《偏微分方程》课程教学大纲

1、偏微分方程课程教学大纲一、课程概况所属专业:数学与应用数学 开课单位：数学计算机科学学院课程类型:院系选修课程课程代码:07491270开课学期:5学分：3学时：51核心课程:否拟使用教材： 谷超豪，李大潜，陈恕行，郑宋穆，谭永基. 数学物理方程. 高等教育出版社. 2012.国内(外)现有教材： 1. HYPERLINK /writer/%E9%99%88%E7%A5%96%E5%A2%80_1.html t _blank陈祖墀. 偏微分方程. 高等教育出版社. 2008. 2. 姜礼尚, 孔德兴，陈志浩. 应用偏微分方程讲义. 高等教育出版社. 2008. 3. 孔德兴. 偏微分方程. 高

2、等出版社. 2010. 4. John F. 偏微分方程（中译本）. 朱汝金译. 科学出版社. 1986. 5. Evans L.C. Partial Differential Equations. Amer. Math. Soc. 1998. 6. Taylor M. E. 偏微分方程 (1-3卷). 世界图书出版公司. 2014. 学习参考资料 1. 陈恕行. 数学物理方程学习辅导二十讲. 高等教育出版社. 2015. 2. HYPERLINK /writer/%E6%B2%99%E7%8E%9B%E8%80%B6%E5%A4%AB_1.html t _blank沙玛耶夫. 偏微分方程习题

3、集. HYPERLINK /writer/%E9%83%AD%E6%80%9D%E6%97%AD_1.html t _blank郭思旭译. 高等教育出版社. 2009.二、课程描述本门课程是数学与应用数学专业的院系选修课。偏微分方程是现代数学的一个重要分支，也是自然科学、工程技术以及经济管理等领域中相关课题研究的重要工具之一。通过本课程的学习，使学生能够掌握偏微分方程的基本知识和基本理论，并具备运用所学知识分析和解决实际问题的能力。课程的主要内容包括：偏微分方程基本概念；波动方程、热传导方程和调和方程的定解问题的适定性、求解方法以及解的性质；二阶线性方程的分类以及三类方程解的比较等。三、课程目

4、标 掌握偏微分方程的基本知识和基本理论，培养学生较为熟练的计算分析能力； 掌握偏微分方程模型建立的基本过程和基本方法，培养学生建立数学模型的能力；理解和掌握偏微分方程研究的基本方法，培养学生分析和解决实际问题的能力。 提高学生逻辑思维能力、计算能力和推理分析能力，让今后立志从事微分方程研究的学生能够达到研究生入学考试中对偏微分方程的要求，让准备从事其他数学分支或数学相关领域工作的学生具备偏微分方程基本的知识和技巧。四、教学要求授课教师应当按照学校本科教学工作有关要求做好课程教学各项工作，并依照本大纲的要求，认真完成教学的各个环节。授课宜多结合物理背景，分析偏微分方程的由来，同时，既要注重给出各

5、类偏微分方程共性的分析和结果，又要指出其个性的特点，抓住本质，提高教学效果。此外，教学过程中，授课教师宜突出经典的和主要的结果与方法，例如处理波动方程的能量估计方法，以及处理椭圆和抛物方程的极值原理方法等，务求使学生理解和掌握。学习过程中，学生应根据课程大纲要求制定本门课程学习计划，提升自主学习能力，主动适应课程学习要求。特别是，学生应注意结合偏微分方程的背景进行学习，针对三类偏微分方程，还要学会分类总结。抓住学习重点，掌握好最基本的方法和理论，体会学习偏微分方程的方法。此外，学生需要勤学苦练，多做练习，认真完成任课教师布置的课程作业，提高计算能力，这非常有利于本课程的学习。五、考核方式及要求

6、（一）过程性考核（40%）1、课堂考勤（10%） 每次课均考勤，全到者满分，一次未到按0.5分计算扣减，以此类推。2、平时作业（15%） 几乎每次课后都会布置作业，选取其中8次，进行考核。次数7次以上6次5次4次3次2次1次分小论文或读书报告或学习心得等（10%） 每人完成1篇小论文或者1篇读书报告或学习心得等，具体形式由任课教师确定，并在第一堂课向学生公布。4、学习表现（5%） 结合平时课堂表现和课下整体表现给出学习表现分。(二）期末考核 (60%) 以试卷形式进行期末考试。六、课程内容第一章：绪论（授课时间：第五学期第一周）教学目标：了解偏微分方程发展简要历史和当

7、今该方向研究的热点问题；认识到偏微分方程理论在解决实际问题中具有广泛的应用和重要的地位；理解偏微分方程具有很强的应用背景，特别是与物理紧密相关，激发学习兴趣；掌握基本概念和有关的准备知识。教学重点：偏微分方程的应用背景；基本概念；准备知识。教学难点：课程与物理联系密切，具有很强的实际背景。学 时：课堂教学2学时，课外自主学习时间不少于1学时教学方法：讲授法主要内容：（1）偏微分方程简要发展历史； （2）当今研究热点问题介绍； （3）课程介绍和研究方法概览； （4）基本概念和准备知识。学习方法：课前预习、课后复习总结、完成一定量习题、小组讨论等。课后作业：自行复习课堂内容。第二章：波动方程（授课

