六十七张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月 偏相关函数为第六十八张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月 第六十九张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月第七十张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月 例2.2：MA(2) 序列其中，算子多项式为： 可逆域为：逆转形式为：第七十一张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月 自协方差函数第七十二张

18、，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月 偏相关函数PACF是由 的符号和量或等价于的根确定的承指数衰减或阻尼正弦波。 第七十三张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月第七十四张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月第七十五张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月第七十六张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月第七十七张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月 第三节 自回归滑动平均模型一. 自回归滑动平均模型的定义定义3.1 我们称以下模型为p阶自回归与q阶滑动平均混合模型，以后简记为ARMA(p,q)模型，即 (3.1) 式中 为白噪声序列，而且 ,对一切s

19、q 和 ，若j0第八十九张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月 2 . 自协方差函数与系数 和白噪声方差 之间的关系(1) 即， (3.2)第九十张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月 由(3.2)式，取k=q+1,q+2,q+p,得 (3.3)若方程组系数可逆，可求自回归系数向量 第九十一张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月 (2) 令 为MA(q)序列，则 的自协方差函数为 (3.4)可知通过 和 可计算 。 第九十二张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月 (3) 由 的定义知, 为MA(q)序列，它的滑动平均系数向量 可由下述非线性方程组解出， (3.5

20、)第九十三张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月 例3.2：给定平稳序列 的前5个自协方差函数利用这5个自协方差函数 建立一个ARMA(2,2)模型。 第九十四张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月第九十五张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月 3 ARMA(p,q)序列自相关函数的拖尾性ARMA(p,q)序列的自相关函数被负指数控制，即存在正常数 ,使得 即ARMA(p,q)序列自相关函数是拖尾的。第九十六张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月 四. ARMA(p,q)序列的偏相关函数定理3.1： 为ARMA(p,q)序列，则它的偏相关函数 是拖尾的。递推计算

21、方法同定理1.3第九十七张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月第九十八张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月第九十九张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月 五. ARMA(p,q)的平稳域、可逆域和允许域 1.平稳域ARMA(p,q)模型为平稳的2. 可逆域ARMA(p,q)模型为可逆的第一百张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月 3 允许域 由于 与 相互一一对应，为使得一个相关函数 成为ARMA(p,q)模型的平稳域、可逆域中的某一组参数 相对应，并使得公式(3.3),(3.4),(3.5)成立，满足上述条件的 构成 ARMA(p,q)的允许域。 第一百零一

22、张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月 例3.3： ARMA(1,1)模型平稳可逆域：传递形式为：逆转形式为：第一百零二张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月 协方差函数：(1)其中 由 所决定。(2) 令表达了 与 的依赖关系。第一百零三张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月 允许域： 当 ， 当 ，第一百零四张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月总结：1、自协方差函数，自相关函数AR(p):第一百零五张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月MA(q):第一百零六张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月 ARMA(p,q):(1)(2)(3)第一百

23、零七张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月2、偏相关函数 a. 计算公式第一百零八张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月b 递推公式第一百零九张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月c. AR 截尾 MA 拖尾 ARMA 拖尾第一百一十张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月 观察sample20中序列x1,x2,x3，找出其特点。第一百一十一张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月 第四节 求和模型一 求和模型的定义及解的形式用平稳的ARMA(p,q)序列的求和所得到的非平稳时间序列，称为求和序列，它所满足的模型，称为求和模型。第一百一十二张，PPT共一百八

24、十九页，创作于2022年6月 定义4.1 设 为随机序列，若满足下列条件：(1) 对任意t，(2) 存在正整数d,使得令 为ARMA(p,q)序列，即满足因此 满足 (4.1)则称(4.1)式为自回归求和滑动平均模型(Autoregressiveintegrated moving average).记为ARIMA(p,d,q),相应的序列 被称为ARIMA(p,d,q)序列。第一百一十三张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月 例4.1 设 为ARIMA(1,1,0)序列，有如下表达式令 ，则而 为AR(1)序列，即第一百一十四张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月 X序列的图形

25、(sample2.4.1)第一百一十五张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月 差分后(1-B)X，所得到的序列W第一百一十六张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月 W的前15个ACF和PACF第一百一十七张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月 例4.2 ARIMA(1,2,1)(sample2.4.2) 令 则第一百一十八张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月 第一百一十九张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月 经过两次差分运算之后的序列W第一百二十张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月 W的前15个ACF和PACF第一百二十一张，PPT共一百八

26、十九页，创作于2022年6月 ARIMA(p,d,q)的通解：第一百二十二张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月 注1、以上两例的共同特征：具有较大的、不衰减的自相关函数并滞后一期特别大。非平稳的主要特征使得这些模型潜在的拖尾性不显著，我们可对各序列作差分使之显著。2、ARIMA(p,d,q)模型与多项式趋势的ARMA(p,q)模型 的区别。第一百二十三张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月 二、ARIMA模型的方差和自协方差 以ARIMA(0,1,1)为例： 第一百二十四张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月 第一百二十五张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月

