北邮概率论与数理统计条件概率

1、件概率条件概率是概率论中的一个基本概念，也是概率论中的一个重要工具，它既可以帮助我 们认识更复杂的随机事件，也可以帮助我们计算一些复杂事件的概率。.条件概率的定义及计算在一个随机试验中或随机现象中，当我们已知一个事件B发生了，这时对另外一个事件A发生的概率往往需要重新给出度量.称事件A的这个新概率为在事件B发生的条件下事件A发生的条件概率，记为P(A| B).为了对条件概率有一个直观的认识以及考虑该如何给出条件概率的数学定义，我们先看一个例子.例1 一批同类产品由甲、乙两个车间生产，各车间生产的产品数及正品和次品的情况如下表甲车间乙车间合计正品465510975次品151025合计480520

2、1000从这批产品中任取一件，则这件产品是次品的概率为至 2.5% 1000现在假设被告知取出的产品是由甲车间生产的，那么这件产品为次品的概率就不再是2.5% ,而是 15 -15- 3.125% 480在本例中，设 B表示事件“取出的产品是由甲车间生产的”，A表示事件“取出的产品是次品”，前面算出的事件 A的概率是在没有任可进一步的信息的情况下得到的，而后面算 出的事件A的概率是在有了“事件B发生了”这一信息的情况下得到的.后一个概率就是在事件B发生的条件下事件 A发生的条件概率.与此对应，我们可以把前一个概率称为 无条件概率。经过简单计算有J5 15/1000 P(AB) 480 480/

3、1000 P(B).受由启发，我们可以在一般的样本空间这个关系式尽管是从本例得出的，但它具有普遍意义 中给出条件概率的数学定义.定义 设A,B是样本空间中的两个事件，且 P(B) 0,在事件B发生的条件下，事件A的条件概率定义为根据条件概率的定义，不难验证条件概率满足概率定义中的三条公理:1非负性：对任一事件 B ,有P(B | A) 0 ；2标准性：P( | A) 1;3可列可加性：设 Bi，B2，,Bn，是两两互不相容的事件，则有P(n1Bn|A)P(Bn|A)n 1自然地，条件概率也具有三条公理导出的一切性质.比方P(B| A) 1 P(B|A),P(B1 B2|A) P(B1|A) P

4、(B2|A) P(B1B21AB例2将一骰子掷两次，已知两次的点数之和为 6,求第一次的点数大于第二次点数的概率解:设事件A 两次的点数之和为 6，事件B“第一次的点数大于第二次点数2方法一(在缩减的样本空间中计算).在事件A发生的条件下，样本空间缩减为a (1,5),(5,1),(2,4),(4,2),(3,3)在此样本空间中考虑，事件B包含2个样本点，所以P(AB)，所以362.5P(B|A)方法二.P(A)P(B|A)2.55,362/365/36例对于寿险产品设计而言，需关注不同年龄的人能继续存活假设干年的概率.假设根据经验或某种寿命分布理论，人的寿命超过60岁的概率为0.9,超过70

5、岁的概率为0.8.求60岁 的人能继续存活10年的概率.思考：.考虑恰有2个小孩的家庭，从这样的家庭中任选一家，已知这个家有男孩，那么这家两个小孩都是男孩的概率是多少？.随机地遇到一男孩，并发现他属于两个孩子的家庭，那么他家的另一个小孩也是男 孩的概率是多少？.有3张完全相同的卡片，第一张卡片两面全涂成红色，第二张卡片两面全涂成黑色， 第三张卡片一面涂成红色一面涂成黑色.现从3张卡片中随机取1张并放在桌面上，如果朝上的一面是红色，那么另一面是黑色的概率有多大？.领奖问题某人参加了有奖竞答活动，他全过关了，现到领奖阶段，领奖规则是：有三个房间，其中一个房间里放有奖品，而另外二个房间没有奖品，全过

6、关的选手任选一个房间 假设房间里有奖品则他获得此奖品，否则没有奖品.现此人选了一房间，在他还没有打开房门时主持人打开了另外二个房门中的一个，结果没有奖品，这时该选手还有重新选择的时机，你认为应该坚持原来的选择还是换一个选择或两者皆可？这里主要介绍涉及条件概率的三个公式：(1)乘法公式;(2)全概率公式;(3)贝叶斯公式.1.乘法公式由条件概率的定义易知P(AB) P(A)P(B|A)上面公式只是条件概率定义的平凡变形，但在具体的概率计算问题中如果P(A), P(B | A)都可方便地算出,那么利用上式就可方便地算出P(AB).上面公式可推广至多个事件的情形P(AlA2 An) P(A)P(A2

