新教材人教版高中数学必修第二册 6.4.1平面几何中的向量方法（教案）

1、精品文档 精心整理精品文档 可编辑的精品文档第六章 平面向量及其应用6.4.1 平面几何中的向量方法一、教学目标1.会用向量方法解决简单的几何问题；2.体会向量在解决几何问题中的作用；3.通过对用向量法解决平面几何问题的学习，培养学生数学抽象、数学运算、数学建模、数据分析等数学素养。二、教学重难点1.用向量方法解决几何问题的基本方法：向量法解决几何问题的“三步曲”；2.能够将几何问题转化为平面向量问题。三、教学过程：1、复习回顾（1） 平面两个向量的数量积：；（2） 向量平行的判定: ； （3）向量平行与垂直的判定:；（4）平面内两点间的距离公式： （其中，）（5）求模：； ；2.探索新知例1

2、.如图所示，在正方形ABCD中，P为对角线AC上任一点，PEAB，PFBC，垂足分别为E，F，连接DP，EF，求证：DPEF.证明法一：设正方形ABCD的边长为1，AEa(0a1)，则EPAEa，PFEB1a，APeq r(2)a，eq o(DP,sup18()eq o(EF,sup18()(eq o(DA,sup18()eq o(AP,sup18()(eq o(EP,sup18()eq o(PF,sup18()eq o(DA,sup18()eq o(EP,sup18()eq o(DA,sup18()eq o(PF,sup18()eq o(AP,sup18()eq o(EP,sup18()eq

3、 o(AP,sup18()eq o(PF,sup18()1acos 1801(1a)cos 90eq r(2)aacos 45eq r(2)a(1a)cos 45aa2a(1a)0eq o(DP,sup18()eq o(EF,sup18()，即DPEF.法二：如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为1，建立如图所示的平面直角坐标系，设P(x，x)，则D(0,1)，E(x,0)，F(1，x)，所以eq o(DP,sup18()(x，x1)，eq o(EF,sup18()(1x，x)，由于eq o(DP,sup18()eq o(EF,sup18()x(1x)x(x1)0，所以eq o(DP,su

4、p18()eq o(EF,sup18()，即DPEF.思考：运用向量方法解决平面几何问题可以分哪几个步骤？“三步曲”：(1)构建平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为平面向量问题；(2)通过平面向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角、模等问题；(3)将平面向量运算运算结果“翻译”成平面几何关系.思考：你能总结向量的线性运算法的四个步骤吗？生答：选取基底；用基底表示相关向量；利用向量的线性运算或数量积找相应关系；把几何问题向量化思考：你能总结向量的坐标运算法的四个步骤吗？生答：建立适当的平面直角坐标系；把相关向量坐标化；用向量的坐标运算找相应关系；把几

5、何问题向量化变式训练:如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AFDE.解：（基底法）设eq o(AD,sup18()a，eq o(AB,sup18()b，则|a|b|，ab0，又eq o(DE,sup18()eq o(DA,sup18()eq o(AE,sup18()aeq f(b,2)，eq o(AF,sup18()eq o(AB,sup18()eq o(BF,sup18()beq f(a,2)，所以eq o(AF,sup18()eq o(DE,sup18()(beq f(a,2)(aeq f(b,2)eq f(1,2)a2eq f(3,4)abeq f(b2,2

6、)eq f(1,2)|a|2eq f(1,2)|b|20故eq o(AF,sup18()eq o(DE,sup18()，即AFDE.（坐标法）如图建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A(0,0)，D(0,2)，E(1,0)，F(2,1)，所以eq o(AF,sup18()(2,1)，eq o(DE,sup18()(1，2).因为eq o(AF,sup18()eq o(DE,sup18()(2,1)(1，2)220，所以eq o(AF,sup18()eq o(DE,sup18()，即AFDE.例2.如图所示，以两边为边向外作正方形和，为的中点.求证：.解：因为是的中点，所以.又因为，所以，所以，即.变式训练：在梯形中，若点在线段上，则求的最小值解：建立如图所示平面直角坐标系：因为，所以，设所以，所以，所以，当时，的最小值为，小结：1.向量方法解决平面几何问题“三步曲”；2.向量的线性运算法（基底法）的四个步骤：选取基底；用基底表示相关向量；利