27、特征：第一百二十六张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月 三 方差平稳化变换 通常非平稳过程的方差随其水平变化而变化，即 问题：对一些正常数c和函数f，找到一个函数G使其变换 有不变方差。 第一百二十七张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月 第一百二十八张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月 第一百二十九张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月 例4.3：美国人口总数（1790-1980）(sample2.4.3)第一百三十张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月 对x作两次差分运算得到-10000000-50000000500000010000000150

28、000002468101214161820zt第一百三十一张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月 作变换x1=log(x)第一百三十二张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月 对x1作两次差分运算得到第一百三十三张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月 二. 单位根过程当d=1时的求和ARIMA(p,d,q)模型又被称为单位根过模型，相应的时间序列被称为单位根序列。如果一个时间序列的算子方程的根很接近1，则没有足够的数据量，在很多情况下很难与单位根序列区分开来。 例: sample2.4.4第一百三十四张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月 三. 平稳ARIMA(0

29、,d,0)模型人们称ARMA(p,q)序列是短记忆的，对短记忆的序列不宜进行中长期预测。只有长记忆序列才具有作中长期预测的基础。通常可以按自协方差函数收敛到零的速度把平稳序列分为短记忆序列和长记忆序列。对实数d0.5,如果自协方差函数 就称 该序列 是长记忆序列。对于ARIMA(0,d,0)序列，由于 故它是长记忆序列。第一百三十五张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月 第五节 乘积模型随机序列的变化规律含有明显的周期性规律，例如气温、雨量、用水量、耗电量、交通运输、经济问题等都是由于季节变化或其他周期因素的物理机制所引起的，我们称这类随机序列为季节性序列。第一百三十六张，PPT共一百

30、八十九页，创作于2022年6月 例5.1：某储蓄所1988年和1989年的各月储蓄额第一百三十七张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月 例5.2：美国月事故数据，1973-1978 (sample2.2.5)第一百三十八张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月 需要考虑两个问题：1. 季节之间的统计规律，2. 季节之内的统计规律。第一百三十九张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月 一. 纯季节模型首先建立模型 (5.1)其中并且， 的根都在单位圆外， 在相隔T步上为白噪声序列，而相隔小于T步时是相关的，即第一百四十张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月 其次， 仍

31、为平稳序列，故需对 建立ARMA(p,q)模型， (5.2)其中 对季节内外为白噪声序列，将(5.2)代入(5.1)中，有即 (5.3)称(5.3)为季节为T的纯季节性模型，简记为模型，又称(5.3)为乘积模型。第一百四十一张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月 例5.3：1985至2000年北京平均气温(sample2.4.6) 第一百四十二张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月 差分第一百四十三张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月 二. 既有季节又有趋势模型 定义 ， 表示间隔T步的D阶差分,D为正整数。于是，有季节为T又有趋势性的模型为 (5.4)在季节之内也具

32、有趋势性的模型为 (5.5)综合(5.4),(5.5)，得到既有季节为T又有趋势性的统一模型为 (5.6)称(5.6)为既有季节为T又有趋势性的乘积模型，简记为 模型。 第一百四十四张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月 例5.4： 模型可表示为即可以看出， 为ARIMA(13,1,1)序列，但自回归部分阶数较高,且 的系数为零，所以有时称乘积模型为高阶疏系数模型。第一百四十五张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月 例5.4：1990年1月至1997年12月我国工业生产总值(单位：亿元)sample2.4.7第一百四十六张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月 为消除趋势

33、同时减小序列的波动，对原序列做一阶自然对数逐期差分 xc=log(x)-log(x(-1)，第一百四十七张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月 对序列xc做季节差分：sxc=xc-xc(-12)第一百四十八张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月三、广义ARMA模型与疏系数模型 模型： 式中 为白噪声序列，而且 ,对一切st成立，记 与 没有公共根。 的根不加限制， 的根都在单位圆上和圆外。第一百四十九张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月分解：其根分别在单位圆内、上和外。1）q=0，广义AR模型2） 的根不在单位圆上， 求和模型；3） 的根不在单位圆上， 纯季节模型第一

34、百五十张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月 模型： 式中 为白噪声序列，而且 ,对一切st成立。第一百五十一张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月第六节 时序中的回归模型一. 普通回归模型 (6.1)其中， 为白噪声序列， 为非随机的可观测的时变量。其均值函数为 (6.2)第一百五十二张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月 二. 回归与自回归混合模型定义6.1 如下模型称为回归与自回归混合模型(并联模型)： (6.3) (6.4)其中， 为白噪声序列，且 ,参数 满足平稳性条件。 为非随机的可观测的自变元。比如：它们可为多项式，三角函数等。第一百五十三张，PPT共一百

35、八十九页，创作于2022年6月 定义6.2 另外一种混合形式(串联模型)为 (6.5)其中, 为白噪声序列,且参数 满足平稳性条件，是非随机的，时变的和可记录的。比如：它们可为多项式，三角函数等。第一百五十四张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月 三 . 两者的联系和区别共同之处：都表示一个平稳序列与非随机序列之和。 对(6.3)令 于是， 对(6.5)令 于是， 不同之处：(6.3),(6.4)待估参数以非线性形式出现；(6.5)待估参数以线性形式出现。第一百五十五张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月 例6.1：回归与自回归混合模型p=s=1其中 为模型参数，且 为白噪声序

