求解微分方程

1、关于求解微分方程第一张，PPT共七十六页，创作于2022年6月例 一曲线通过点(1, 2)，且曲线上任意点切线的斜率均等于切点横坐标的2倍 ，求这曲线的方程。例 列车在平直线路上以 20m /s 的速度行驶，制动时列车获得加速度 0.4m /s2 。问开始制动到停止需多少时间？这段时间列车又走了多远？第二张，PPT共七十六页，创作于2022年6月微分方程的定义定义 含有未知函数的导数(或微分、偏导数)的函数方程叫做微分方程，未知函数是一元函数叫做常微分方程，未知函数是多元函数叫做偏微分方程；其中出现的未知函数的导数(或微分、偏导数)的最高阶数叫做该微分方程的阶。 n阶微分方程的一般形式：第三张

2、，PPT共七十六页，创作于2022年6月(2) n阶微分方程的含有n个独立的任意常数的解称为它的通解；通解中确定了任意常数的解称为特解。微分方程的解定义 (1)对于微分方程设函数 y (x)在区间I 上有n阶连续导数，如果在区间I 上满足则称y (x)是方程在区间I 上的一个解，其图形称为积分曲线。第四张，PPT共七十六页，创作于2022年6月说明：(1) n阶微分方程的解中最多只能含有n个独立的任意常数。(2) 微分方程的通解不一定包含它的全部解。如方程不包含特解 y 0。(3) y(x0)= y0， y (x0)= y1 ， 称为初始条件(或初值)。带有初始条件的微分方程问题称为初值问题。

3、第五张，PPT共七十六页，创作于2022年6月微分方程解决实际问题的步骤(1)分析问题，建立微分方程并提出定解条件。(2)求微分方程的通解。(3)由定解条件定出任意常数，即求出特解。(4)讨论所得解的性质和意义。第六张，PPT共七十六页，创作于2022年6月例 证明 x C1coskt C2sinkt 是方程的通解(k 0),并求满足初始条件的特解第七张，PPT共七十六页，创作于2022年6月求曲线所满足的微分方程 .例. 已知曲线上点 P(x, y) 处的法线与 x 轴交点为 Q解: 如图所示, 令 Y = 0 , 得 Q 点的横坐标即点 P(x, y) 处的法线方程为且线段 PQ 被 y

4、轴平分, 第八张，PPT共七十六页，创作于2022年6月作业(P298)：3(2)，5(2)，6。第九张，PPT共七十六页，创作于2022年6月 2 可分离变量的微分方程第十张，PPT共七十六页，创作于2022年6月一阶微分方程的一般形式：F(x, y, y) 0, 或 y f(x, y),或写成对称形式： P(x, y)dx Q(x, y)dy。 第十一张，PPT共七十六页，创作于2022年6月一个一阶微分方程称为可分离变量的微分方程，如果能把它写成形式 g(y)dy f(x)dx。若G(y)、F(x)分别是g(y)、 f(x)的原函数，得第十二张，PPT共七十六页，创作于2022年6月例

5、求微分方程 的通解。例 解方程第十三张，PPT共七十六页，创作于2022年6月例 已知铀的衰变速度与含量M成正比(比例系数)。若t 0时铀的含量为M0，求时刻t 时铀的含量M(t)。解 由题设条件得微分方程由条件 M(0) M0 得 C M0，所以tMM0铀的衰变规律第十四张，PPT共七十六页，创作于2022年6月例. 解初值问题解: 分离变量得两边积分得即由初始条件得 C = 1,( C 为任意常数 )故所求特解为第十五张，PPT共七十六页，创作于2022年6月练习第十六张，PPT共七十六页，创作于2022年6月(P304)：1(1)(5)(7)(10)，2(2)，4，6。作业第十七张，PP

6、T共七十六页，创作于2022年6月 3 齐次方程第十八张，PPT共七十六页，创作于2022年6月在一阶微分方程 y f(x, y)中，如果 f(x, y)可以化为则该方程称为齐次方程。如何求解？第十九张，PPT共七十六页，创作于2022年6月例 解方程例. 解微分方程例. 解微分方程第二十张，PPT共七十六页，创作于2022年6月作业P309：1(1)(6)，2(3),3；第二十一张，PPT共七十六页，创作于2022年6月 4 一阶线性微分方程第二十二张，PPT共七十六页，创作于2022年6月本节讨论一阶线性微分方程(1)(2)叫做对应于非齐次线性方程(1)的齐次线性方程。Q(x) 0时称为一

