信息光学习题答案

1、 信息光学习题答案第一章线性系统分析简要说明以下系统是否有线性和平移不变性.（1）g xddxf x;（2）g xfxdx;（3）g xfx;（4）g xfhx2d;（5）fexpj2d解：（1）线性、平移不变； （2）线性、平移不变； （3）非线性、平移不变； （4）线性、平移不变； （5）线性、非平移不变。x 证明 comb comb ( x ) exp( j 2 x ) comb ( x )证明：左边combx 2 n x 1 n ( x 2 n ) 2 (x 2 n ) 2 2 n n 右边 comb ( x ) comb( x ) exp( jx) (x n ) exp( j n n

2、 x)(x n )(x n ) exp( jn n n )(x n )(x n ) ( 1)n(x n )n n 当 n 为奇数时，右边0，当 n 为偶数时，右边2( x 2 n )n 所以当 n 为偶数时，左右两边相等。证明(sinx) comb ( x)证明：根据复合函数形式的 函数公式h( x) ni 1(x x )i h (x )i, h(x ) 0i式中xi是 h(x)=0 的根，h (x ) i表示h ( x)在x xi处的导数。于是12x(x n )(sinx) n comb( x)计算图题所示的两函数的一维卷积。解：设卷积为 g(x)。当-1x0 时，如图题(a)所示，g (

3、x) 1x01 1 1(1 )(1 x )d x x3 2 63图题当 0 x 1 时，如图题(b)所示，g ( x) x1 1 1(1 )(1 x )d x x3 2 63即1 1 1 x x 3 ,3 2 6 1 1 1 g ( x ) x x 33 2 60,1 x 00 x 1 其它计算下列一维卷积。（1）(2 x 3) rectx 1 x 1 x 1 （2） rect rect 2 2 2 （3）comb( x ) rect ( x)解：（1）(2 x 3) rectx 1 1 3 x 1 1 x 2.5 x rect rect 2 2 2 2 2 2 （2）设卷积为 g(x)，当

4、x0 时，如图题(a)所示，g ( x ) x 2d x 20当 0 0，则物平面上的透射光场为U ( x , y ) A exp( jkx ,sin )t ( x , y ) o o o o o oA2 expj 2x osin 1 sin 1 exp j 2x f exp j 2x 2 2 f o osin其频谱为A(,) U ( x , y )o o oA2 sin 1 sin 1 sin f f 2 2 由此可见，相对于垂直入射照明，物频谱沿轴整体平移了 sin/ 距离。（ 2 ）欲使像面有强度变化，至少要有两个频谱分量通过系统。系统的截至频率 D / 4f c，于是要求sinD D

5、sin D, f 4f 4f 4f由此得f oD Dsin 4 f 4 f（1）角的最大值为maxDarcsin4 f（2）i o2iiioo此时像面上复振幅分布和强度分布为U ( x , y ) i i iA exp j 2x2iD 11 exp( j 2x f ) 4f 2A 5I ( x , y ) cos 2f x4 4（3）照明光束的倾角取最大值时，由(1)式和(2)式可得D Df 4 f 4 f即f oD2f或fo maxD2f(3)0 时，系统的截止频率为 D / 4f c，因此光栅的最大频率fo max cD2f(4)比较(3)和(4)式可知，当采用倾角的平面波照明时系统的截止

6、频率提高了一倍，也就提高了 系统的极限分辨率，但系统的通带宽度不变。光学传递函数在0处都等于 1，这是为什么？光学传递函数的值可能大于 1吗？如果光学系统真的实现了点物成点像，这时的光学传递函数怎样？ 解：在(,H (,) ) I(0,0)h(x , y ) expj 2(x,y )dx dy I i i i i ih(x , y ) dx dyI i i i ii（1）式中，令h( x , y ) i ih ( x , y ) I i ih ( x , y ) dx dy I i i i i为归一化强度点扩散函数，因此(1)式可写成(,) h( x , y ) expj 2(x,y )dx

