六年级奥数分解质因数（二）教师版

1、PAGE |初一数学基础-提高-精英学生版| 第1讲 第页 PAGE 页码 8 / NUMPAGES 总页数 85-3-4.分解质因数教学目标六年级奥数分解质因数二教师版整数唯一分解定理：让学生自己初步领悟“任何一个数字都可以表示为的结构,而且表达形式唯一”知识点拨一、质因数与分解质因数1.质因数：如果一个质数是某个数的约数,那么就说这个质数是这个数的质因数.2.互质数：公约数只有1的两个自然数,叫做互质数.3.分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数.例如：.其中2、3、5叫做30的质因数.又如,2、3都叫做12的质因数,其中后一个式子叫做分解质因数的标准式,在求一个

2、数约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标准式.分解质因数往往是解数论题目的突破口,因为这样可以帮助我们分析数字的特征.4.分解质因数的方法：短除法例如：,是短除法的符号 所以；二、唯一分解定理任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积,即：其中为质数,为自然数,并且这种表示是唯一的.该式称为n的质因子分解式.例如：三个连续自然数的乘积是210,求这三个数.分析：210=2357,可知这三个数是5、6和7.三、部分特殊数的分解；.例题精讲模块一、分数的拆分算式“1”中,不同的汉字表示不同的自然数,则“希望杯” 。【考点】分数的拆分 【难度】1星 【题型】填空【关键词】希望杯,五年级,初赛,

3、第19题,6分三个分数中一定有大于三分之一的,那个数是二分之一,剩下的两个数必有一个大于四分之一,即是三分之一,那么剩下的只能是六分之一.希+望+杯=2+3+6=11【答案】个质数的倒数之和是,则这个质数之和为多少【考点】分数的拆分 【难度】3星 【题型】解答设这个质数从小到大为、,它们的倒数分别为、,计算它们的和时需通分,且通分后的分母为,求和得到的分数为,如果这个分数能够约分,那么得到的分数的分母为、或它们之间的积.现在和为,分母,所以一定是,检验满足.所以这个质数的和为【答案】一个分数,分母是,分子是一个质数现在有下面两种方法： 分子和分母各加一个相同的一位数； 分子和分母各减一个相同的

4、一位数用其中一种方法组成一个新分数,新分数约分后是那么原来分数的分子是多少 【考点】分数的拆分 【难度】3星 【题型】解答因为新分数约分后分母是,而原分母为,由于,所以分母是加上或者减去若是前者则原来分数分子为,但,不是质数；若是后者则原来分数分子是,而是质数所以原来分数分子为【答案】将1到9这9个数字在算式的每一个括号内各填入一个数字,使得算式成立,并且要求所填每一个括号内数字均为质数? 【考点】分数的拆分 【难度】4星 【题型】填空本题中括号内所填的数字要求为个位质数,那么只能是2,3,5,7.将原始代入字母分析有,即有,那么很容易发现只有35-27=1。符合原式的填法为。【答案】求满足条

5、件的a、b的值a、b都是四位数 【考点】分数的拆分 【难度】4星 【题型】解答取1001的两个不同约数x、,得到：,因为x、y都是1001的约数,所以、都是整数所以只需令,就可以了而a、b都要大于1001,要保证a、b都是四位数,所以a、b的比值都要小于10,即x、y的比值小于10而1001的两个互质且比值小于10的约数有以下几组：、所以我们依次取x、y为上面所列的数对中的数,代入a、b的表达式,得到本题的答案：【答案】若,其中a、b都是四位数,且ab,那么满足上述条件的所有数对a,b是 【考点】分数的拆分 【难度】4星 【题型】填空 2004的约数有：1,2004,2,1002,3,668,