7、阶非齐次线性微分方程，Q(x) 0时称为一阶齐次线性微分方程。第二十三张，PPT共七十六页，创作于2022年6月分离变量法这里 表示P(x)的任一原函数。(3)一阶齐次线性方程(2)的解法得方程(2)的通解注：通解(3)包含了方程(2)的全部解。第二十四张，PPT共七十六页，创作于2022年6月常数变易法，令一阶非齐次线性方程(1)的解法第二十五张，PPT共七十六页，创作于2022年6月用常数变易法解非齐次方程的步骤：1. 求出相应的齐次方程的通解；2. 将通解中的任意常数C 变为函数C(x)，然后代入非齐次方程求出C(x)。3.非齐次方程的通解等于对应齐次方程的通解与方程的任意一个特解之和。

8、第二十六张，PPT共七十六页，创作于2022年6月例 解方程第二十七张，PPT共七十六页，创作于2022年6月习题(315)：1(3)(9)，2(5)，6，7 (3) 。作业第二十八张，PPT共七十六页，创作于2022年6月 5 可降阶的高阶微分方程第二十九张，PPT共七十六页，创作于2022年6月三种可降阶的高阶微分方程一、 型的微分方程 二、 型的微分方程 三、 型的微分方程 第三十张，PPT共七十六页，创作于2022年6月y(n) f(x) 型积分一次再积分一次共积分n次，便得到含n个任意常数的通解：可逐次积分求得通解第三十一张，PPT共七十六页，创作于2022年6月例 求 y e2x

9、cosx 的通解。解第三十二张，PPT共七十六页，创作于2022年6月 y f(x, y) 型令 y p ，方程变为 p f(x, p)，设其通解为 p (x, C1) ，不显含y即 y(x, C1) ，说明：对于方程 y(n) f(x, y(n1)，可令y(n1) p 而化为 一阶微分方程 p f(x, p)。第三十三张，PPT共七十六页，创作于2022年6月例 求微分方程 (1x2)y 2xy 的通解及满足初始条件 y(0) 1, y(0) 3 的特解。y x3 3x 1。例 解方程第三十四张，PPT共七十六页，创作于2022年6月这时仍令 y p 作为新未知函数，方程变为 ，设其通解为

10、p ( y, C1)，则 y f(y, y)型不显含x第三十五张，PPT共七十六页，创作于2022年6月例 解方程例. 解初值问题第三十六张，PPT共七十六页，创作于2022年6月习题(P323)：1(2)(6)(10)，2(2)(4)(5)， 3作业第三十七张，PPT共七十六页，创作于2022年6月 6 高阶线性微分方程第三十八张，PPT共七十六页，创作于2022年6月一、二阶线性微分方程举例例1 求弹簧振子的运动规律x(t)。xOx自由振动的微分方程强迫振动的微分方程第三十九张，PPT共七十六页，创作于2022年6月这就是串联电路的振荡方程，其中例2 设由电阻R、电感L、电容C和电源E E

11、msint串联组成的电路中，电容C两极板间的电压为uC ，则有第四十张，PPT共七十六页，创作于2022年6月二、函数的线性相关与线性无关定义 设 y1, y2 , , yn 是定义在区间I上的n个函数，如果存在 n 个不全为零的常数 k1, k2 , kn ，使在 I上就称这n个函数在 I 上线性相关，否则称为线性无关。第四十一张，PPT共七十六页，创作于2022年6月例如：1 , cos2x , sin2x 在( )线性相关； 1 , x , x2 在任何区间上线性无关。说明：1) 线性相关 其中至少有一个函数可由其它函数线性表出；2) y1, y2 , yn 线性无关若 k1 y1 k2

12、 y2 kn yn 0, 则 k1 k2 kn 0。3) y1与y2 线性相关 常数。 第四十二张，PPT共七十六页，创作于2022年6月 n 阶线性微分方程的一般形式：二阶非齐次线性方程对应的齐次线性方程 f(x) 0 齐次， f(x) 0 非齐次。第四十三张，PPT共七十六页，创作于2022年6月证 直接将y C1 y1 C2 y2 代入(2)得：定理 如果 y1 , y2 是齐次方程的两个解，那么y C1 y1 C2 y2也是解，其中C1 , C2是任意常数。三、齐次线性方程解的结构第四十四张，PPT共七十六页，创作于2022年6月定理 设 y1 , y2 是齐次方程(2)的两个线性无关