7、dyi i i i ii而(0,0) 1 h(x,y ) dx dyi i iii即不考虑系统光能损失时，认定物面上单位强度点源的总光通量将全部弥漫在像面上，着便 是归一化点扩散函数的意义。不能大于 1。对于理想成像，归一化点扩散函数是 函数，其频谱为常数 1，即系统对任何频 率的传递都是无损的。当非相干成像系统的点扩散函数h x, y I ii成点对称时，则其光学传递函数是实函数.解 ： 由 于h ( x , y ) I i i是 实 函 数 并 且 是 中 心 对 称 的 ， 即 有h ( x , y ) h ( x , y ) I i i I i i，h ( x , y ) h ( x

8、,y ) I i i I i i，应用光学传递函数的定义式(,H (,) ) I(0,0)h(x , y ) expj 2(x,y )dx dy I i i i i ih(x , y ) dx dyI i i i ii易于证明(,) (,) ，即 (,)为实函数非相干成像系统的出瞳是由大量随机分布的小圆孔组成。小圆孔的直径都为 2a，出瞳到像面的距离为 d ，光波长为 ，这种系统可用来实现非相干低通滤波。系统的截止频 率近似为多大？解：用公式(,) S (,) S0来分析。首先，由于出瞳上的小圆孔是随机排列的，因此无论沿哪个方向移动出瞳计算重叠面积，其结果都一样，即系统的截止频率在任何方向上均

9、相同。其次，作为近似估计，只考虑每个小孔自身的重叠情况，而不计及和其它小孔的重叠。这时 N 个小孔的重叠面积除以 N 个小孔的总面积，其结果与单个小孔的重叠情况是一样的，即截至频率约为2 a /di，由于 2a 很小，所以系统实现了低通滤波。第四章部分相干理论若光波的波长宽度为，频率宽度为，试证明：v v 。设光波波长为632.8 nm , 2108nm，试计算它的频宽 = ? 若把光谱分布看成是矩形线型，c (则相干长度l ?c证明：因为频率与波长的关系为c v(其中 c 为光速)对上式两边求导得所以dc vddv0dv d v v v v v 因632.8 nm , 210 8 nmc v

10、v v v c2所以有因为相干长度4赫 v 1.5 10l ctcccl 2.0 10 v4( m)设迈克耳孙干涉仪所用光源为 589 nm, 1 589.6 nm2的钠双线，每一谱线的宽度为 .试求光场的复相干度的模；当移动一臂时，可见到条纹总数大约是多少？可见度有几个变化周期？每个周期有多少条纹？解：假设每一根谱线的线型为矩形，光源的归一化功率谱为(v) v v v v rect 1 rect 2 v v v（1）光场的复相干度为) ( v) exp( j 2v) dv0sin c(v)exp( j 2v)1 exp( j 2v)1式中v v v 2 1，复相干度的模为()sin c(v)

11、cos v)由于，故第一个因子是 的慢变化非周期函数，第二个因子是 的快变化周期函数。相干c2 N 1 / 2 时间由第一个因子决定，它的第一个零点出现在c1/v的地方， 即为相干时间，故相干长度l cccc 2 v (2) 可见到的条纹总数N l 5893c 58930 0.1（3）复相干度的模中第二个因子的变化周期1/ v，故可见度的变化周期n v 6c 60 v 0.1每个周期内的条纹数N 58930 982n 60假定气体激光器以 N 个等强度的纵模振荡。其归一化功率谱密度可表示为v1NN1/2 n N1/2v v nv式中， 是纵模间隔，v为中心频率。为简单起见，假定 N 为奇数。（

12、1）证明复相干度的模为() sin( Nv N sin(v)（2）若 N3，且 01/v，画出 （1）证明：复相干度函数为与 的关系曲线。() (v) exp( j2v) dv得0() 01Nv v nv exp( j 2v n N1/2) dvexp( j 2v N)N1/2exp(j 2nv n N1/2)sin Nv N sin vexp( j 2v)所以复相干度得模为() sin( Nv N sin(v)0 11 11（2）当 N=3 时，复相干度的模为()sin(3v 3sin(v)在例所示的杨氏干涉实验中，若缝光源用两个相距为 a，强度相等的准单色点光源代 替，试计算此时的复相干系

