2023年最新的矩形的判定12篇

1、第 PAGE63 页 共 NUMPAGES63 页2023年最新的矩形的判定12篇考点一：矩形的基本性质 例1：如图，在矩形ABCD中，AEBD，垂足为E，DAE=2BAE，那么，BAE=_， EAO=_，若EO=1，则OD=_，AB=_，AD=_ 练习 1：矩形ABCD中, ,对角线AC与BD相交于点O,BC的长为6,OBC的周长是15,求矩形的对角线的长度. 练习2：如图，在矩形ABCD中，CEBD，E为垂足，DCEECB31，求ACD. 例2：如图，矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和是86cm，对角线长是13cm，那么矩形的周长是多少 练习1：矩形ABC

2、D中, ,对角线AC与BD相交于点O,已知矩形ABCD的面积是12cm2，AB=4cm，求矩形的对角线长。 例3：如图，在矩形ABCD中，相邻两边AB、BC分别长15cm和25cm，内角BAD的角平分线与边BC交于点E试求BE与CE的长度 练习1：如图，在矩形ABCD中，E是边AD上的一点试说明BCE的面积与矩形ABCD的面积之间的关系 例4：（2023年广西钦州）已知：如图1，在矩形ABCD中，AFBE求证：DECF； 练习1：如图，矩形ABCD中，E为AD中点，BEC为直角，矩形ABCD的周长是20，求AD、AB的长。 练习2：（2023年衢州）如图，四边形ABCD是矩形，PBC和QCD都

3、是等边三角形，且点P在矩形上方，点Q在矩形内 求证：（1）PBA=PCQ=30； （2）PA=PQ 考点二：面积法 例1：如图，在矩形ABCD中，AB3， BC4， BEAC于E试求出BE的长 练习1：如图，矩形ABCD中，E点在BC上，且AE平分BAC。 若BE=4，AC =15，则AEC面积为（ ） A.15 B. 30 C. 45 D. 60 。 练习2：如图：在矩形ABCD中，两条对角线AC、BD相交于点O，AB=4cm ,AD=cm. (1)判定AOB的形状. （2）计算BOC的面积. 练习3：如图，将矩形ABCD沿着直线BD折叠使点C落在点 C处，BC交AD于E，AD=8，AB=4

4、，BE=5,求BED的面积。 考点三：矩形对角线平分且相等 例1：矩形的两条对角线相交成60角，较短边与一条对角线之和为15cm ，则矩形的对角线长为 cm。 练习1：矩形的对角线所成的角之一是65，则对角线与各边所成的角度是（ ） A57.5 B32.5 C57.5、33.5 D57.5、32.5 练习2：矩形两条对角线的夹角是120，短边长4cm；则矩形的对角线长 ； 练习3：如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，AOB120，AD5cm，则AC 。 考点四：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 例1：如图，ABC中，A=2B，CD是ABC的高，E是AB的中点，求证：DE=AC 练习1：如

5、图，矩形ABCD的对角线AC交BD于D，E为CB延长线上一点，连接AE，M为AE中点且BMDM于点M， （1）连接OM，若AD=8，CD=6，求OM的长。 （2）求证：AD+BE=2AO 考点四：角平分线 例1：已知，四边形ABCD是矩形，CHBD，H为垂足，AE是BAD的平分线，交HC的延长线于E。 求证：CE=BD。 例2：矩形ABCD，AC、BD相交于点O，AE平分BAD交BC于E，若CAE=15，求BOE的度数； 例3：（2023年佳木斯中考卷第25题）如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到点B的位置，AB与CD交于点E. （1）试找出一个与AED全等的三角形，并加以证明

6、. （2）若AB=8，DE=3，P为线段AC上的任意一点，PGAE于G，PHEC于H，试求PG+PH的值，并说明理由. 练习1：如图，E为矩形ABCD边AD上一点，BE=DE，P为BD上一点，PFBE于F，PGAD于G。 求证：PF+PG=AB。 课后练习： 1、矩形的两条对角线的夹角为60，一条对角线与短边的和为15，对角线长是_，两边长分别等于_ 2、矩形周长为36cm，一边中点与对边两顶点的连线所夹的角是直角，则矩形各边长是_ 3、如图，矩形ABCD中，E是BC中点，BAE=30，AE=4，则AC=_ 4、如图，矩形ABCD中，AB=2BC，在CD上取上一点M，使AM=AB，则MBC=_

7、 5、已知：如图，矩形ABCD中，EFCE，EF=CE，DE=2，矩形的周长为16，求AE的长 6、将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF若AB3，则BC的长为 （ ） A1 B2 C D 7、如图1，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC，CD，DA运动至点A停止设点P运动的路程为x，ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则ABC的面积是（ ） A10 B16 C18 D20 8、（2023年遂宁）如图，已知矩形ABCD中，AB=4cm，AD=10cm，点P在边BC上移动，点E、F、G、H分别是AB、AP、DP、DC的中点. 求证：EF+GH=5cm； 求

8、当APD=90o时，的值 矩形的判定(2) 矩形的判定 【教学目标】 1、知识与技能 理解并掌握矩形的判定方法。使学生能运用矩形的定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题，进一步培养学生的分析能力。 2、过程与方法 通过证明性质定理的逆命题为真命题来证明判定定理。 3、情感、态度与价值观 培养逆向思维的能力。 【重点与难点】 1、重点：矩形的判定。 2、难点：矩形的判定及性质的综合应用。 【学前分析】 判定定理都是以“定义”为基础推导出来的。因此本节课要从复习矩形定义下手，并指出由平行四边形得到矩形只需添加一个独立条件。 除了通过定义来判定一个四边形是矩形外，在探究判定定理时要让学生沿着这样