13、的特解(称为(2)的一个基本解组)，则 y C1 y1 C2 y2(C1 , C2是任意常数)是它的通解，且此通解含有全部解。例 y1 x , y2 e x 是齐次线性方程的一个基本解组，故其通解是第四十五张，PPT共七十六页，创作于2022年6月定理(解的叠加原理) 设y1(x) , y2(x)分别是方程的解，则 y y1(x) y2(x) 是如下方程的解：证非齐次线性方程解的结构第四十六张，PPT共七十六页，创作于2022年6月定理 设 y*(x)是非齐次方程(1)的一个特解，Y(x)是对应的齐次方程(2)的通解，则 y Y(x) y*(x) 是方程(1)的通解，且此通解含有全部解。证 由

14、定理3，y Y(x) y*(x) C1 y1 C2 y2 y*(x)是(1)的解，又它含有两个独立的任意常数，故是通解。设 y0(x) 是(1)的任一解，则 y0(x) y*(x) 是齐次方程(2)的解，故存在常数C10与C20 ，使得y0(x) y*(x) C10 y1 C20 y2 ,于是 y0(x) C10 y1 C20 y2 y*(x) 。例 y x2 是方程的一个特解，故其通解是第四十七张，PPT共七十六页，创作于2022年6月n 阶线性微分方程上面关于二阶线性方程的结论可推广到 n 阶线性方程1. 线性微分方程解的叠加原理： 设 y1(x) , y2(x) 分别是方程L y f1(

15、x)与L y f2(x)的解，则y y1(x) y2(x) 是方程 L y f1(x) f2(x) 的解。L y f(x) , 其中2. 齐次线性方程解的结构：设 y1, y2 , , yn 是齐次线性方程 L y0 的n 个线性无关的解(称为它的一个基本解组)，则 y C1 y1 C2 y2 Cn yn(C1 , C2 , , Cn是任意常数)是它的通解，且此通解含有全部解。第四十八张，PPT共七十六页，创作于2022年6月常数, 则该方程的通解是 ( ).设线性无关函数都是二阶非齐次线性方程的解, 是任意例.提示:都是对应齐次方程的解,二者线性无关 . (反证法可证)(89 考研 )第四十

16、九张，PPT共七十六页，创作于2022年6月解:故原方程通解为代入初始条件故所求特解为例已知微分方程个解求此方程满足初的特解 .有三 始条件第五十张，PPT共七十六页，创作于2022年6月非齐次线性方程解的结构： 设 y*(x) 是非齐次方程 Ly f(x)的特解，Y(x)是对应的齐次方程Ly 0的通解，则 y Y(x) y*(x) 是非齐次方程 Ly f(x)的通解，且此通解含有全部解。第五十一张，PPT共七十六页，创作于2022年6月作业习题(P331)：1(3)(7)，3，4(1)第五十二张，PPT共七十六页，创作于2022年6月 7 常系数齐次线性微分方程第五十三张，PPT共七十六页，

17、创作于2022年6月一、特征方程与特征根二阶常系数齐次线性方程 y p y q y 0 . 定义 称代数方程 r2 pr q 0 .为微分方程的特征方程，它的根叫做微分方程的特征根。第五十四张，PPT共七十六页，创作于2022年6月1) p24q 0 , r1 , r2 是两个不相等的实根，则是方程(1)的两个线性无关的解，方程的通解是微分方程的通解第五十五张，PPT共七十六页，创作于2022年6月取 u x , 得 ，这时方程(1)的通解为： 代入得：2) p24q 0 , 得到方程的一个解设另一个线性无关的解第五十六张，PPT共七十六页，创作于2022年6月得到两个线性无关的实解，所以通解

18、是：根据解的叠加原理3) p24q 0 , 得到一对共轭复根 r1 i, r2 i,这样得到两个线性无关的复数形式的解第五十七张，PPT共七十六页，创作于2022年6月 r1 , r2是不等二实根， r1 , r2是相等二实根，其中 r1 , r2是一对共轭复根，求二阶常系数齐次线性方程(1)的通解的步骤如下：1)写出特征方程 r2 pr q 0；2)求出特征方程的两个根 r1 , r2；3)根据 r1 , r2 的不同情况写出通解：第五十八张，PPT共七十六页，创作于2022年6月例 求 y 2y 3y 0 的通解。例 求方程 满足初始条件s(0)4 , s (0) 2 的特解。例 求方程