13、数。解：应用范西泰特策尼克定理得 (d ) I0 a a 2 expj d 2 2 z a a I d2 2 dcosadz利用傍轴条件计算被一准单色点光源照明，距离光源为 z 的平面上任意两点 P 和 P1 2之间的复相干系数(P ,P ) .1 2解：设光源所在平面的坐标为 ，；孔平面的坐标为 x ,y。点P 和 P 的坐标为(x ,y )1 2 1 1和(x ,y )。对于准单色点光源，其强度可表为2 2I (,) I0(,1)1在傍轴近似下，由范西泰特策尼克定理得(P , P ) 1 2exp( j)I0 2 (, ) exp j ( xy) dd z I(,)dd0 1 1 2 ex

14、p j ( x z2 y 2 x 2 y 2 2 2 1 1 2 ) exp j ( x y) z 因为( P , P ) 1 1 2,由点光源发出的准单色光是完全相干的，或者说 x,y 面上的相干面积趋于无限大。第六章计算全息一个二维物函数 f ( x, y)，在空域尺寸为 1010mm，最高空间频率为 5 线/mm，为 了制作一张傅里叶变换全息图：确定物面抽样点总数.若采用罗曼型迂回相位编码方法，计算全息图上抽样单元总数是多少？若采用修正离轴参考光编码方法，计算全息图上抽样单元总数是多少？两种编码方法在全息图上抽样单元总数有何不同？原因是什么？解： (1)假定物的空间尺寸和频宽均是有限的。

15、设物面的空间尺寸为 x,y；频宽为2B ,2B .根据抽样定理，抽样间距 x,y 必须满足 x1/2B , y1/2B 才能使物复原。 x y x y故抽样点总 N(即空间带宽积 SW)为N x yy yxy(2 B )(2 B ) SW 10 10 (2 5) (2 5) 10 x y4(2) 罗曼计算全息图的编码方法是在每一个抽样单元里用开孔的大小和开孔的位置来编码物光波在该点的振幅和相位。根据抽样定理，在物面上的抽样单元数应为物面的空间带宽积，即N SW 104。要制作傅里叶变换全息图，为了不丢失信息，空间带宽积应保持不变，故在谱面上的抽样点数仍应为 N 10 4 .(3)对于修正离轴参

16、考光的编码方法，为满足离轴的要求，载频 应满足 Bx为满足制作全息图的要求，其抽样间隔必须满足 x1/2B , y1/2B 。因此其抽样点数x y为N x yy yxy(4 B )(2 B ) 10 10 20 10 2 10 x y4(4)两种编码方法的抽样点总数为 2 倍关系，这是因为，在罗曼型编码中，每一抽样单 元编码一复数；在修正离轴型编码中，每一抽样单元编码一实数。修正离轴加偏置量的目的是使全息函数变成实值非负函数，每个抽样单元都是实的非负值，因此不存在位置编码问题，比同时对振幅和相位进行编码的方法简便。但由于加了偏置分量，增加了记录全息图的空间带宽积，因而增加了抽样点数。避免了相位

17、编码是以增加抽 样点数为代价的。对比光学离轴全息函数和修正型离轴全息函数，说明如何选择载频和制作计算全息 图的抽样频率.(2 B ,2 B )解：设物的频宽为x y(1)对于频宽 的选择光学离轴，由图可知，修正离轴，由图可知， 3B Bxx载频的选择是为了保证全息函数在频域中各结构分量不混叠。(2)对于制作计算全息图时抽样频率的选择 光学离轴全息，由图可知：在 x 方向的抽样频率应8 Bx，即 x 方向的抽样间距x 1/ 8 Bx。在 y 方向的抽样频率应4 By，即 x 方向的抽样间距y 1/ 4 By。修正离轴全息，由图可知：在 x 方向的抽样频率应4 Bx，即 x 方向的抽样间距x 1/

18、 4 Bx。在 y 方向的抽样频率应2 By，即 x 方向的抽样间距y 1/ 2 By。一种类似傅奇型计算全息图的方法，称为黄氏(Huang)法，这种方法在偏置项中加入 物函数本身，所构成的全息函数为h( x, y ) A( x, y )1cos2ax (x, y )画出该全息函数的空间频率结构，说明如何选择载频.画出黄氏计算全息图的空间频率结构，说明如何选择抽样载频. 解：把全息函数重写为o1 1h ( x, y ) A( x , y) A( x, y ) exp j 2 4(x, y )exp( j 2x)14A( x, y) exp j(x, y )exp( j 2x)物函数为f ( x

