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1、时间是我们唯一对每个人都公平的资源做好时间管理，不再因虚度光阴而悔恨做好时间管理，也是一个人能力的体现做好时间管理，是实现人生规划的保证 1.1.1 函数的概念 1.1 初等函数回顾 1.1.2 函数的几种特性 1.1.3 初等函数 1.1.4 反函数和复合函数定义1.1.1 : 设 和 是两个变量， 是给定的数集，如果对于每个 ，变量 按照某个对应法则 总有一个唯一确定的数值和它对应，则称 是 的函数，记作 .数集 称为函数 的定义域, 称为自变量, 称为因变量.当 取数值 时,对应的 的数值称为函数在 处的函数值,记作 当 取遍 内的各个数值时,对应的函数值全体组成的数集 称为函数 的值域

2、.函数的概念1函数的定义域是使得算式有意义的一切实数组成的数集,这种定义域称为函数的自然定义域.常见的函数的定义域有如下原则:(1) 对于分式函数,分母不能为零,如 ;(2) 偶次根号下的变量不能小于零,如 ;(3) 对于对数函数 ,规定:底数 , ,真数 ;(4) 对于正切函数 ,规定: , ;(5) 对于余切函数 ,规定: , ;(6) 对于反正弦函数 和反余弦函数 规定: .函数的几种特性2初等函数31、初等基本函数我们把幂函数 、指数函数 、对数函数 、三角函数 和反三角函数 统称为基本初等函数.2、初等函数3、分段函数若函数 在它的定义域内的不同区间(或不同点)上有不相同的表达式,则

3、称它为分段函数.例如符号函数就是一个分段函数,如图所示.注意 分段函数不是初等函数.反函数和复合函数41、反函数定义1.1.2 : 设 为定义在 上的函数,其值域为 ,若对于数集 上的每个数,数集 中都有惟一确定的一个数 使 ,即 变量为 的函数,这个函数称为函数 的反函数,记为 ,其定义域为 ,值域为 . 解 由 ,可解得 . 交换 和 的次序,得 ,即 为 的反函数.2、复合函数定义1.1.3 : 设 是 的函数 ,而 又是 的函数 ,且 的值域与 的定义域的交集非空,那么, 通过中间变量 的联系成为 的函数,我们把这个函数称为是由函数 与 复合而成的复合函数,记作 .例1.1.4 已知

4、,试把 表示为 的函数.解 因为 ,而 , 是中间变量,所以例1.1.5 设 , , ,试把 表示为 的函数.解 , 分别是中间变量,故 .时间是我们唯一对每个人都公平的资源做好时间管理，不再因虚度光阴而悔恨做好时间管理，也是一个人能力的体现做好时间管理，是实现人生规划的保证 1.2.1 数列的极限 1.2 极限的概念 1.2.2 函数的极限数列的极限1先给出数列的定义:在某一对应规则下,当 依次取 时,对应的实数排成一列数 这列数就称为数列,记为 .从定义看到,数列可以理解为定义域为正整数集 的函数 当自变量依次取1,2,3,等一切正整数时,对应的函数值就排列成数列 .数列(1-1)中的第

5、个数 称为数列的第 项或通项.定义1.2.1 : 如果数列 的项数 无限增大时,它的通项 无限接近于某一个确定的常数 ,则称 是数列 的极限,此时也称数列 收敛于 ,记作 定义1.2.2 : 如果数列 的项数 无限增大时,它的通项 不接近于任何确定的常数,则称数列 没有极限,或称数列 发散. 注意: 当 无限增大时,如果 无限增大,则数列没有极限.这时,习惯上也称数列的极限是无穷大,记作函数的极限2定义1.2.3 : 如果当 无限增大(即 )时,函数 无限趋近于一个确定的常数 ,那么就称 当 时存在极限 ,称数 为当 时函数 的极限,记作1、当 时函数 的极限函数的自变量 是指 的绝对值无限增

6、大,它包含以下两种情况:(1) 取正值,无限增大,记作 ;(2) 取负值,它的绝对值无限增大(即 无限减小),记作 .例1.2.1 讨论函数 当 和 时的变化趋势.解 作出函数 的图像(如上图所示).由图可以看出,当 和 时, ,因此当 时, . 例1.2.2 作出函数 和 的图形,并判断下列极限:解 分别作出函数 和 的图形(如图下所示).由图形可以看出:例1.2.3 讨论下列函数当 时的极限:(1) ; (2) .解 (1)函数的图形如图所示.从图形可知,当 时, ;当 时, .因此,当 无限增大时,函数 无限地接近于常数1, 即 . (2)函数的图形如图所示.从图形可知,当 时, ;当