7、l Ai)P(A3l A1A2)P(An I A1A2 An 1)为保证上面公式中涉及到的条件概率有意义，需要前提：P(A1A2 An 1) 0 .上面公式称为乘法公式.例 A 前2次取到红球，最后1次取到白球”的概率。这个问题可推广至 Polya罐子模型.例(Polya罐子模型)设一罐子有b个黑球，r个红球，每次随机地取一个球，取出的球放回罐 子中，还加进c个同色球和d Bi为事件“第i次取出的球是黑球”，Rj为事件“第j次取出的球是红球”，求 P(RR2R3), P(R1B2R3), P(B1R2B3).Polya罐子模型包含有多种模型.(1)如c 1, d 0,则为不放回抽样模型；(2)

8、如c 0,d 0,则为放回抽样模型；(3)如c 0,d 0,则称为传染病模型；(4)如c 0,d 0,则称为安全生产模型.例 甲袋子里有n个红球，乙袋子里有n个黑球，按以下方式操作：从甲袋中随意地取走一个 球，然后从乙袋中取出一球放入甲袋中(如果乙袋中还有球的话).一直如此操作直至 2n个球全被取走，求最后取走的是红球的概率 ，如n很大，这个概率近似值是多少 ？解：设想甲袋中的n个红球分别编号1,2, n.记A “最后取走的是i号红球”，i 1,2, ,n ,则A, ,An两两互不相容，由对称性知P(A) PS2)P(An).又记A “最后取走的是红球，则A UAi,从而P(A)P(A1) P

9、(A2)P(An) nP(A),下面来求 P(A).设Ni表示事件“在甲袋中的第i次取球没有取走1号红球”，i 1,2, ,n ,那么A N1N2 NnA1，并且n 1111P(NJ 1 P(N2|M) 1 ,P(Nn|N1 Nm) 1n nnn1 P(A|Ni Nn)-.n由乘法公式知P(A)P(NJP(N2 | Ni) P(Nn | N1 Nn 1)P(A | N1 Nn)(1从而得1、n 1一) 一 n n1 nP(A) nP(A) (1 -)n n易见，n很大时，这个概率近似值为P(A) e2.全概率公式定义 设A1,A2, ,An为n个事件，假设满足 AAj,i j ；(2) nA

10、, I 1则称A1,A2, An为样本空间的一个分割 易见对任一事件 A, A与A构成一个分割.思考：一个分割A1,A2, ,An,用概率的语言该怎么说？定理(全概率公式)设A1,A2, ,An为样本空间 的一个分割，且P(A) 0,i 1,2, ,n,则对于任一事件 B,有nP(B)P(AJP(B| A).I 1上面公式叫作全概率公式 ，该公式表示事件 B的概率等于诸条件概率 P(B| A)的加权n平均，权重为P(A).另外也能看出：假设A1,A2, ,An两两互不相容且 B UA (可以I 1n不要求UA )时，则全概率公式亦成立. 1例续抽签与顺序无关问题例续Polya罐子模型，求第2次

11、取到红球的概率.例 保险公司认为某险种的投保人可分为两类：一类为易出事故者，另一类为安全者.统计说明：一个易出事故者在一年内发生事故的概率为0.4 ,而安全者为0.1.假定第一类人占此险种投保人的20%.现有一个新投保人，问该投保人在一年内将出事故的概率.解：记A “投保人为易出事故者”“投保人第一年出事故”，则有P(A) 0.2, P(A) 0.8,P(B|A) 0,4, P(B| A) 0.1由全概率公式得P(B) P(A)P(B|A) P(A)P(B|A)0.2 0.4 0.8 0.1 0.16下面介绍全概率公式的一个应用：敏感性问题调查方案的设计,敏感性问题的调查是社会调查的一类，如一

12、群人中有赌博习惯的比例，吸毒人的比例，偷税漏税的比例等等.这类调查如直接调查，被调查者很少会如实地答复以下问题，因比需设计调查方案以使被调查者愿意如实地答复以下问题,下面介绍两种调查方案.沃纳模型Warner model沃纳模型是沃纳 1965年提出的，它的提出开创了随机化 答复的先河,其设计原则是这样的：根据敏感性特征设计两个相互对立的问题，比方，问题A:你是否吸毒过？问题B:你是否没吸毒过？再让被调查者按预定的概率从中任选一 个问题答复，比方被调查者先从一袋中任取一球如取到红球则答复以下问题A,否则答复以下问题B.调查者无权过问被调查者究竟答复的是哪个问题，比方被调查者单独一人在一房间里操

