灵活运用“数形结合思想”解数学题

1、灵活运用“数形结合思想”解数学题725100 陕西省汉阴县酒店镇中心小学 胡胜全 数学思想就是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识之中，经过思维活动而产生的结果，它是对数学事实与数学理论的本质认识。中学阶段的基本数学思想包括：分类讨论、数形结合、变换与转化、函数与方程、抽样统计、极限等。在教学过程中，如果能使这些思想落实到学生学习和运用数学的思维活动上，就能为提升学生数学能力发挥方法论的作用。在这些数学思想方法中，“数形结合思想”是一种很重要的方法，它贯穿于整个中学数学的教学课程。华罗庚教授说“数”缺少“形”时,少直观;“形”缺少“数”时,难入微。可见“数形结合”在数学中的地位。那么什

2、么是数形结合呢？本文对数形结合思想在数学中的应用谈谈一些自己的看法。数形结合就是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思索，使抽象思维和形象思维相结合。可使复杂问题简单化、抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。数形结合有两种基本形式，一是“形”的问题转化为用数量关系去解决，运用代数、三角知识进行讨论，它往往把技巧性极强的推理论证转化可具体操作的代数运算，很好在起化难为易的作用。在解析几何中就常常利用数量关系去解决图形问题。二是“数”的问题转化为形状的性质去解决，它往往具有直观性，易于理解与接受的优点。数形结合在解题过程中应用十分广泛，如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域和最值问题中，

3、在求复数和三角函数问题中都有体现，运用数形结合思想解题，不仅直观易于寻找解题途径，而且能避免繁杂的计算和推理，简化解题过程，这在选择、填空题解答中更显优越。运用数形结合思想解决函数问题例1：求函数y=|x+3|x+1|的值域。分析：就自变量x的范围讨论去掉绝对值，将函数表示为分段函数，画出分段函数的图象，由图象即可得y的范围 函数的图象如图，由图象即可得y2，2。 例2：求函数y=最小值分析：由题意可知，函数的定义域为R，若从代数角度考虑，确实比较复杂；若借助两点间的距离公式，转化为几何问题，则非常容易解决yB(2,2)A(0,1)令 A (0,1) ， B(2,2) ， P(X,0)xp(x

4、,0)则问题化为:在X轴求一点P(X,0)A(0,-1)使得取最小值关于轴的对称点为（，） 二、运用数形结合思想解决三角问题例1：已知那么下列命题正确的是（）yx0C DAB A、若、是第一象限角，则B、若、是第二象限角，则C、若、是第三象限角，则D、若、是第四象限角，则分析 考察选项A，作单位圆，如图，OA、OB分别为角、的终边，OC为的余弦线，OD为的余弦线，则有知A错，依次判断知选D。 例2：求函数 值域 解析：联想到直线中已知两点求直线的斜率的公式,P(2,3)BAOxy 将原函数视为定点(2,3)到动点的斜率,又知动点满足单位圆的方程,从而问题就转化为求点（2，3）到单位圆连线的斜率

5、问题,作出图形观察易得：最值在直线和圆上点的连线和圆相切时取得,从而得解： 答案：三、数形结合思想处理方程问题 例1：求方程的解的个数。分析：此方程解的个数为的图象与的图象的交点个数。所以 在平面直角坐标系中作出两个函数的图象，如图，形中觅数，可直观地看出两曲线有3个交点。0 xy例2：如果方程的两个实根在方程的两实根之间，试求与应满足的关系式分析：我们可联想对应的二次函数, 的草图。 这两个函数图像都是开口向上，形状相200.4xyy=3x21y=2-x同且有公共对称轴的抛物线(如图)要使方程的两实根在方程的两实根之间，则对应的函数图像与轴的交点应在函数图像与轴的交点之内，它等价于抛物线的顶

6、点纵坐标不大于零且大于抛物线的顶点纵坐标由配方方法可知顶点分别为：故可求出与应满足的关系式为: 例3：解方程分析:由方程两边的表达式我们可以联想起函数,作出这两个函数的图像,这两个函数图像交点的横坐标为方程的近似解，可以看出方程的近似解为四、运用数形结合思想研究解析几何问题 例1：如果实数满足等式，那么的最大值是什么？ 解：设点在圆上，圆心为,半径等于。如图，则是点与原点连线的斜率。当与相切，且切点落在第一象限时， 有最大值，即有最大值。因为 =， =，所以 =，所以 = =。例2:已知两点A(-2,0)，B(0,2),点是圆上的任一点，则三角形ABC面积的最小值是（）。 A. B. C. D

7、.A (-2,0) 分析与解:求解此题的常规思想是先建立三角形面积的函数表达式,然后求出最值,但无论使用,还是等其他公式都不便于直接得出三角形面积的表达式。下面我们利用数形结合的思想求解，依据题意作出草图：y CYB (0,2)A (-2,0)xO其中：圆即为：将AB视为三角形的底边,顶点在圆上移动,三角形的高可看作C到AB的距离（本题思想方法的关键）。 将AB向圆方向平移,知当AB与圆第一次相切时,第二次相切时,计算出第一次相切时直线的方程为：由平行直线间距离公式。五、运用数形结合思想处理不等式问题 例1： 解不等式： 解: 设 即 ， 对应的曲线是以(,0)为顶点，开口向右的抛物线的上半支。而函数的图象是一直线。解方程可求出抛物线上半支与直线交点的横坐标为2，取抛物线位于直线上方的部分，故得原不等式的解集是 0 xyy=-x2+2x-3例2：求不等式的解集 分析:我们先联想对应的二次函数的图像草图，抛物线开口向下，与轴没有交点，很明显，无论 取任何值时都有即, 的解集为空集 而的解集为全体实数数形结合思想贯穿于整个中学阶段，是最重要、最常用的数学思想方法之一，是中学数学的精髓。然而数学思想方法教学并不是一个单一的过程，各种思想方法