6、4,501,满足题意的分拆有：【答案】在下面的括号里填上不同的自然数,使等式成立1；2【考点】分数的拆分 【难度】4星 【题型】填空单位分数的拆分,主要方法是从分母的约数中任意找出两个数和,有： ,从分母的约数中任意找出两个和 ,有： 本题的约数有：,10,2,5例如：选1和2,有：；从上面变化的过程可以看出,如果取出的两组不同的和,它们的数值虽然不同,但是如果和的比值相同,那么最后得到的和也是相同的本题中,从10的约数中任取两个数, 共有种,但是其中比值不同的只有5组：1,1；1,2；1,5；1,10；2,5,所以本题共可拆分成5组具体的解如下： 10的约数有1、2、5、10,我们可选2和5

7、： 另外的解让学生去尝试练习【答案】1 2如果,均为正整数,则最大是多少？【考点】分数的拆分 【难度】4星 【题型】填空【关键词】101中学,分班考试 从前面的例题我们知道,要将按照如下规则写成的形式：,其中和都是的约数。 如果要让尽可能地大,实际上就是让上面的式子中的尽可能地小而尽可能地大,因此应当 取最大的约数,而应取最小的约数,因此,所以.【答案】【考点】分数的拆分 【难度】4星 【题型】填空【答案】在下面的括号里填上不同的自然数,使等式成立【考点】分数的拆分 【难度】4星 【题型】填空先选10的三个约数,比如5、2和1,表示成连减式和连加式则：如果选10、5、2,那么有：另外,对于这类

8、题还有个方法,就是先将单位分数拆分,拆成两个单位分数的和或差,再将其中的一个单位分数拆成两个单位分数的和或差,这样就将原来的单位分数拆成了3个单位分数的和或差了比如,要得到,根据前面的拆分随意选取一组,比如,再选择其中的一个分数进行拆分,比如,所以【答案】已知等式其中a,b是非零自然数,求a+b的最大值。【考点】分数的拆分 【难度】5星 【题型】填空【关键词】华杯赛,决赛,第13题易知,令m,n为互质的一对数,现在要让分母为1,只需m,n是15的一对互质的约数即可。当m,n=1,1时,此时,a+b=60；当m,n=1,3时,此时,a+b=80；当m,n=1,5时,此时,a+b=108；当m,n

9、=1,15时,此时,a+b=256；当m,n=3,5时,此时,a+b=64；所以,a+b的最大值为256。【答案】模块四、分解质因数的综合应用,都是整数,大于,且,那么的最大值为 ,最小值为 。【考点】 【难度】 【题型】填空【关键词】走美杯,3年级,初赛最大值为最小值为【答案】最大为,最小为写出所有数字和为11,数字乘积为20的四位偶数：_【考点】 【难度】 【题型】填空【关键词】走美杯,3年级,初赛本题属于数字拆分,目的就是讲11拆成四个数字和,20拆成4个数字的乘积,需要确定的是个位数字为偶数。根据拆分的特点应该从20开始拆分。先将20分解质因数为：,所以各个数位数字乘积为20的数字有：

10、2、2、5、1；4、5、1、1；数字和分别为10和11,符合条件的是4、5、1、1这四个数字组成的四位偶数,所以答案为1154、1514、5114这3个答案。【答案】1154、1514、5114在做一道两位数乘以两位数的乘法题时,小马虎把一乘数中的数字5看成8,由此得乘积为1872那么原来的乘积是多少? 【考点】分解质因数的综合应用 【难度】3星 【题型】解答1872=22223313=口口口口,其中某个口为8,一一验证只有：1872=4839,1872=7824满足当为1872=4839时,小马虎错把5看成8,也就是错把45看成48,所以正确的乘积应该是4539=1755当为1872=782

11、4时,小马虎错把5看成8,也就是错把75看成78,所以正确的乘积应该是7524=1800所以原来的积为1755或1800【答案】1755或1800两个学生抄写同一个乘法算式,两个乘数都是两位数,他们各抄错了一个数字,于是得到两个不同的算式,但巧合的是,他们计算的结果都是936.如果正确的乘积不能被6整除,那么它等于多少？ 【考点】分解质因数的综合应用 【难度】4星 【题型】解答注意936中有质因数13,故易见将其分解成两个两位数相乘的形式有,这5种可能,由于两人各抄错了一个数字,因此两人的算式中应有两个位置上的数字相同.经枚举可知,他们所抄错的算式可能是,或,.对于第一种情况,两人抄错的是第一