9、的思路进行探究：先构造性质定理的逆命题，然后再去证明逆命题的真假，如能证明逆命题为真命题，那么这个逆命题就成了相应的判定定理。 教学过程 一、复习引入 我们已经知道，有一个角是直角的平行四边形是矩形，这是矩形的定义，我们可以依此判定一个四边形是矩形。除此之外，我们能否找到其他的判定矩形的方法呢？ 教师提问：我们先来回忆矩形的定义与性质。 学生回答后教师加以总结： 有一个角是直角的平行四边形是矩形。 矩形是一个中心对称图形，也是一个轴对称图形。 矩形除了有平行四边形的所有性质外，还具有如下的性质：两条对角线相等且互相平分；四个内角都是直角。 教师讲解：我们借鉴上一节的探究方法。要判定一个四边形是

10、矩形，可以从定义入手，一方面证明它是一个平行四边形；另一方面证明这个四边形有一个角是直角。 我们还可以像上节那样，将矩形性质定理的条件与结论相交换，形成一个逆命题，然后证明这个逆命题是真命题，从而得到一个判定定理。 设计意图：通过复习前面学习的矩形的性质，引出本节要学习的内容. 二、探究新知 （一）判定定理1的探究与证明 教师提问：矩形的第1条性质：“矩形的两条对角线相等且互相平分”的逆命题是什么？ 学生回答后教师加以总结：上述性质定理的逆命题是：两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形。 学生动手测量:数学书的对角线是否相等 通过实践，我们由此可以得到判定矩形的一种方法： 对角线相等的平行四边

11、形是矩形，或对角线互相平分且相等的四边形是矩形。 结论的证明很简单。 在平行四边形ABCD中，对角线AC与对角线BD相等，我们可以证明四边形ABCD是矩形。教师讲解该题的证明过程并板书。 教师讲解：这一判定方法在生活中有许多用处，木工师傅在制作门框或其他矩形的物体时，常用测量对角线的方法来检验产品是否符合要求。 设计意图：让学生经历实验、验证的过程，发现对角线相等的平行四边形是矩形.并严格证明，让学生直观地得到只需证明两个三角形全等就可以得出结论 （二）判定定理2的探究与证明 教师通过提醒拓展学生的思路：由矩形的另一条性质：“矩形的四个内角都是直角”，它的逆命题是什么？如果我们能证明这个命题是

12、真命题，我们也就得到了矩形的另一个判定定理。实际上，由于四边形的内角和是360，所以只要有3个角都是直角，则第四个角也一定是直角。这样我们只要去证“三个内角都是直角的四边形是矩形”这个命题是真命题就可以了。 由此得到了判定矩形的又一种方法：有三个内角是直角的四边形是矩形。 教师要求学生自己证明，并向学生提示，可以通过同旁内角互补两直线平行这个定理来证明满足条件的四边形是平行四边形，然后再证矩形。学生证明后教师板书证明过程。 已知：四边形ABCD中，ABC90。 求证：四边形ABCD是矩形。 证明：AB90， A与B互补。 ADBC。 BC90， C与B互补。 ABDC 四边形ABCD是平行四边

13、形。 又B90，四边形ABCD是矩形。 设计意图：让学生经历猜想、探索、验证的过程，发现有三个角是直角的四边形是矩形这一判定方法 【例题讲解】 例1 如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA=OD，OAD=50，求OAB 的度数 教师要求学生叙述证明过程，并同步纠正学生叙述的错误，同时板书 设计意图：通过师生的分析、思考，培养学生的分析能力及逻辑推理能力，通过例题讲解，启发学生的思维，进一步熟练使用判定定理. 三、随堂练习 1、下列四边形中不是矩形的是（ ） A、有三个角是直角的四边形是矩形 B、四个角都相等的四边形 C、一组对边平行且对角相等的四边形 D、对角线相等且互相平分

14、的四边形 2、下列命题错误的是（ ） A、平行四边形的对边相等 B、两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C、矩形的对角线相等 D、对角线相等的四边形是矩形 参考答案： 1.C 2.D 四、课时总结 有一个是直角的平行四边形是矩形 对角线相等的平行四边形是矩形 有三个角是直角的四边形是矩形。 五、布置作业 课本55页第2题 课本60页第1题 六、板书设计 黑板分为左、中、右三部分，中间与右边用于教师板书课本例题等，写满后擦去更新，左边用于板书以下内容： 有一个角是直角的平行四边形是矩形 对角线相等的平行四边形是矩形。 有三个角是直角的四边形是矩形。 【教学反思】 本课的设计力求体现： 1.数学

15、问题生活化 2.培养学生观察、交流、分析、归纳的能力 3.让学生充分经历知识形成的全过程 4.鼓励学生主动参与、主动探索、主动思考、主动实践 矩形的判定(3) 矩形的判定(4) 202矩形的判定 预习导航学案 激活思维 1请你画一个矩形，并画出它们的对角线观察图形，你能说出它有哪些性质吗试一试 2_叫做矩形 3矩形的对边_；四个角都是_；对角线_。 4_的平行四边形是矩形 对角线_的平行四边形是矩形 有三个角是直角的四边形是_形 信息鼠标 1(略) 2有一个内角是直角的平行四边形 3相等 直角 相等 4有一个角是直角 相等 矩 互动研学教练 教材研学 一、矩形的性质回顾 1矩形的性质 （1）矩