19、y 2y 5y 0 的通解。第五十九张，PPT共七十六页，创作于2022年6月n 阶常系数齐次线性方程求解步骤如下：1) 写出特征方程2) 求出特征方程的 n 个根(特征根)，3) 根据特征根写出 n 个线性无关的解(基本解组)，4) 写出微分方程的通解。第六十张，PPT共七十六页，创作于2022年6月一对单共轭复根 i ： k 重实根 r ：一对 k 重共轭复根 i ：单实根 r ：说明：n 次方程共有 n 个根，对应每个特征根可写出一个基本解组中的解。方法如下：第六十一张，PPT共七十六页，创作于2022年6月特征根是 r1 r2 0 , r3, 4 1 2i ,因此微分方程的通解为：y

20、C1+C2x +ex(C3cos2x+C4sin2x) .例 求方程 的通解。解 特征方程第六十二张，PPT共七十六页，创作于2022年6月特征根是 r1 r2 1 , r3, 4 微分方程的通解为：例 解方程解 特征方程 r 4 2r3 3r2 4r 2 0,r 4 2r3 3r2 4r 2 (r 1)(r3 r2 2r 2 )(r 1)2(r2 2)。第六十三张，PPT共七十六页，创作于2022年6月解整系数高次代数方程一般用分解因式法和试根法，应注意以下特殊情形：(1)系数之和为零时，有根 x 1；(2)奇偶项系数之和相等时，有根 x 1；(3)如果方程有有理根则 p 是a0 的因数，q

21、 是an 的因数。习题(P340)：1(3)(6)(10)，2(2)(5)第六十四张，PPT共七十六页，创作于2022年6月8 常系数非齐次线性微分方程第六十五张，PPT共七十六页，创作于2022年6月二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式：求方程(1)的通解，归结为求对应的齐次方程 本节只介绍当方程(1)中的 f(x)取两种常见形式时用待定系数法求出特解 y* 的方法。y p y q y f(x) , p, q 是常数 (1)y p y q y 0的通解和(1)的一个特解。第六十六张，PPT共七十六页，创作于2022年6月 f(x)是多项式Pm(x)与指数函数 ex 的乘积，其导数仍然是同一

22、类型，因此我们推测，特解具有形式 y* exQ(x)，其中Q(x)是待定的多项式。将 y* exQ(x) ， y* exQ(x) Q(x) ，y* ex2 Q(x) 2Q(x) Q(x)代入方程(1)并消去ex 得：Q(x) (2+p)Q(x) (2 p q)Q(x) Pm(x) (2)一、f(x) exPm(x)其中 是常数， Pm(x)是一个m次多项式。第六十七张，PPT共七十六页，创作于2022年6月Qm(x) b0 x m b1x m1 bm1x + bm ，代入(2)式，比较同次幂系数，得到一个以 b0 , b1 , , bm 为未知数的 m 1 个方程的方程组，从而可求出特解 y*

23、 Qm(x)ex .2) 是特征方程 r2 pr q 0 的单根，即2+p+q 0，但 2 p 0 ，(2)式变为 Q(x)+(2+p)Q(x) Pm(x) ， 可见 Q(x) 应是m次多项式且Q(x)的常数项可任取(不妨取为零)，令 Q(x) xQm(x)，用同样的方法可求出 Qm(x)的系数b0 , b1 , , bm .1) 不是特征方程 r2 pr q 0 的根，2+p+q 0 ，要使(2)式两端相等，Q(x)必须是m次多项式第六十八张，PPT共七十六页，创作于2022年6月3) 是特征方程 r2 pr q 0的重根，即 2 p q 0,且 2 p 0 ，(2) 式变为 Q(x) Pm(x) ，可见 Q(x) 应是 m 次多项式且 Q(x)的常数项和一次项系数可任取，因而可令 Q(x) x2Qm(x)，然后用同样的方法求出Qm(x)的系数 b0 , b1 , , bm 。结论： f(x) e xPm(x)时方程(1)有 y* xkQm(x)ex 形式的特解：当 不是特征根时取 k 0，当 是单特征根时取 k 1，当 是重特征根时取 k 2。第六十九张，PPT共七十六页，创作于2022年6月例 求微分方程 y 2y 3y 3x 1 的通解。解 特征方程 r2 2r