12、个乘数的个位数字和第二个乘数的十位数字,正确的算式应是或,后者乘积是6的倍数,与题意不符,故原算式应为前者,正确的乘法算式是.对后三种情况作类似分析,可得出种可能的原乘法算式,但它们的结果都是6的倍数,不合题意.因此676即为所求.【答案】676在射箭运动中,每射一箭得到的环数或者是“0”脱靶,或者是不超过10的自然数甲、乙两名运动员各射了5箭,每人5箭得到的环数的积都是1764,但是甲的总环数比乙少4环求甲、乙的总环数各是多少？ 【考点】分解质因数的综合应用 【难度】4星 【题型】解答应对应为5个小于10的自然数乘积通常我们会考虑将1764的6个质因数组合为5个因数,从而这5个因数一定都是大

13、于1的,于是得到了如下几种分解情况1764=43377 =26377=22977但是发现其中任何两组的和的差均不是4.原因是我们忽略了在题目叙述实际环境中还会有1环存在,从而要考虑含有因数1的另外2种情况1784=16677=14977所以总的情况对应的和依次为4+3+3+7+7=24,2+6+3+7+7=25,2+2+9+7+7=27,1+6+6+7+7=27,l+4+9+7+7=28对应的和中只有24,28相差4,所以甲的5箭环数为4、3、3、7、7,乙的5箭环数为1、4、9、7、7所以甲的总环数为24,乙的总环数为28。【答案】甲的总环数为24,乙的总环数为28某校师生为贫困地区捐款19

14、95元这个学校共有35名教师,14个教学班各班学生人数相同且多于30人不超过45人如果平均每人捐款的钱数是整数,那么平均每人捐款多少元? 【考点】分解质因数的综合应用 【难度】3星 【题型】解答这个学校最少有35+1430=455名师生,最多有35+1445=665名师生,并且师生总人数能整除19951995=35133,在455665之间的约数只有5133=665,所以师生总数为665人,则平均每人捐款1995665=3元【答案】3张老师带领同学们去种树,学生的人数恰好等分成三组.已知老师和学生共种树312棵,老师与学生每人种的树一样多,并且不超过10棵.问：一共有多少学生？每人种了几棵树？

15、【考点】分解质因数的综合应用 【难度】3星 【题型】解答因为总棵数是每人种的棵数和人数乘积,而每个人种的棵数又不超过10所以通过枚举法来解注意人数是减去1后是3的倍数：,不是3的倍数；,不是3的倍数；,不是3的倍数；,不是3的倍数；,是3的倍数；,不是3的倍数；共有51个学生,每个人种了6棵树.【答案】共有51个学生,每个人种了6棵树某班同学在班主任老师带领下去种树,学生恰好平均分成三组,如果老师与学生每人种树一样多,共种了1073棵,那么平均每人种了棵树？【考点】分解质因数的综合应用 【难度】3星 【题型】解答因为总棵数是每人种的棵数和人数的乘积,所以首先想到的是把1073数相乘,一个数为人

16、数一个数为每人种的棵数,注意到人数是减去1是3倍数,所以人数是37均每人种了29棵。【答案】29幼儿园里给小朋友分苹果,420个苹果正好均分。但今天刚好又新人园一位小朋友,这样每个小朋友就要少分2个苹果。原来有 个小朋友。【考点】分解质因数的综合应用 【难度】3星 【题型】填空【关键词】走美杯,6年级,决赛,第8题,10分上式中只有1430=14+130-2=1528符合题意,所以原有14个小朋友。【答案】2006个弹珠,平均分给若干个人,正好分完若有1人退出,不参加分球,并且弹珠增加10个,则每人可以多分8个原来有 人 【考点】分解质因数的综合应用 【难度】4星 【题型】填空【关键词】走美杯,5年级,决赛,第4题,8分对2006进行分解质因式,得到2006=21759；对2016进行分解质因式得到, 2016=,发现只有1