16、形具有平行四边形的一切性质； （2）矩形对角线相等； （3）矩形的四个角都是直角； （4）矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形对称轴有两条，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两对角线的交点 2矩形性质的图形说明 如图2021，在矩形ABCD中， 从边上看： ABCD，AB=CD；ADBC，AD=BC 从对角线上看： AC=BD 且OA=OB=OC=OD。 从角上看： ABCBCDCDADAB90 老师：根据上面矩形的性质分析可得直角三角形的一个什么性质 小弘：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半如：在RtABC中，O是斜边AC的中点，则AC=2OB 二、矩形的判定 如图2022

17、 1利用定义判别 平行四边形016b9b69b36e8295dc938b0c61439a72.png矩形 2利用对角线判别 对角线相等的平行四边形是矩形； 对角线平分且相等的四边形是矩形 即：在平行四边形ABCD中， 若AC=BD，则平行四边形ABCD是矩形； 在四边形ABCD中，若AC=BD，且OAOC、OB=OD， 则四边形ABCD是矩形 3利用角判别 四个角是直角的四边形是矩形即：在四边形ABCD中，若ABCD90，则四边形ABCD是矩形实际证明中，只要证明出三个角为直角即可 三、矩形的应用 （1）用以证明线段相等或平分或倍数关系； （2）直角三角形两锐角互余； （3）直角三角形斜边上的

18、中线等于斜边的一半； （4）直角三角形中30角所对的直角边等于斜边的一半； （5）证明两条直线垂直 四、探究活动 如果一个三角形和一个矩形满足条件：三角形的一边与矩形的一边重合，且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上，则称这样的矩形为三角形的“友好矩形”如图20一23，矩形ABEF即为ABC的“友好矩形”，显然，当ABC是钝角三角形时，其“友好矩形”只有一个 问题：仿着上述叙述，画出直角三角形的“友好矩形”，并比较这些矩形面积的大小 分析：考察直角三角形的每一条边与矩形重合的情形，当以两条直角边为边作矩形时，这两个矩形重合，即为一个，所以直角三角形的“友好矩形”有两个 探究：如图20一23

19、，若ABC为直角三角形，且C=90，在图2023中画出ABC的所有“友好矩形”，此时共有2个矩形，如图2024中的BCAD、ABEF；易知，矩形BCAD、ABEF的面积等于ABC面积的2倍，ABC的“友好矩形”的面积相等 结论：直角三角形有两个“友好矩形”，且这两个矩形的面积相等 点石成金 例1如图2025所示，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE BD于E，则： （1）图中与BAE相等的角有_； （2）若AOB=60，则AB：BD_。图中DOC是_三角形（按边分） 解析：这是一道直接考查矩形特征的例题，在解答时，我们应充分考虑矩形的特征及与之相关的知识，例如在寻找与BAE相等的

20、角时，看清BAE的形成，即为过A作AEBD所形成，则BAE+EAD=90，而ADB+EAD=90，故BAE=ADB又因为ADB=DBC= DAC，由此找与BAE相等的角就不难了；至于在第（2）问求AB：BD的方法，可根据题目的特殊条件及图形的特殊性找到结论 答案（1）ADB，DBC，ACB，DAC （2）1：2 等边 名师点金：找角时一定要找全，不能漏掉 例2如图2026所示，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，已知AC=6 om，BOC=120求： （1） ACB的度数； （2）求AB、BC的长度 分析：本题是对矩形性质的考查（1） 要求ACB的度数，而已知BOC120， BOC中

21、，由矩形的性质，知OBOC，从 而OBC=ACB由此可求出ACB（2）在RtACB中，对角线 AC=6cm，第（1）问已求出ACB=30，因此AB即可求出然后 利用勾股定理求出BC的长 解：（1）在矩形ABCD中，对角线AC与BD互相平分且相等，于是OB=OC，所以OBCACB，故 ACB 93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png （180一120）30 （2）矩形ABCD中，ABC=90，又ACB=30，因此30角所对直角边AB等于斜边AC的一半，即AB93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.pngAC3cm，BC41b60df3a0

22、8b28b0f5b8546e6465eabe.png（cm） 名师点金：矩形问题通常通过对角线将其转化为等腰三角形或直角三角形来解决 例3已知ABCD的对角线AC，BD相交于O，ABO是等边三角形，AB4 cm，求这个平行四边形的面积（图20一27) 分析：（1）先判定ABCD为矩形。（2）求出RtABC的 直角边BC的长。（3）计算SABBC 解：四边形ABCD是平行四边形。ABODCO 又ABO是等边三角形 DCO也是等边三角形，即AOBOCODO ACBD ABCD为矩形。 在RtABC中，BAC60，ABC90 BC91a24814efa2661939c57367281c819c.pn