13、作和答复以下问题 ，并且只需在答卷上的“是”和“否”中选其一打钩，然后把答卷放入一密封的投票箱内.假设调查了 n个人即有n张答卷，其中有k张答复“是”，袋中的红球所占比例为 100 %.如何估计人群中吸过毒的人的比例呢？记事件A “被调查者答复的问题是 A问题”，B“被调查者的答案是“是 ”，假设人群中吸过毒的人的比例为 100p% , p是未知的，我们需估计p.那么有P(A) ,P(B|A) p, P(B| A) 1 p由全概率公式得P(B) P(A)P(B|A) P(A)P(B| A)p (1)(1 p)从而可得c P(B) (1)2由调查结果可得k (11 P(B)的估计值为 P(B)

14、k,因此可得p的估计值为 n),21Simmons模型是1967年由Simmons提出的，其设计思想仍是基于沃纳的随机化答复思 想，只是在设计中，用与问题A毫无关联的另一个问题代替与A对立的问题要求在人群中对此问题的答案为“是”的比例是已知的，比方在上面的问题中把问题B: “你是否没吸毒过？”改为“你的生日是否在 7月1日之前？”，那么P(B | A) 0.5 ,式变为P(B) p 0.5(1)p的估计值为k 0.5(1)? n下面介绍全概率公式在遗学中的应用，下面问题作为思考题留给同学们去解决。对于三种基因型式：AA,Aa,aa,假定亲本总体中的比例为u:2v:w(u 0,v 0,w 0,u

15、 2v w 1),且数量很多，而参与交配的亲本是该总体中随机的两个(比方，菜园中的豌豆是经过充分混和的),对于子一代，这三种基因型式的比例会如何呢？子二代又会如何呢？3.贝叶斯公式定理设A,A2, An为样本空间的一个分割，且P(Ai) 0,i1,2, ,n, B为一事件且P(B) 0,则P(A |B)P(A)P(B|Ai) nP(Aj)P(B| Aj) j 1以上公式叫做贝叶斯公式，是概率论中的一个著名的公式.从形式推导来看很平凡，它 不过是条件概率的定义和全I率公式的简单推论.之所以著名，是具有哲理意义上的解释：P(AJ , P(A2), ,P(An)是在没有进一步的信息 (不知B是否发生

16、)情况下，人们对诸事件A,A2, ,An的认识。现有了 新的信息知道B发生了，人们诸事件A, A2, An的认识会有所调整，贝叶斯公式从数量上刻画了在有了进一步信息的条件下对诸事件A1,A2, An的认识的调整.P(A),P(A2),P( An)称为先验概率或先验信息，P(A I B),，P(An | B)称为后验概率或后验信息我们先看下面问题。46取到红球的条件概率.考虑不放回抽样模型：一，这是简单、直观的.下面来求第二次取到红球的条件下第一次解:设A “第一次取到红球” ，B “第二次取到红球”，由贝叶斯公式P(A|B)P(A)P(B| A)P(A)P(B| A) P(A)P(B| A)这

17、个条件概率与第一次取到红球的条件下第二次取到红球的条件概率相等.从时间顺序上看，我们可能会觉得后面的结果不会对前面的结果产生影响.果真如此吗？设想你和另外一位同学抓阉，阉中一部分有奖，另一部分没奖.在你抓了阉但还没看结果时，你看到了 另外一同学中奖了 ，此时你会觉得“我中奖的可能性减少了，无论你是先抓还是后抓都会产生这种感觉.由此可见，上面的结果其实是符合“直观”的.例 续保险问题，假设任一投保人在各年是否出事故相互独立，且出事故的概率不变.求以下概率(1)新投保的人第一年出了事故 ，求他是易发事故者的概率；(2)新投保的人第一年出了事故 ，求他第二年会出事故的概率。解：记A“投保人为易出事故

18、者”，Bi“投保人第i年出事故” (i 1,2)，则有P(A) 0.2, P(A) 0.8,P(Bi|A) 0.4,P(Bi|A) 0.1(1)P(A|B1) P(A)P(B| A)/P(A)P(B| A) P(A)P(B |A)0.2 0.4/0.2 0.4 0.8 0.1 0.5(2)先求 P(B1B2)P(B1B2) P(A)P(B1 B21 A) P(A)P(B1B2| A)P(B2 | B1)0.2 0.42P(B1B2)P(B)0.8 0.12 0.04靠 0.25思考：n年出事故，求他第n1年会出事故的概率，在n很大时这个概率的近似值是多2.在人类遗传学中，某种“坏” a是这样的一个基因，基因型aa将不能长大成人，基因 型Aa的人称为“带菌者” (a具隐性性状).已知某人有一个兄弟由于具有基因型 aa而 在童年死去，(1)求他是带菌者的概率.(-)3(2)假定在自然成人人群中(不管性另ij如何)带菌者的概率为p (成人人群中带