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1、5.3 凑微分法和分部积分法二、分部积分法一、凑微分法一 凑微分法（第一换元积分法）1 方法：2 操作方法：3 常见的换法：依微分的计算有如下一些常用换法4 举例例1 求下列不定积分例2 求下列不定积分5 有理函数 的不定积分（补） 若为假有理分式，则首先用多项式除法将有理函数变为多项式与真有理分式的积分，而多项式的积分比较容易求得，因而有理分式的积分问题关键是真有理分式的积分问题，真有理分式的积分主要有以下几个方面：（1）分母为一次形式：（2）分母为二次形式： 若分母能因式分解，则用待定系数法将被积函数拆成两个分母为一次的分式的和，然后用（1）的结论。 若分母不能因式分解，则对分母进行配方，

2、然后利用反正切函数的基本积分公式求解。（3）分母为三次或三次以上：则首先将分母分解成一次和二次的乘积，然后用待定系数法将其拆分成分母为一次和二次的分式积分，再利用（1）或（2）的结论求解。例3 求下列不定积分解：首先用待定系数法拆分 比较两边分子，恒等式要求相同次数的系数必须全相等，因此有：例4 求下列不定积分1 方法：或：2 证明：两边同时不定积分，则有：二 分部积分法3 说明： （2）此法常用于计算两类性质不同函数乘积的不定积分，在计算中关键是u(x)与v(x)的选择问题，选择得当，计算将简化；否则会更复杂，有时甚至无法求出。如 （3）一般的选择原则：在选择u(x)与v(x)上，一般来说，

3、有如下规律 反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数、指数函数相乘，将排在前者令为u(x)，排在后者令为v(x)的导数，一般能简化计算。4 举例例1 求下列不定积分例2 求下列不定积分（计算过程中出现方程）例3 求解：所以有递推关系式：特别地有：例4 求下列不定积分：注：积分计算与导数计算的区别 （1）对于一个给定的函数，导数总是可以计算的，而积分则不一定，因为有些函数的原函数虽然存在，但却不能用初等函数来表示。 （2）积分计算方法的规律性较少，它一方面要求对导数的计算非常熟悉，另一方面要求多作题，了解各种函数的积分方法，同时积分计算的复杂程度不在于被积函数的复杂程度，而在于被积函数与基本积分公式的接近程度。 （3）有些积分虽然有一部分不能用初等函数表示，但积分可能可以计算，因为计算过程中不能表示部分可以抵消。如例5. 判断下述运算错在哪里？解答：运算没有错，错在由运算得出0=1的结论。因为不定积分的结果是函数集，而不是一个数。实际上上述等式的左、右两边都有其含义：作业：P

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