23、gAB，即BC491a24814efa2661939c57367281c819c.pngcm word/media/image13.gifS ABCDABAC1691a24814efa2661939c57367281c819c.pngcm2 名师点金：本题首先判定平行四边形是矩形，再利用矩形的面积公式来计算 例4 (1)利用左栏的探究结论说明什么是三角形的“友好平行四边形” (2)若ABC为锐角三角形，且BC矩形的判定(5) 第2课时 矩形的判定 1.能应用矩形定义、判定定理，解决简单的证明题和计算题，进一步培养分析能力. 2.培养综合应用知识分析解决问题的能力. 自学指导：阅读课本54页至5

24、5页，完成下列问题. (1)角：有一个角是直角的平行四边形是矩形. 有三个角是直角的四边形是矩形. (2)对角线：对角线相等的平行四边形是矩形. 对角线相等且互相平分的四边形是矩形. 知识探究 1.根据定义双重性，可以得出判定矩形的一种方法：有一个角是直角的平行四边形是矩形. 2.工人师傅为了检验两组对边相等的四边形窗框是否成矩形，一种方法是量一量这个四边形的两条对角线长度，如果对角线长相等，则窗框一定是矩形，你知道为什么吗？ 命题：对角线相等的平行四边形是矩形. 已知：平行四边形ABCD如图，AC=BD. 求证：四边形ABCD是矩形. 根据平行四边形的对边相等，再加上AC=BD，AB=AB得

25、出ABCBAD,得出ABC=BAD；又ADBC,得出ABC+BAD=180，ABC=BAD=90.对角线相等的平行四边形是矩形. 3.李芳同学用四步画出了一个四边形，她的画法是“边直角、边直角、边直角、边”，她说这就是一个矩形，她的判断对吗？为什么？ 命题：有三个角是直角的四边形是平行四边形. 已知：四边形ABCD，A=B=C=90. 求证：四边形ABCD是矩形. A=B=90得出ADBC,B=C=90得出ABDC，得出四边形ABCD是平行四边形，又有角是90，所以是矩形. 自学反馈 1.能够判断一个四边形是矩形的条件是( C ) A.对角线相等 B.对角线垂直 C.对角线互相平分且相等 D.

26、对角线垂直且相等 2.矩形的一组邻边分别长3 cm和4 cm，则它的对角线长5cm. 3.如图，直线EFMN，PQ交EF、MN于A、C两点，AB、CB、CD、AD分别是EAC、MCA、NCA、FAC的角平分线， (1)AB和CD、BC和AD的位置关系？ 解：ABCD，BCAD. (2)ABC、BCD、CDA、DAB各等于多少度？ 解：90. (3)四边形ABCD是( C ) A.菱形 B.平行四边形 C.矩形 D.不能确定 (4)AC和BD有怎样的大小关系？为什么？ 解：相等.因为矩形的对角线相等. 活动1 小组讨论 例 如图，在平行四边形ABCD中，E,F为BC上两点，且BECF，AFDE.

27、 求证：(1)ABFDCE；(2)四边形ABCD是矩形. 证明：(1)四边形ABCD是平行四边形， AB=CD. 又BECF，BE+EFCF+EF，BF=CE. 在ABF与DCE中，AB=CD，BF=CE，AFDE， ABFDCE. (2)ABFDCE，B=C 平行四边形ABCD,ABCD, B+C=180,B=90, 四边形ABCD是矩形. 矩形的判定通常有两种情况： (1)先证四边形是平行四边形，再证有一个角是直角或对角线相等. (2)直接证四边形有三个角是直角. 活动2 跟踪训练 1.下列四边形中不是矩形的是( C ) A.有三个角是直角的四边形是矩形 B.四个角都相等的四边形 C.一组

28、对边平行且对角相等的四边形 D.对角线相等且互相平分的四边形 2.如果E、F、G、H是四边形ABCD四条边的中点，要使四边形EFGH是矩形，那么四边形ABCD应具备的条件是( C ) A.一组对边平行而另一组对边不平行 B.对角线相等 C.对角线互相垂直 D.对角线相等且互相平分 3.已知：如图，ABCD的四个内角的平分线分别相交于E、F、G、H. 求证：四边形EFGH为矩形. 证明：ABCD,ADBC, BAD+ABC=180. 又BG、AE平分ABC与BAD, BAF+ABF=90,即AFB=90, EFG=AFB=90. 同理：FEH=FGH=GHE=GFE=90， 四边形EFGH为矩形

29、. 4.已知平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AOB是等边三角形，AB=4 cm. (1)平行四边形是矩形吗？说明你的理由. (2)求这个平行四边形的面积. (1)是.AOB是等边三角形，AO=BO=4 cm根据平行四边形对角线互相平分，可得AC=BD=8 cm.由对角线相等的平行四边形是矩形可知平行四边形ABCD是矩形. (2)矩形一边是4 cm，根据勾股定理可知另一边为word/media/image10_1.png=4word/media/image11_1.png(cm).故面积为16word/media/image11_1.png(cm2). 活动3 课堂小结 矩形的判定

30、方法： 1.定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形. 2.对角线相等的平行四边形是矩形. 3.有三个角是直角的四边形是平行四边形. 矩形的判定(6) 20.2矩形的判定 教案 一、教学目标： 1. 知识与技能：经历并了解矩形判定方法的探索过程，使学生逐步掌握说理的基本方法；掌握矩形的判定方法，能根据判定方法进行初步运用。 2. 过程与方法：在探索判定方法的过程中发展学生的合理推理意识、主动探究的习惯，在画矩形的过程中，培养学生动手实践能力，积累数学活动经验。 3. 情感态度与价值观：激发学生学习数学的热情，培养学生勇于探索的精神和独立思考合作交流的良好习惯，体验数学活动来源于生活又服务于生活，