19、, y ) A( x , y ) exp j( x , y )并且归一化的，即A( x, y )max1，参考光波 R 1。经过处理后的振幅透过率为t ( x , y ) t o1 1A(x, y) A(x, y ) exp j 2 4(x, y )exp(j 2x)14A(x, y) exp j(x, y)exp( j 2x)1 1 1 t A(x, y ) f(x, y ) exp(j 2x) f2 4 4( x, y ) exp( j 2x)其频谱为T (,) t(,o1 1 1) F(,)F(,)F(,) 2 4 4(1)设物的带宽为2 B ,2 Bxy，如图题(a)所示。全息函数的空

20、间频谱结构如图题(b)所示，载频 2 Bx。(2)黄氏全息图的空间频率结构如图题(c)所示，由此可得出：在 x 方向的抽样频率应6 Bx，即 x 方向的抽样间距x 1/ 6 Bx。在 y 方向的抽样频率应2 By，即 x 方向的抽样间距y 1/ 2 By。抽样点数即空间带宽积为N SW x yxy12 xyB Bxy.黄氏计算全息图的特点：(1)占用了更大的空间带宽积(博奇全息图的空间带宽积SW 8 xyB Bxy)，不具有降低空间带宽积的优点。(2)黄氏全息图具有更高的对比度，可以放松对显示器和胶片曝光显影精度的要求。罗曼迂回相位编码方法有三种衍射孔径形式，如图题所示.利用复平面上矢量合成的

21、方法解释，在这三种孔径形式中，是如何对振幅和相位进行编码的.解：对于型和型，是用Ax来编码振幅 A(x,y)，用dx来编码相位(x , y)，在复平面上用一个相幅矢量来表示，如图题(a).对于罗曼型是用两个相同宽度的矩孔来代替，型中的一个矩孔。两矩孔之间的 距离 Ax是变化的，用这个变化来编码振幅 A(x,y)。在复平面上反映为两个矢量夹角的变化。两个矩孔中心距离抽样单元中心的位移量dx用作相位 (x, y )的编码。在复平面上两矢量的合成方向即表示了(x , y)的大小，如图题(b)所示。第八章空间滤波利用阿贝成像原理导出相干照明条件下显微镜的最小分辨距离公式，并同非相干照 明下的最小分辨距

22、离公式比较。解：显微镜是用于观察微笑物体的，可近似看作一个点，物近似位于物镜的前焦点为分辨距，即上。设物镜直径为 D，焦距为 f，如图所示。 csin o2fD对于相干照明，系统的截止频率由物镜孔径的 最 大 孔 径 角 决 定 ， 截 止 频 率 为o对于非相干照明，由几何光学可知其分辨距 为sin / o。 从 几 何 上 看 ， 近 似 有sinoD / 2 f。截止频率的倒数的倒数即0.61sin o非相干照明时显微镜的分辨率大约为相干照明时的两倍。在 4f 系统输入平面放置 40mm-1 的光栅，入射光波长。为了使频谱面上至少能够获得 5 级衍射斑，并且相邻衍射斑间距不小于 2mm，

23、求透镜的焦距和直径。解：设光栅宽度比较大，可近似看成无穷，设周期为 d，透光部分为 a，则其透过率函 数可表为 1m111f ( x ) rect 1mx md1a x rect x md a x 1 x rect comb a d d 其频谱为 x 1 x F () f ( x ) rect comb a d d a sin c( a)comb(d) admsin c( a) m d a ma m sin c ( )d d d m即谱点的位置由x /2f m / d决定，即 m 级衍射在后焦面上的位置由下式确定：x mf / d相邻衍射斑之间的间距由此得焦距 f 为f / dx xd 2 /