7、时, .因此,当 无限增大时,函数 不可能无限地趋近某一个常数,即 不存在.理论上可以证明:与 的情形类似, 包含从 大于 的方向和 从小于 的方向趋近于 两种情况,分别用:(1) 表示 从大于 的方向趋近于 ;(2) 表示 从小于 的方向趋近于 .2、当 时,函数 的极限定义1.2.4 : 设函数 在点 的某个去心领域内有定义,如果当 时,函数 无限趋近于一个确定的常数 ,那么就称当 时 存在极限 ;数 就称为当 时函数 的极限,记作 说明:在数轴上,以点 为中心的任何开区间称为 的领域.设 为一正数,则开区间 就是 的一个领域,称为点 的 领域,如左图所示,记 ,即 ,其中 称为该领域的中

8、心, 称为该领域的半径.在上述领域中除去领域的中心点 称为点 的去心 领域,记为 ,即 ， 如右图所示.注意:在定义中,“设函数 在点 的某个去心领域内有定义”反映我们关心的是函数 在点 附近的变化趋势,而不是 在 这一孤立点的情况.在定义极限 时, 有没有极限,与 在点 是否有定义并无关系.例1.2.4 求下列极限解 (1)因为当 时, 的值无限趋近于 ,所以有(2)因为当 时, 的值恒等于 ,所以有根据 时函数 的极限定义和左、右极限的定义,容易证明:例1.2.5 已知函数 ,讨论当 时的极限.解 这是一个分段函数在分界点处的极限问题.作出它的图形,如图所示,由图可见 虽然当 时的左、右极

9、限都存在但是不等,所以当 时 的极限不存在.例1.2.6 已知函数 求 解 因为 即所以 .例1.2.7 已知 是否存在? 解 当 时, 当 时, 所以函数可以分段表示为 于是 即 ,所以 不存在.时间是我们唯一对每个人都公平的资源做好时间管理，不再因虚度光阴而悔恨做好时间管理，也是一个人能力的体现做好时间管理，是实现人生规划的保证 1.3.1 极限的四则运算法则 1.3 极限的运算法则 1.3.2 复合函数的极限法则 1.3.3 函数极限的性质 1.3.4 两个重要准则极限的四则运算法则1定理1 若 ， ，则（1） （2） 特别地 （3） 说明:(1)使用这些运算法则的前提是自变量的同一变化

10、过程中 和 的极限都存在;(2)上述运算法则对于 等其他变化过程也同样成立;(3)法则1,2可推广到有限个函数的情况,于是有 例1.3.1 求 . 解例1.3.2 求 . 解 由于当 时, ,分母的极限不为 ,由商的极限运算法则,得例1.3.3 求 . 解 当 时, ,分母的极限是 ,不能直接应用商的极限运算法则.通常的方法是设法消去分母为零的因式,然后再利用有理运算法则. 例1.3.4 求 解 当 时, ,不能直接使用商的极限运算法则,但可采用分母有理化消去分母中的零因子.复合函数的极限法则2函数的性质3两个重要准则4时间是我们唯一对每个人都公平的资源做好时间管理，不再因虚度光阴而悔恨做好时

11、间管理，也是一个人能力的体现做好时间管理，是实现人生规划的保证 1.4.1 第一个重要极限 1.4 两个重要极限 1.4.2 第二个重要极限第一个重要极限1第二个重要极限2时间是我们唯一对每个人都公平的资源做好时间管理，不再因虚度光阴而悔恨做好时间管理，也是一个人能力的体现做好时间管理，是实现人生规划的保证 1.5.1 无穷小 1.5 无穷小与无穷大 1.5.2 无穷大 1.5.3 无穷大与无穷小的关系 1.5.4 无穷小的比较无穷小11、无穷小的定义2、无穷小的性质3、函数极限与无穷小的关系无穷大2无穷大与无穷小的关系3无穷小的比较4无穷小的比较4时间是我们唯一对每个人都公平的资源做好时间管