31、提高学生的学习兴趣。通过与他人的合作，培养学生的合作意识和团队精神。 二、教学重点与难点： 教学重点：探索矩形的判定方法、突破方法：为了突出重点，以学生自主探索、合作交流为主，提出问题，让学生动眼观察，动脑猜想，动手验证，进而掌握矩形的判定方法。 教学难点：判定方法的理解和初步运用，突破方法采用教师引导和学生合作的教学方法，及化归的数学思想。 三、教具准备： 教师：三角板、 圆规 学生： 三角板、圆规、白纸 四、教学过程 （一）自学导纲 1、创设情境 导入新课 师：请同学们观察教室的门窗是什么形状？ 工人师傅在制作这些门窗时，是怎样验证它们是矩形的？本节老师将带领大家一起探讨这一问题。 （板书

32、课题 20.2 矩形的判定） 2、复习回顾：矩形的有关知识 （二）合作互动 探究新知 探究性问题1：对角线相等的平行四边形是否是矩形？ 请同学们用圆规和直尺画对角线相等的平行四边形，并与同桌交流一下，这是个什么图形？ 生：汇报 师：这像个矩形，如何用逻辑推理的方法验证，请同学们小组合作，讨论验证。 生：小组合作交流 师：请同学们说说你的证明过程（学生回答） 由此你能得出什么结论？ _ 通过动手操作和逻辑推理明白它是个真命题，我们把它做为矩形的判定定理1（板书定理1）判定定理1 对角线相等的平行四边形是矩形。 2、用几何符号应怎样表示？ 3 、刚才我们验证了问题1，那么我们看问题2？ 师：请大家

33、画一个有三个角为直角的四边形与同桌交流一下是什么图形 生：矩形 师：能用推理的方法进行证明吗？ 请同学们小组之间相互交流讨论验证 将你思考的结果告诉大家。有没有不同的意见。 通过验证，我们明白它是一个真命题，因此，我们又得到一个矩形的判定定理判定定理2 有三个角是直角的四边形是矩形。 用几何符号怎样表示？ 判断：下列说法是否正确。 。（1）有三个角都相等的四边形是矩形。 （2）四个角都相等的四边形是矩形。 （3）有一个角是直角的四边形是矩形 通过我们齐心协力的合作，得出了矩形三种判定方法，请同学们齐读一遍。 生： 师：大家对这三种方法理解的如何呢？。请看 例1：如图，O是矩形ABCD的对角线A

34、C与BD的交点，E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO上的一点，且AE=BF=CG=DH。 求证：四边形EFGH是矩形。 分析：要判定一个四边形是矩形有几种方法？已知什么？可用什么判定方法？ 生完成证明过程： 师示范：证明：四边形ABCD是矩形 AC=BD AO=BO=CO=DO（矩形对角线相等且互相平分） AE=BF=CG=DH OE=OF=OG=OH， 四边形EFGH是平行四边形 EO+OG=FO+OH 即EG=FH 四边形EFGH是矩形（对角线相等且互相平分的四边形是矩形） 变式： 已知：如图矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO的中点。

35、 求证：四边形EFGH是矩形 回顾情境问题 （三）、导学归纳： 1、本节课你主要学习了什么内容？ 2、矩形判定的方法有几种？ 3、在证明判定定理一时，通过平行四边形和三角形之间的相互转化，渗透了_数学方法。 4、学习了本节之后，你还有什么困惑？ （四）、反馈训练 1、根据所学知识填表。 文字描述 图形 几何语言 定义 有一个角是直角的平行四边形是矩形 四边形ABCD是平行四边形，B=90 四边形ABCD是矩形 定理一 四边形ABCD是平行四边形，AC=BD 四边形ABCD是矩形 定理二 有三个角是直角的四边形是矩形 2、如图，AB、CD是圆O的两条直径，则四边形ABCD是_。 3、如图平行四边

36、形ABCD中，12,此时四边形ABCD是矩形吗？为什么？ 思考题：在平行四边形ABCD中，各内角的平分线分别相交于点E、F、G、H, 试判断四边形EFGH的形状，并说明理由 （五）作业布置 P110 12 矩形的判定(7) 19.1.2矩形的判定 教学目标 一、知识与技能：经历并了解矩形判定方法的探索过程，使学生逐步掌握说理的基本方法；掌握矩形的判定方法，能根据判定方法进行初步运用。 二、过程与方法：在探索判定方法的过程中发展学生的合理推理意识、主动探究的习惯，在画矩形的过程中，培养学生动手实践能力，积累数学活动经验。 三、情感态度与价值观：激发学生学习数学的热情，培养学生勇于探索的精神和独立

37、思考合作交流的良好习惯，体验数学活动来源于生活又服务于生活，提高学生的学习兴趣。通过与他人的合作，培养学生的合作意识和团队精神。 教学重点与难点： 重 点：探索矩形的判定方法、突破方法。 难 点：判定方法的理解和初步运用。 教具准备： 教师：三角板、 圆规、多媒体辅助教学 学生： 三角板、圆规、白纸 教学过程 一、知识回顾 ； 1、矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(定义判定) 几何语言： A=90 平行四边形ABCD （已知） 四边形ABCD是矩形（矩形的定义） 2、矩形的性质： 角：矩形的四个角都是直角 对角线；矩形的对角线相等 对称性：中心对称和轴对图形。 3、直角三角形斜边