24、 40 f 6328 10779( mm )物透明片位于透镜的前焦面，谱面为后焦面，谱面上的5 级衍射斑对应于能通过透镜的最 大空间频率应满足sin 1 D / 2 5 d于是求得透镜直径D 10fd10 x 20( mm)观察相位型物体的所谓中心暗场方法，是在成像透镜的后焦面上放一个细小的不透明光阑以阻挡非衍射的光。假定通过物体的相位延迟1 弧度，求所观察到的像强度(用物 体的相位延迟表示出来)。解：相位物体的透过率为t ( x , y ) exp j 1 1(x , y ) 1 j 1 1(x , y ) 1 1其频谱为T (,) 1j(x , y )(, 1 1) j(,)若在谱平面上放

25、置细小的不透明光阑作为空间滤波器，滤掉零频背景分量，则透过的频谱为T M (,) j(,)2 2再经过一次傅里叶变换(在反演坐标系)得t M ( x , y ) j3 3( x , y ) 3 3强度分布为因此在像面上得到了正比于物体相位平方分布的光强分布，实现了将相位转换为强度分布的 目的。不过光强不是相位的线性函数，这给分析带来困难。当策尼克相衬显微镜的相移点还有部分吸收，其强度透射率等于 (0 1)时， 求观察到的像强度表示式。解：相位物体的频谱为现在用一个滤波器使零频减弱，同时使高频产生一个/2 的相移，即滤波器的透过 率表达式为H (,) j1,在0的小范围内 其它于是TM(,) H

26、 (,)T (,) j(,) j(,)像的复振幅分布为t M ( x , y ) j 3 3 j(x , y ) 3 3像强度分布为I ( x , y ) j 3 3 j(x , y ) (x , y ) 3 3 3 3222(x , y ) 2 3 32(x , y ) 3 3( x , y ) 3 3像强度分布与相位分布成线性关系，易于分析。用 CRT(阴极射线管)记录一帧图像透明片，设扫描点之间的间隔为，图像最高空间频率为 10mm-1。如欲完全去掉离散扫描点，得到一帧连续灰阶图像，空间滤波器的形状和尺寸应当如何设计？输出图像的分辨率如何(设傅立叶变换物镜的焦距 f1000mm ,=。

27、解：扫描点的表达式为f ( x , y ) 1 1xmx , y ny 1 0 10m n其频谱为2F (,) exp j 2(mx ny )0 0m n1x y0 01x y0 0m nm n(m/ x ,n / y )0 0 x m y n ( 2 , 2 )f x f y0 0在上式的化简中应用了公式n exp( j 2nax ) 1an n x a 由此可见，点状结构的频谱仍然是点状结构，但点与点之间的距离不同。扫描点频谱出现的 位置为x m2 ,f x0y n2 f y0点状结构是高频，所以采用低通滤波将其滤掉。低通滤波器圆孔半径为fr x x06328 10 7 0.210003.

28、164( mm)能传递的最高空间频率为sin r 1 f 1 5 1/ mm f f x x0 0即高于 5 1/mm 的空间频率将被滤掉，故输出图像的分辨率为 5 1/mm。某一相干处理系统的输入孔径为 30mm30mm 的方形，头一个变换透镜的焦距为100mm，波长是。假定频率平面模片结构的精细程度可与输入频谱相比较，问此模片在焦平 面上的定位必须精确到何种程度？解：考虑到系统孔径有限，一般用几何光学近似，引入光瞳函数 P(x,y), 根据题意其 表达式为x y P ( x , y ) rect rect 30 30 设系统的输入面位于透镜的前焦面，物透明片的复振幅分布为f ( x , y

29、 ) 1 1，它的频谱分布为F (,)，透镜后焦面上的场分布111 1nna U (,f x y ) C f(x , y ) rect rect 30 30 900C F(,) sin c (30)sin c (30) exp j 2(x y )2 2式 中x /2f ,y /2f。 由Uf的 表 达 式 可 见 ， 频 谱 面 上 能 分 辨 的 细 节 由sin c (30) sin c (30)决定。取一个方向来看，将 sinc 函数由最大降为零的宽度取为最小分辨单元，即要求满足301或30 x /2f 1，于是有x 2f 6328 10 7 30 301002.1 10 3 ( mm)