12、理，不再因虚度光阴而悔恨做好时间管理，也是一个人能力的体现做好时间管理，是实现人生规划的保证 1.6.1 函数的连续性 1.6 函数的连续性 1.6.2 函数的间断点及其分类函数的连续性11、函数在一点处连续2、区间上的连续函数函数的间断点及其分类21、间断点的概念1、间断点的分类时间是我们唯一对每个人都公平的资源做好时间管理，不再因虚度光阴而悔恨做好时间管理，也是一个人能力的体现做好时间管理，是实现人生规划的保证 1.7.1 连续函数的四则运算 1.7 连续函数的四则运算与初等函数的连续性 1.7.2 复合函数的连续性 1.7.3 闭区间上连续函数的性质连续函数的四则运算1复合函数的连续性2

13、初等函数的连续性3 闭区间上连续函数的性质4定理1.7.1（最大值和最小值定理） 闭区间上连续函数必有最值.时间是我们唯一对每个人都公平的资源做好时间管理，不再因虚度光阴而悔恨做好时间管理，也是一个人能力的体现做好时间管理，是实现人生规划的保证 2.1.1 导数的定义 2.1 导数的概念 2.1.2 导数的几何意义 2.1.3 可导与连续的关系t1.5,21.99,21.9999,222,2.0012,2.012,2.50.50.010.000100.0010.010.517.5119.551 19.599519.619.60519.64922.05导数的定义1导数的几何意义2可导与连续的关系

14、3时间是我们唯一对每个人都公平的资源做好时间管理，不再因虚度光阴而悔恨做好时间管理，也是一个人能力的体现做好时间管理，是实现人生规划的保证 2.2.1 导数的基本公式 2.2 导数的计算 2.2.2 导数的四则运算 2.2.3 复合函数的导数 2.2.4 几个求导方法 2.2.5 高阶导数及其计算导数的基本公式1导数的四则运算21、和差法则2、乘法法则3、除法法则复合函数的导数3几个求导方法41、反函数求导法2、隐函数求导方法3、对数求导方法4、参数方程求导法则高阶导数及其计算5时间是我们唯一对每个人都公平的资源做好时间管理，不再因虚度光阴而悔恨做好时间管理，也是一个人能力的体现做好时间管理，

15、是实现人生规划的保证 2.3.1 微分的概念 2.3 函数的微分 2.3.2 微分的几何意义 2.3.3 微分运算法则 2.3.4 近似计算微分的概念1微分的几何意义2微分运算法则31、微分基本公式2、微分基本法则近似计算4时间是我们唯一对每个人都公平的资源做好时间管理，不再因虚度光阴而悔恨做好时间管理，也是一个人能力的体现做好时间管理，是实现人生规划的保证 3.1.1 罗尔定理 3.1 中值定理 3.1.2 拉格朗日中值定理罗尔定理1拉格朗日中值定理2时间是我们唯一对每个人都公平的资源做好时间管理，不再因虚度光阴而悔恨做好时间管理，也是一个人能力的体现做好时间管理，是实现人生规划的保证 3.

16、2.1 洛必达法则I 3.2 洛必达法则 3.2.2 洛必达法则II洛必达法则:( 型)1洛必达法则:( 型)2时间是我们唯一对每个人都公平的资源做好时间管理，不再因虚度光阴而悔恨做好时间管理，也是一个人能力的体现做好时间管理，是实现人生规划的保证 3.3.1 函数单调性的判别方法 3.3 函数的单调性、极值与最值 3.3.2 函数的极值 3.3.3 函数的最大值与最小值函数单调性的判别方法1x(- ,-2)-2(-2,2)2(2,+ )y+0-0+yx(- ,0)0(0,1)1(1,+ )y- 0- 不存在+y 11函数的极值2x(- ,-1)-1(-1,3)3(3,+ )y+0-0+y极大

17、值10极小值-22x(- ,0)0(0,1)1(1,+ )y+不存在-0+y极大值0极小值函数的最大值与最小值3时间是我们唯一对每个人都公平的资源做好时间管理，不再因虚度光阴而悔恨做好时间管理，也是一个人能力的体现做好时间管理，是实现人生规划的保证 3.4.1 函数的凹凸性与拐点 3.4 函数的凹凸性与作图 3.4.2 渐近线 3.4.3 作初等函数的图形函数的凹凸性与拐点1x (- ,-2) -2 (-2,+ )y - 0 +y拐点(-2,-2 )x (- ,0)0(0,14)14(14,+ )y+不存在-0+y拐点(0,0)渐近线2作出等函数的图形3x(- ,0)0(0,1)1(1,2)2