8、时间：第五学期第一至六周）教学目标：通过建立弦振动方程，学会如何从实际问题出发建立合适的数学模型；掌握弦振动方程柯西问题的求解以及由达朗贝尔公式出发分析波的传播特点；熟练掌握利用分离变量法求解一维波动方程初边值问题，并能分析解的物理意义；掌握如何运用球平均法和降维法分别求解三维和二维波动方程柯西问题；深刻理解惠更斯原理和后效现象，理解和掌握波传播的衰减等性质和特点；掌握如何根据具体问题去建立能量积分并得到能量不等式，掌握利用能量不等式或先验估计建立波动方程初值问题和初边值问题解的唯一性和稳定性。教学重点：弦振动方程和定解条件的推导；达朗贝尔公式；分离变量法；高维波动方程柯西问题的求解；波的传播

9、和衰减；能量积分和能量不等式。教学难点：弦振动方程和定解条件的推导；初边值问题的分离变量法；降维法；波的衰减，先验估计。学 时：课堂教学16学时，课外自主学习时间不少于8学时教学方法：讲授法主要内容：（1）弦振动方程的推导以及定解条件的提出和意义； （2）叠加原理，Duhamel原理，达朗贝尔公式，波的传播，特征线，依赖区间，决定区域，影响区域； （3）初边值问题的分离变量法：分离变量法，Duhamel原理，边界条件的齐次化； （4）高维波动方程的柯西问题：二维波动方程的推导及其定解条件，球平均法，Hadamard降维法，柯西问题解的Poisson公式，推迟势； （5）波的传播与衰减：依赖区域

10、，决定区域，影响区域，特征锥，Huygens原理，波的弥散（后效现象），波的衰减； （6）能量积分，能量不等式，解的唯一性和稳定性。学习方法：课前预习、课后复习总结、完成一定量习题、小组讨论等。课后作业：完成任课教师所布置作业并在下周上课前提交。第三章：热传导方程（授课时间：第五学期第七至十周）教学目标：学会如何从实际问题出发推导热传导方程和扩散方程以及定解条件，进一步掌握建立数学模型的方法；熟练掌握利用分离变量法求解一维热传导方程的初边值问题；理解和掌握傅里叶（Fourier）变换定义及其性质，熟练掌握利用傅里叶变换求解热传导方程的柯西问题，理解解存在性的证明；深刻理解（弱）极值原理，熟练掌

11、握运用极值原理刻画热传导方程柯西问题和初边值问题解的唯一性和稳定性；理解初边值问题和柯西问题解的大时间性态。教学重点：热传导方程和定解条件的导出；分离变量法；傅里叶变换及其性质；极值原理及其证明；解的唯一性和稳定性。教学难点：傅里叶变换及其性质；极值原理。学 时：课堂教学12学时，课外自主学习时间不少于4学时教学方法：讲授法主要内容：（1）热传导方程、扩散方程和定解条件的推导； （2）一维热传导方程初边值问题的分离变量法； （3）Fourier变换定义及其性质，一维热传导的柯西问题，解的存在性的理论证明； （4）弱极值原理，热传导方程三类初边值问题解的唯一性和稳定性，热传导方程柯西问题解的唯一

12、性和稳定性； （5）初边值问题解的渐近性态，柯西问题解的渐近性态。学习方法：课前预习、课后复习总结、完成一定量习题、小组讨论等。课后作业：完成任课教师所布置作业并在下周上课前提交。第四章：调和方程（授课时间：第五学期第十一至十五周）教学目标：理解调和方程和Poisson方程推导过程以及定解条件的含义；理解变分问题概念，掌握Poisson方程边值问题的变分原理；熟练掌握格林公式，掌握调和函数的平均值定理；深刻理解调和函数的强极值原理，并会利用极值原理分析第一边值内问题、外问题的唯一性和稳定性；理解格林函数及其性质，理解静电源像法，熟练运用静电源像法求解特殊区域上格林函数；理解调和函数的基本性质；

13、深刻理解Hopf极值原理，并会利用该原理讨论调和方程第二边值问题解的唯一性。教学重点：调和函数平均值定理，强极值原理，Hopf极值原理，边值问题唯一性和稳定性的讨论，利用静电源像法求解格林函数。教学难点：如何利用静电源像法求解格林函数，强极值原理，Hopf极值原理，边值问题解的唯一性和稳定性的研究。学 时：课堂教学14学时，课外自主学习时间不少于6学时教学方法：讲授法主要内容：（1）调和方程、Poisson方程以及定解条件的建立；变分原理，Poisson方程边值问题与变分问题的联系； （2）格林公式，平均值定理，基本解，基本积分公式； （3）强极值原理，Dirichlet内问题、外问题解的唯一

14、性和稳定性； （4）格林函数及其物理含义，格林函数性质，静电源像法，调和函数的性质：Harnack第一、第二定理，Harnack不等式，Liouville定理，可去奇点定理，解析性定理； （5）Hopf极值原理，Poisson方程第二边值内问题、外问题解的唯一性；能量积分法。学习方法：课前预习、课后复习总结、完成一定量习题、小组讨论等。课后作业：完成任课教师所布置作业并在下周上课前提交。第五章：二阶线性方程的分类和比较（授课时间：第五学期第十五和第十六周）教学目标：熟练掌握二阶线性方程的分类，掌握特征方程和特征线概念；理解和掌握线性问题的叠加原理，理解和掌握三类方程的区别和联系，包括解的性质的比较和定解问题提法的比较。教学重点：二阶线性方程的分类，叠加原理，三类方程解性质的比较。教学难点：二阶线性方程分类的理解，三类方程解性质的比较。学 时：课堂教学4学时，课外自主学习时间不少于2学时教学方法：讲授法主要内容：（1）二阶线性方程的分类； （2）三类方程的比较：叠加原理，解性质的比较，定解问题