38、上的中线等于斜边的一半 （1、矩形的定义是矩形最原始的判定，也是证明其它判定得出的基础。2、性质与判定互为逆定理，复习性质对判定的猜想有所帮助。） 二、新知探究： 矩形的定义 除了定义判定之外，你还有其它的判定方法吗？ 情境一：李芳同学用四步画出了一个四边形，她的画法是“边直角、边直角、边直角、边”这样，她说这就是一个矩形，她的判断对吗？为什么？ 你也画一画？会是矩形吗？ 1、 猜想矩形的判定，它是矩形哪个性质的逆命题。用自己的语言说。 教师板书：有三个直角的四边形是矩形。 2、要求学生用语言叙述证明这个定理的证明思路。（提示学生要证明与定义符合，） 3、定理的几何语言。 在四边形ABCD中

39、A= B= C= 90（已知） 四边形ABCD是矩形（有三个直角的四边形是矩形） 情境二：工人师傅为了检验两组对边相等的四边形窗框是否成矩形，一种方法是量一量这个四边形的两条对角线长度，如果对角线长相等，则窗框一定是矩形，你知道为什么吗？ 1、 猜想矩形的判定，它是矩形哪个性质的逆命题。用自己的语言说。 2、要求学生用语言叙述证明这个定理的证明思路。（提示学生要说明与定义符合教师用课件演示证明过程） 3、定理的几何语言。 AC= BD， ABCD是平行四边形（已知） ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形） （改变教材判定定理的顺序的想法有1、定义判定为：“有一个角是直角的平行四边形叫做

40、矩形”接着学习“三个直角的任意四边形”的判定衔接较好；2、按照性质定理的顺序学习逆定理，学生也易接受） 归纳矩形的三种判定方法： 方法1：有一个角是直角的平行四边形是矩形。 方法2：有三个角是直角的四边形是矩形 。 方法3：对角线相等的平行四边形是矩形 。 三、典型例题 例1、已知MNPQ，同旁内角的平分线AB、BC和AD、CD分别相交于点B、D （1）说说AB和CD、BC和AD的位置关系？。 （2） ABC 、 BCD、 CDA、 DAB各等于多少度？ （3）你能判定四边形ABCD是矩吗？为什么？ （4）AC和BD有怎样的大小关系？为什么？ （1、例题设置梯度是为了减小难度，第3问是为了让学

41、生用不同的方法判定矩形。并能从中选择较为简单的方法去解决问题。2、要求学生用语言说理表达，训练学生的口关表达能力，也可以提高课堂效率。） 四、随堂练习： 1、下列四边形中不是矩形的是（ ） A、有三个角是直角的四边形是矩形 B、四个角都相等的四边形 C、一组对边平行且对角相等的四边形 D、对角线相等且互相平分的四边形 2、如果E、F、G、H是四边形ABCD四条边的中点，要使四边形EFGH是矩形，那么四边形ABCD应具备的条件是（ ） A、一组对边平行而另一组对边不平行 B、对角线相等 C、对角线互相垂直 D、对角线相等互相平分 3、已知：如图，平行四边形 ABCD的四个内角的平分线分别相交于E

42、、F、G、H，求证：四边形 EFGH为矩形 4、已知平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AOB是等边三角形，AB=4cm （1）平行四边形是矩形吗？说明你的理由（2）求这个平行四边形的面积 五、课堂小结 矩形的三种判定方法 方法1：有一个角是直角的平行四边形是矩形。 方法2：有三个角是直角的四边形是矩形 。 方法3：对角线相等的平行四边形是矩形 。 六、板书设计： 19.1.2矩形的判定 一、知识回顾 ； 定义判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形。（方法一） 二、新知探究： （一）、情境一：有三个角是直角的四边形是矩形 。（方法二） （二）、情境二：对角线相等的平行四边形是矩形 。

43、（方法三） 三、例题： 七、课后反思： 矩形的判定(8) 矩形的性质与判定 1（1）矩形的定义中有两个条件：一是 ，二是 （2）已知矩形的一条对角线与一边的夹角为30，则矩形两条对角线相交所得的四个角的度数分别为 、 、 、 2下列说法错误的是（ ） A、矩形的对角线互相平分B、矩形的对角线相等 C、有一个角是直角的四边形是矩形 D、有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 3.矩形的对角线把矩形分成的三角形中全等三角形一共有（ ） A、2对 B、4对 C、6对 D、8对 4已知矩形的一条对角线长为10cm，两条对角线的一个交角为120，则矩形的边长分别为_cm， cm， cm， cm 5、已知：如

44、图 ，矩形 ABCD中，AB长8 cm ，对角线比AD边长4 cm求AD的长及点A到BD的距离AE的长 6、 下列各句判定矩形的说法是否正确？为什么？ （1）有一个角是直角的四边形是矩形； （ ） （2）有四个角是直角的四边形是矩形； （ ） （3）四个角都相等的四边形是矩形； （ ） （4）对角线相等的四边形是矩形； （ ） （5）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形； （ ） （6）对角线互相平分且相等的四边形是矩形； （ ） （7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形； （ ） （8）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形；（ ） （9）两组对边分别平行，且对角线相等的四边形