30、 2.1m因为频谱平面模片也有同样细节，所以对准误差最大也不允许超过它的一半，约 1m.第九章相干光学处理参看图，在这种图像相减方法的编码过程中，如果使用的光栅透光部分和不透光部分间距分别为 a 和 b，并且 ab。试证明图像和的信息与图像差的信息分别受到光栅偶数倍 频与光栅奇数倍频的调制。解：如图题所示，先将 t (x)展开成傅立叶级数t ( x ) a 2 nx 2nx 0 a cos b sin2 a b a b n 1式中a 02 aa b2 R0 2 n n(a b ) sin cos ,n 2 2( a b ) n 2 n(a b ) n sin cos , n 2(a b ) 2

31、b 0nn 奇n 偶所以122f2 2t ( x ) R 02 n n(a b ) 2nx sin cos cos n 2 2( a b ) ( a b )2 n n(a b ) 2nx cos sin cosn 2 2( a b ) ( a b )R R R0 12第一次曝光得对于t(x)I t ( x) I R I R I RA A 0 A 1 A2是将光栅向 x 的负方向移动半个周期即(a+b) /2，将它展开成傅立叶级数得第二次曝光得I t ( x ) I R I R I RB B 0 B 1 B 2总曝光量( I I )( R R ) ( I I ) RA B 0 2 A B 1即图

32、像和的信息受到光栅偶数倍频的调制，图像差的信息受到光栅奇数信频的调制。用 Vander Lugt 方法来综合一个平年元平面滤波器，如图(左)所示，一个振幅透射率为 s(x,y)的“信号”底片紧贴着放在一个会聚透镜的前面，用照相底片记录后焦面上的强度，并使显影后底片的振幅透射率正比于曝光量。这样制得的透明片放在图题(右)的系统中，假定在下述每种情况下考查输出平面的适当部位，问输入平面和第一个透镜之间的距离 d 应为多少，才能综合出：脉冲响应为 s(x,y)的滤波器？脉冲响应为 s* (x,y)的“匹配”滤波器？解：（1）参看图题左，设物面坐标为 x , y ；胶片坐标为 x , y 。则参考光波

33、在记录胶1 1 2 2片上造成的场分布为U ( x , y ) A exp( j 2y ) r 2 2 2（1）式中 A 为常数， sin/ 为空间频率。物透明片在记录胶片上造成的场分布为 U ( x , y ) C exp j ( x 2 y 2 ) S (,) 式中 S(,)为 s(x , y )的频谱，且x /f，=y /f。胶片上的光强分布为1 1 2 2222 22oo o 2 2 2 f 2f 2 f f 2f2 222222222f 2f2 22I ( x , y ) U ( x , y ) U ( x , y ) 2 2 r 2 2 1 2 22A2C 2 S (,) CAS(

34、, ) exp j2 x2 y 22 22f y (2) x 2 y 2 CAS (,)exp j2 y 2f 将曝过光的胶片显影后制成透明片，使它的复振幅透过率正比于照射光的强度，即t ( x , y ) I ( x , y )2 2 2 2（3）将制得的透明片作为频率平面模片，放在图题右所示的滤波系统中。要综合出脉冲响应 s(x , y)或 s*(-x , -y)，只要考察当输入信号为单位脉冲 (x , y) 时，在什么条件 下系统的脉冲响应为 s(x , y)或 s*(-x , -y)。参看右图，当输入信号为 (x , y )时，在 L 的后焦面上形成的光场复振幅分布，根1 1 2据公式

35、U ( x, y) c exp jk( f d )( x 2 y 2 ) 2 q ( f d ) fdo o f ( x x y y )t ( x , y ) exp jk o oq( f d ) fd oodx dyo o得 d x 2 y 2 U ( x , y ) exp j 21 2 2 d x 2 y 2 exp j 21 2 2 (x1,y1) exp j ( x 2 x1 y 2 y1 ) dx1dy1 (4)透过频率平面模片得光场分布，由(2)，(3)和(4)式得U 2 d x 2 y 2 ( x , y ) U ( x , y )t ( x , y ) A 2 C 2 S (,) exp j 21 2 2f 2fCAS*(, d x 2 y 2 ) exp j2 y d x y CAS (,)expj 22 2 2 y f 2f (5)如果要使系统是脉冲响应为 s(x , y)的滤波器，应当利用(5)式中含有 S(,)的第三221 11 122项，应要求该项的二次相位因子为零，即有 d =2f (6) 这时的输出为（在反演坐标系中）U (