18、(2,+ )y+0-0+y-0+y 极大值拐点极小值 时间是我们唯一对每个人都公平的资源做好时间管理，不再因虚度光阴而悔恨做好时间管理，也是一个人能力的体现做好时间管理，是实现人生规划的保证 3.5.1 函数变化率边际函数 3.5 变化率及相对变化率在经济中的应用边际分析与弹性分析介绍 3.5.3 收益 3.5.5 需求函数与供给函数 3.5.2 成本 3.5.4 函数的相对变化率函数的弹性 3.5.6 需求弹性与供给弹性 3.5.7 用需求弹性分析总收益(或市场销售总额)的变化函数变化率边际函数1成本2收益3函数的相对变化率函数的弹性4需求函数与供给函数5需求弹性与供给弹性6用需求弹性分析总

19、收益(或市场销售总额)的变化7时间是我们唯一对每个人都公平的资源做好时间管理，不再因虚度光阴而悔恨做好时间管理，也是一个人能力的体现做好时间管理，是实现人生规划的保证 4.1.1 原函数与不定积分的概念 4.1 不定积分的方法 4.1.2 不定积分的性质 4.1.3 不定积分的几何意义原函数与不定积分的概念1不定积分的性质2不定积分的几何意义3基本积分表4时间是我们唯一对每个人都公平的资源做好时间管理，不再因虚度光阴而悔恨做好时间管理，也是一个人能力的体现做好时间管理，是实现人生规划的保证 4.2.1 凑微分法的概念 4.2 凑微分法 4.2.2 凑微分法举例凑微分法的概念1凑微分法举例2时间

20、是我们唯一对每个人都公平的资源做好时间管理，不再因虚度光阴而悔恨做好时间管理，也是一个人能力的体现做好时间管理，是实现人生规划的保证 4.3.1 变量代换法的概念 4.3 变量代换法 4.3.2 三角代换 4.3.3 双曲代换 4.3.4 倒代换 4.3.5 有理代换变量代换法的概念1三角代换2双曲代换3倒代换4有理代换5时间是我们唯一对每个人都公平的资源做好时间管理，不再因虚度光阴而悔恨做好时间管理，也是一个人能力的体现做好时间管理，是实现人生规划的保证 4.4.1 分部积分公式 4.4 分部积分法 4.4.2 被积函数为多项式与指数函数、三角函数乘积的情形 4.4.3 被积函数为多项式与对

21、数函数、反三角函数之积的情形 4.4.4 形如 的积分 4.4.5 被积函数由某些复合函数构成的情形分部积分公式1被积函数为多项式与指数函数、三角函数乘积的情形2被积函数为多项式与对数函数、反三角函数之积的情形3形如 的积分4被积函数由某些复合函数构成的情形5时间是我们唯一对每个人都公平的资源做好时间管理，不再因虚度光阴而悔恨做好时间管理，也是一个人能力的体现做好时间管理，是实现人生规划的保证 4.5.1 简单有理分式函数的积分 4.5 其他积分方法 4.5.3 无理函数的积分 4.5.2 成本三角函数有理式的积分简单有理分式函数的积分1三角函数有理式的积分2无理函数的积分3时间是我们唯一对每

22、个人都公平的资源做好时间管理，不再因虚度光阴而悔恨做好时间管理，也是一个人能力的体现做好时间管理，是实现人生规划的保证 5.1.1 定积分的概念 5.1 定积分的概念与性质 5.1.2 定积分的几何意义 5.1.3 定积分的性质定积分的概念1定积分的几何意义2定积分的性质3 5.2.1 原函数存在定理 5.2 微积分基本定理 5.2.2 微积分基本定理(牛顿莱布尼茨公式)原函数存在定理1微积分基本定理(牛顿莱布尼茨公式)2时间是我们唯一对每个人都公平的资源做好时间管理，不再因虚度光阴而悔恨做好时间管理，也是一个人能力的体现做好时间管理，是实现人生规划的保证 5.3.1 凑微分法 5.3 定积分

23、的换元积分法与分部积分法 5.3.2 变量代换法 5.3.3 分部积分法 5.3.4 三角函数积分凑微分法1变量代换法2分部积分法3三角函数积分4时间是我们唯一对每个人都公平的资源做好时间管理，不再因虚度光阴而悔恨做好时间管理，也是一个人能力的体现做好时间管理，是实现人生规划的保证 5.4.1 无穷区间上的广义积分 5.4 广义积分 5.4.2 无界函数的广义积分无穷区间上的广义积分1无界函数的广义积分2时间是我们唯一对每个人都公平的资源做好时间管理，不再因虚度光阴而悔恨做好时间管理，也是一个人能力的体现做好时间管理，是实现人生规划的保证 5.5.1 平面图形的面积 5.5 定积分在几何上的应