36、列。第一百五十六张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月第一百五十七张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月 特例：p=s=1, , 为正态噪声，sample25第一百五十八张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月第七节 非线性时间序列模型例7.1 考察某一经济系统，设第t年某一产品产量为 ，把它投入再生产，第t年的回收率为 ，经济学理论认为 为MA(1)序列，即 其中 为相互独立的白噪声序列，而回收率 为第一百五十九张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月 故第t年该产品产量 满足如下模型 (7.1)我们称(7.1)式为双线性模型。第一百六十张，PPT共一百八十九页，

37、创作于2022年6月另一例子：式中 为正态白噪声序列第一百六十一张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月一般的双线性模型：式中 为正态白噪声序列，而且 与 独立。第一百六十二张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月 例7.2 门限自回归模型如下(sample26) (7.2)其中， 为白噪声序列，且特点：既无趋势性又不太像有季节性，图形是由一些宽窄不大相同的“锯齿形”组成的。第一百六十三张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月 第一百六十四张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月另一例子：第一百六十五张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月更一般形式： 第一百六十

38、六张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月 最一般的非线性模型如下形式： (7.3)其中，f为满足某些解析条件的非线性函数， 是相互独立白噪声序列或白噪声。第一百六十七张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月 一. 非线性序列的模型 1. 非线性自回归（NAR）模型 xt=(xt-1,xt-2,xt-p)+et,t=1,2, (7.4) 其中()为p元可测函数, et为i.i.d.序列, 且Eet=0. 这里和后面还总假定et与 xt-1,xt-2,独立。 第一百六十八张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月 经计算，得 Ext xt-1,xt-2, = Ext xt-1,x

39、t-2,xt-p =E(xt-1,xt-2,xt-p)+et xt-1,xt-2,xt-p =(xt-1,xt-2,xt-p)+E et xt-1,xt-2,xt-p =(xt-1,xt-2,xt-p). (7.5)(此处依et与 xt-1,xt-2,独立和Eet=0)而且, Varxt xt-1,xt-2, = Ext-(xt-1,xt-2,xt-p)2 xt-1,xt-2, = Eet2 xt-1,xt-2, = Eet2=2. (by Eet2=2) 第一百六十九张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月 1）指数自回归模型(Exponential Autoregressive Mo

40、del)由 T.Ozaki, 1978年提出它的形式可表为 (7.6)其中， 都是模型的待估参数， 为白噪声序列，模型(7.6)简记为EAR(p)。特别地，当 时，(7.6)退化为线性p阶自回归模型。 第一百七十张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月 2） 时变系数AR(p)模型(time varying coefficient AR)例：其中， 是模型在时刻t的系数，且独立于而 是Gaussian白噪声，均值为零。 第一百七十一张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月 2. 条件异方差NAR模型 xt=(xt-1,xt-2,xt-p)+s(xt-1,xt-2,xt-p)et,

41、t=1,2, (7.7) 其中()和s()为p元可测函数, et为i.i.d.序 列且E et=0. 第一百七十二张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月 Ext xt-1,xt-2, = Ext xt-1,xt-2,xt-p =E(xt-1,xt-2,xt-p)+s(xt-1,xt-2,xt-p)etxt-1,xt-2,xt-p =(xt-1,xt-2,xt-p)+s(xt-1,xt-2,xt-p)Eetxt-1,xt-2,xt-p =(xt-1,xt-2,xt-p). (7.8) Varxt xt-1,xt-2,=Ext-(xt-1,xt-2,xt-p)2 xt-1,xt-2, =

42、s2(xt-1,xt-2,xt-p )Eet2 xt-1,xt-2,=s2(xt-1,xt-2,xt-p )Eet2= s2(xt-1,xt-2,xt-p ). (不再是常数!) 第一百七十三张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月 3. 非可加噪声NAR模型 一般说来, 非可加噪声NAR模型太广泛了, 以至无法研究,甚至于没有研究价值。 比如 xt=(xt-1,xt-2,xt-p; et), t=1,2, (7.9)又如 ( xt,xt-1,xt-p+1; et)=0, t=1,2, 第一百七十四张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月 二. 组合模型 例: xt=txt-1+e

43、t, (7.10) t=t-1+t, (7.11) 其中et和t为相互独立的i.i.d.序列。 此时模型(7.10)可称为时变系数的1阶AR模型, 其系数又满足另一个1阶AR模型。 后一模型是变化相对缓慢的, 即小于1, 但接近1。 第一百七十五张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月 1. 双重线性模型( Biliner Model)C.W.Granger和A.P.Anderson, 1978年它的一般形式为 (7.12)其中， 为严格(相互独立)白噪声序列,模型(7.12)简记为BL(p,q,m,n)。第一百七十六张，PPT共一百八十九页，创作于2022年6月 2. 门限自回归模型 ( Threshold Autoregressive Model)由 H.Tong, 1978年提出。它的形式可表为： (7.13) 其中 ，称 为门限值，称d为延迟时间，对每个固定j, 是方差为 的白噪声序列；当 时