45、是矩形 ( ) 7工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行： 先截出两对符合规格的铝合金窗料（如图），使ABCD，EFGH； 摆放成如图的四边形，则这时窗框的形状是 形，根据的数学道理是： ； 将直角尺靠紧窗框的一个角（如图），调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时（如图），说明窗框合格，这时窗框是 形，根据的数学道理是： ； 8矩形的两条对角线的夹角为60，对角线长为15cm，较短边的长为（ ） (A)12cm (B)10cm (C)7.5cm (D)5cm 9、如图，矩形ABCD中，AC与BD交于O点，word/media/image3_1.png于E，word/media/im

46、age4_1.png于F。求证BE=CF。 word/media/image5.gif 10、已知，在矩形ABCD中，AE平分BAD，1=45，求证：BO=BE word/media/image6.gif 11、 如图所示，E为ABCD外，AECE,BEDE，求证：ABCD为矩形 word/media/image7.gif 12、如图，在ABC中，BE、CF是高，点M、N分别是BC、EF的中点，求证：MNEF 13、如图，在ABC中，ACB=90，点D、E分别是AC、AB的中点，点F在BC的延长线上，且CDF=A，求证：四边形DECF是平行四边形 14、如图，直线EFMN，PQ交EF、MN于A

47、、C两点，AB、CB、CD、AD分别是EAC、MCA、ACN、CAF的角平分线，求证：四边形ABCD是矩形 word/media/image10_1.png 15、如图，在ABC中，C=90，AC=BC，AD=BD，PEAC于E，PFBC于F，求证：DE=DF 11、如图，已知矩形ABCD，从顶点C作对角线BD的垂线与BAD的平分线交与点E，求证：BD=CE word/media/image13.gif12、如图所示，ABC中，点O是AC边上一个动点，过点O作直线MNBC，设MN交BCA的平分线于E，交BCA的外角平分线于点F. (1)求证：EO=FO (2)当点O运动到何处时，四边形AECF

48、是矩形？并证明你的结论. 菱形的性质与判定 1_的平行四边形叫做菱形 2如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,则AB=AD=_=_,即菱形的_相等，图中的等腰三角形有_，直角三角形有_，AOD_ word/media/image14.gif_，由此可以得出菱形的对角线_,每一条对角线_ 3按图示的虚线折纸，然后连接ABCD可得菱形，由此可以得 到_的四边形是菱形 4木工做菱形窗棂时总要保持四条边框一样长，道理是_ 5菱形的对角线长分别为6和8,则这个菱形的周长是_，面积是_ 6下面性质中，菱形不一定具有的是（ ） A对角线相等 B是中心对称图形 C是轴对称图形 D对角线互相平分

49、7菱形的周长为20 cm，两邻角的比为1:2，则较短对角线的长是_；一组对边的距离是_ 8填空：（1）对角线互相平分的四边形是 ； （2）对角线互相垂直平分的四边形是_；（3）对角线相等且互相平分的四边形是_； （4）两组对边分别平行，且对角线 的四边形是菱形 9、下列条件中，能判定四边形是菱形的是 （ ） （A）两条对角线相等 （B）两条对角线互相垂直 （C）两条对角线相等且互相垂直 （D）两条对角线互相垂直平分 10已知：如图，菱形ABCD中，E、F分别是CB、CD上的点，且BE=DF 求证：AEF=AFE 11如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，DEAC，CEBD，DE和CE相交于E，

50、求证：四边形OCED是菱形。 word/media/image16.gif 12、如图，在ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，连结DE，BF，BD (1)求证：ADECBF (2)若ADBD，则四边形BFDE是什么特殊四边形请证明你的结论 13、已知：如图，M是等腰三角形ABC底边BC上的中点，DMAB，EFAB，MEAC，DGAC求证：四边形MEND是菱形 课后作业 1、若四边形ABCD为平行四边形，请补充条件 使得四边形ABCD为菱形 2、如图1，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AOB=2BOC， 若对角线 AC=6cm，则周长= ，面积= 。 3.如图2，菱形ABCD的

51、边长为8cm，BAD=120，则AC= ,BD= ,面积= 。 4.如图3，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A、C重合）且PEBC交AB于E，PFCD交AD于F，则阴影部分的面积是 word/media/image19.gif 图1 图2 图3 5.顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是（ ） A.等腰梯形 B.正方形 C.平行四边形 D.矩形 6.如图，四边形cb08ca4a7bb5f9683c19133a84872ca7.png为矩形纸片把纸片cb08ca4a7bb5f9683c19133a84872ca7.png折叠，使点9d5ed678fe57b

52、cca610140957afab571.png恰好落在4170acd6af571e8d0d59fdad999cc605.png边的中点3a3ea00cfc35332cedf6e5e9a32e94da.png处，折痕为06fa567b72d78b7e3ea746973fbbd1d5.png若60944b1c9f37041bdaf51540b10ada6d.png，则06fa567b72d78b7e3ea746973fbbd1d5.png等于（ ） word/media/image28.gifA9f525fcad8e41db98394ae9281e4da10.png B84507545f131b7