24、用 5.5.3 曲线的弧长 5.5.2 旋转体的体积平面图形的面积1旋转体的体积2曲线的弧长3时间是我们唯一对每个人都公平的资源做好时间管理，不再因虚度光阴而悔恨做好时间管理，也是一个人能力的体现做好时间管理，是实现人生规划的保证 5.6 积分方程模型时间是我们唯一对每个人都公平的资源做好时间管理，不再因虚度光阴而悔恨做好时间管理，也是一个人能力的体现做好时间管理，是实现人生规划的保证 6.1.1 定义 6.1 常微分方程的基本概念 6.1.2 可分离变量的微分方程 6.1.3 一阶齐次微分方程 6.1.4 高阶微分方程定义1可分离变量的微分方程2一阶齐次微分方程3高阶微分方程4 6.2.1

25、一阶线性微分方程与常数变易法 6.2 微积分基本定理 6.2.2 一阶线性微分方程求解举例 6.2.3 全微分方程 6.2.4 利用伯努利方程求解一阶线性微分方程与常数变易法1一阶线性微分方程求解举例2全微分方程3利用伯努利方程求解4时间是我们唯一对每个人都公平的资源做好时间管理，不再因虚度光阴而悔恨做好时间管理，也是一个人能力的体现做好时间管理，是实现人生规划的保证 6.3 可降阶的二阶微分方程 6.3.1 y=f(x,y)型 6.3.2 y=f(y,y)型y=f(x,y)型1y=f(y,y)型2时间是我们唯一对每个人都公平的资源做好时间管理，不再因虚度光阴而悔恨做好时间管理，也是一个人能力

26、的体现做好时间管理，是实现人生规划的保证 6.4.1 二阶常系数线性微分方程解的性质及通解结构 6.4 广义积分 6.4.2 二阶常系数齐次线性微分方程的解法 6.4.3 二阶常系数非齐次线性微分方程的解法二阶常系数线性微分方程解的性质及通解结构1二阶常系数齐次线性微分方程的解法2二阶常系数非齐次线性微分方程的解法3时间是我们唯一对每个人都公平的资源做好时间管理，不再因虚度光阴而悔恨做好时间管理，也是一个人能力的体现做好时间管理，是实现人生规划的保证 6.5.1 数学建模简介 6.5 常微分方程与数学建模 6.5.2 经济模型举例数学建模简介1经济模型举例2时间是我们唯一对每个人都公平的资源做

27、好时间管理，不再因虚度光阴而悔恨做好时间管理，也是一个人能力的体现做好时间管理，是实现人生规划的保证 7.1.1 多元函数的概念 7.1 多元函数的基本概念 7.1.2 二元函数的极限 7.1.3 二元函数的连续性多元函数的概念1二元函数的极限2二元函数的连续性3二元连续函数在有界闭区域上的性质4 7.2.1 偏导数概念与计算 7.2 偏函数 7.2.2 高阶偏导数偏导数概念与计算1高阶偏导数2时间是我们唯一对每个人都公平的资源做好时间管理，不再因虚度光阴而悔恨做好时间管理，也是一个人能力的体现做好时间管理，是实现人生规划的保证 7.3 全微分 7.3.1 全微分的定义 7.3.2 全微分在近

28、似计算方面的应用全微分的定义1全微分在近似计算方面的应用2时间是我们唯一对每个人都公平的资源做好时间管理，不再因虚度光阴而悔恨做好时间管理，也是一个人能力的体现做好时间管理，是实现人生规划的保证 7.4.1 复合函数的求导法则 7.4 多元复合函数与隐函数的求导 7.4.2 隐函数的求导公式复合函数的求导法则1隐函数的求导公式2时间是我们唯一对每个人都公平的资源做好时间管理，不再因虚度光阴而悔恨做好时间管理，也是一个人能力的体现做好时间管理，是实现人生规划的保证 7.5.1 二元函数的极值 7.5 多元函数的极值和最值 7.5.2 多元函数的最值 7.5.3 二元函数的条件极值二元函数的极值1多元函数的最值2二元函数的条件极值3时间是我们唯一对每个人都公平的资源