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文档简介

例1用单调有界定理证明区间套定理.即已知:）单调有界定理成立；）设U知丄为一区间套.欲证：且惟一.证证明思想：构造一个单调有界数列，使其极限即为所求的.为此，可就近取数列（或）.由于因此为递增数列，且有上界（例如）.由单调有界定理，存在又因，而，故且因递减，必使.这就证得最后，用反证法证明如此的惟一.事实上，倘若另有一个则由，证毕导致与相矛盾.例2用区间套定理证明单调有界定理.即已知：）区间套定理成立.）设为一递增且有上界M的数列.的极限.欲证：存在极限证证明思想：设法构造一个区间套，使其公共点即为为此令。记，并取再记，同理取如此无限进行下去，得一区间套根据区间套定理，极限定义证明：，一方面，由于恒为的上界，因此=zn收議例15证明：.证由于这里的级数不能肯定是正项级数，故不能用比较判别法.正确的做法是要使用阿贝尔判别法：因收敛，而单调有界，所以收敛.证毕例16证明：分析由于较难直接求出该级数的部分和，因此无法利用定义来计算级数的和.此时可以考虑把该级数的和看作幕级数在处的值，于是问题转为计算.这可以通过对幕级数在其收敛域内作逐项求导或逐项求积后，化为几何级数而求得.这是一种十分有效的方法，值得好好掌握.证不难知道上述幕级数的收敛域为，经逐项求导得到这已是一个几何级数

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