53、108866546c72caaa20.png C39b4572b4316b034d8778c77bd53db35.png Dc9f0f895fb98ab9159f51fd0297e236d.png word/media/image33.gif 7已知如图，菱形ABCD中，ADC=120，AC=b9232d564821c2ab1ddf0fb8edad1989.png， （1）求BD的长；（2）求菱形ABCD的面积， （3）写出A、B、C、D的坐标. 矩形的判定(9) 矩形的判定教学反思 矩形的判定是九年制义务教育新课程标准八年级第十八章第二节第二课时的内容。 首先复习矩形的定义，再从边角对角线三

54、方面学习矩形的性质。我抛出工人师傅在工作中使用卷尺和量角器是如何确保窗户是矩形的，引发学生的思考与讨论，进而引出本节新授课。 通过类比的方法确定了矩形的定义为第一种判定，再类比平行四边形的判定方法，改写矩形的性质的条件与结论，提出合理的猜想。 师生合作证明矩形的判定，教师引领学生及时归纳，并识记其几何语言，至此学生自己也就解释了工人师傅的工作原理。 巩固练习环节，一道以直角梯形为背景的动点问题将本节课知识提升档次，培养学生综合思考分析问题的能力。 矩形的判定(10) 19.2.1 矩形(二) 一、教学目标： 1理解并掌握矩形的判定方法 2使学生能应用矩形定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算

55、题，进一步培养学生的分析能力 二、重点、难点 1重点：矩形的判定 2难点：矩形的判定及性质的综合应用 三、例题的意图分析 本节课的三个例题都是补充题，例1在的一组判断题是为了让学生加深理解判定矩形的条件，老师们在教学中还可以适当地再增加一些判断的题目；例2是利用矩形知识进行计算；例3是一道矩形的判定题，三个题目从不同的角度出发，来综合应用矩形定义及判定等知识的 四、课堂引入 1什么叫做平行四边形？什么叫做矩形？ 2矩形有哪些性质？ 3矩形与平行四边形有什么共同之处？有什么不同之处？ 4事例引入：小华想要做一个矩形像框送给妈妈做生日礼物，于是找来两根长度相等的短木条和两根长度相等的长木条制作，你

56、有什么办法可以检测他做的是矩形像框吗？看看谁的方法可行？ 通过讨论得到矩形的判定方法 矩形判定方法1：对角钱相等的平行四边形是矩形 矩形判定方法2：有三个角是直角的四边形是矩形 （指出：判定一个四边形是矩形，知道三个角是直角，条件就够了因为由四边形内角和可知，这时第四个角一定是直角） 五、例习题分析 例1（补充）下列各句判定矩形的说法是否正确？为什么？ （1）有一个角是直角的四边形是矩形； （） （2）有四个角是直角的四边形是矩形； （） （3）四个角都相等的四边形是矩形； （） （4）对角线相等的四边形是矩形； （） （5）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形； （） （6）对角线互相平分且相

57、等的四边形是矩形； （） （7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形； （） （8）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形；（） （9）两组对边分别平行，且对角线相等的四边形是矩形 () 指出： （l）所给四边形添加的条件不满足三个的肯定不是矩形； （2）所给四边形添加的条件是三个独立条件，但若与判定方法不同，则需要利用定义和判定方法证明或举反例，才能下结论 例2 （补充）已知 ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AOB是等边三角形，AB=4 cm，求这个平行四边形的面积 分析：首先根据AOB是等边三角形及平行四边形对角线互相平分的性质判定出ABCD是矩形，再利用勾股定理计算边

58、长，从而得到面积值 解： 四边形ABCD是平行四边形， AO=AC，BO=BD AO=BO， AC=BD ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形） 在RtABC中， AB=4cm，AC=2AO=8cm， BC=（cm） 例3 （补充）已知：如图（1），ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H求证：四边形EFGH是矩形 分析：要证四边形EFGH是矩形，由于此题目可分解出基本图形，如图（2），因此，可选用“三个角是直角的四边形是矩形”来证明 证明： 四边形ABCD是平行四边形， ADBC DABABC=180 又 AE平分DAB，BG平分ABC ， EABABG=180=90 A

59、FB=90 同理可证 AED=BGC=CHD=90 四边形EFGH是平行四边形（有三个角是直角的四边形是矩形） 六、随堂练习 1（选择）下列说法正确的是（ ） （A）有一组对角是直角的四边形一定是矩形（B）有一组邻角是直角的四边形一定是矩形 （C）对角线互相平分的四边形是矩形 （D）对角互补的平行四边形是矩形 2已知：如图，在ABC中，C90，CD为中线，延长CD到点E，使得 DECD连结AE，BE，则四边形ACBE为矩形 七、课后练习 1工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行： 先截出两对符合规格的铝合金窗料（如图），使ABCD，EFGH； 摆放成如图的四边形，则这时窗框的形状是 形，根据的

60、数学道理是： ； 将直角尺靠紧窗框的一个角（如图），调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时（如图），说明窗框合格，这时窗框是 形，根据的数学道理是： ； 2在RtABC中，C=90，AB=2AC，求A、B的度数 矩形的判定(11) 矩形的性质和判定 一、基础知识 （一）矩形的定义 有一个角为直角的平行四边形叫做矩形。 （二）矩形的性质： 1.矩形具有平行四边形的一切性质； 2.矩形的对角线相等； 3.矩形的四个角都是900； 4.矩形是轴对称图形； 边 角 对角线 对称性 矩形 对边平行且相等 四个角都是直角 互相平分且相等 轴对称，中心对称 （三）矩形的判定： 1.有一个角是直角