六年级下册数学试题 - 奥数培优：几何与应用题 （解析版）全国通用

1、小学奥数几何与应用题姓名分数 模型一：同一三角形中，相应面积与底的正比关系：即：两个三角形高相等，面积之比等于对应底边之比。S1S2=ab ；模型一的拓展：等分点结论（“鸟头定理”）211如图，三角形 AED 占三角形 ABC 面积的=346模型二：任意四边形中的比例关系（“蝴蝶定D理”）As1OS3S4s2 S1S2=S4S3 或者 S1S3=S2S4 AOOC=（S1+S2）（S4+S3）BCa模型三：梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定理”）s1S4s222 S S =a b13S3a2b2abab ;S1S3S2S4=bS 的对应份数为（a+b）2模型四：相似三角形性质1 / 17ahbcbc

2、haBCBCHHAA abch;ABCH22S1S2=a AA模型五：燕尾定理SABG：SAGCSBGE：SGECBE：EC；FDSBGA：SBGCSAGF：SGFCAF：FC；SAGC：SBCGSADG：SDGBAD：DB；CBE【例 1】（难度等级 ）如图，长方形 ABCD 中，阴影部分是直角三角形且面积为 54，OD 的长是 16，OB 的长是 9.那么四边形 OECD 的面积是 .【分析与解】连结 DE，依题意11 BO AO 9 AO 54 ，22SAOB得 AO=12.于是可推知11 DO AO 16 12 96 ，22SAOD1又因为 SAOB SDOE 54 16 OE ，23

3、所以 OE= 6.42 / 171133这样可得 SBOE 2 BO EO 2 9 6 4 30 8 ，从而有SECD SBCD SBOE【例 2】（难度等级 ）如下左图.将三角形 ABC 的 BA 边延长 1 倍到 D，CB 边延长 2 倍到 E，AC 边延长 3 倍到 F.如果三角形 ABC 的面积等于 l，那么三角形 DEF的面积是 .【分析与解】连结 AE、BF、CD(如上右图).由于三角形 AEB 与三角 ABC 的高相等，而底边 EB=2BC，所以三角形 AEB 的面积是 2.同理，三角形 CBF 的面积是 3，三角形 ACD 的面积是 1.类似地三角形 AED 的面积=三角形 A

4、EB 的面积=2.三角形 BEF 的面积=2(三角形 CBF 的面积)=6.三角形 CFD 的面积=3(三角形 ACD 的面积)=3.于是三角形 DEF 的面积等于三角形 ABC、AEB、CBF、ACD、AED、BEF、CFD 的面积之和，即1+2+3+1+2+6+3=18.【例 3】（难度等级 ）如图，三角形 ABC 的面积是 1 平方厘米，且 BE=2EC，F 是 CD 的中点那么阴影部分的面积是()平方厘米【分析与解】213S3S ABE(平方厘米)，(平方厘米).ACE又S ACF S ADF，S BCF S BDF，11所以 S ACF +S BCF 2 S ABC 2 (平方厘米)

5、3 / 17于是S BCF (S ACF S BCF ) S ACE111=（平方厘米）.236111112又S CEF 2 S BEF (平方厘米)，26111故S BDF S BCF S BEF S CEF (平方厘米)6124115因此， S阴影 S BDF S BEF (平方厘米).4612【例 4】（难度等级 ）如图， 已知 AE= 1 AC ， CD= 1 BC ， BF= 1 AB ，那么5三角形D E F的面积 = _ _ _46三角形A B C的面积【分析与解】14连结辅助线 AD.因为 CD=SACDBc，所以 14(等高的两个三角形面积之比等于底边之比)SABCSACD

6、54同理SABC1从而 SCDE = 5 SABC连结辅助线 BE、CF，同理可证1SBDF = 8 SABC1SAEF = 6 SABC1 1 11-S61120 DEF5 6 8所以SABC1【例 5】（难度等级 ）4 / 17如图，BD 是梯形 ABCD 的一条对角线，线段 AE 与梯形的一条腰 DC 平行，AE 与 BD 相交于 O 点.已知三角形 BOE的面积比三角形 AOD 的面积大 4 平方米，并且 EC= 2 BC.5求梯形 ABCD 的面积.【分析与解】三角形 ABE 的面积比三角形 ABD 大 4 平方米，而三角形 ABD 与三角形 ACD 面积相等(同底等高)，因此也与三

7、角形 ACE 面积相等，从而三角形 ABE 的面积比三角形 ACE 大 4 平方米.222但 EC=BC，所以三角形 ACE 的面积是三角形 ABE 的，从而三角形 ABE 的面积是55-2324(1)=12(平方米)，3梯形 ABCD 的面积2=12(1+2)=28(平方米)3【例 6】（难度等级 ）如图，平行四边形的花池边长分别为 60 米与 30 米小明和小华同时从 A 点出发，沿着平行四边形的边由 ABCDA顺序走下去小明每分钟走 50 米，小华每分钟走 20 米，出发 5 分钟后小明走到 E 点，小华走到 F 点连结 AE、AF，则四边形 AECF 的面积与平行四边形 ABCD 的面

8、积的比是 【分析与解】小明 5 分钟共走了505=250(米)，这时，小明走过了路线是 ABCDABE，其中 CE=20 米(如图)小华 5 分钟共走了 205=100(米)，这时，小华走过的路线是 ABCF，其中 CF=10 米(如图)连结辅助线 AC，5 / 17S AEC ：S ABC =20：60=1：3，S ACF ：S ACD =10：30=l：3.1所以 S AEC + S ACF = 3 (S ABC +S ACD )，即四边形 AECF 与平行四边形 ABCD 的面积之比是 1：3【例 7】（难度等级 ）图中正方形周长是 20 厘米.那么图形的总面积是 平方厘米.【分析与解】

9、从图中可以看出，正方形的边长也是圆的半径.由此可知这两个圆是等圆.因为正方形的每个角都是 90。所以图中的两个扇形的圆心角都是 270。.两个扇形的面积是:3.14 522702=117.75(平方厘米).360正方形的面积是 55=25(平方厘米).图形的总面积是117.75+25=142.75(平方厘米).【例 8】（难度等级 ）如图中，阴影部分的面积是 57 平方厘米，三角形 ABC 的面积是 平方厘米.（ 取 314）【分析与解】根据对称性，可知原图中阴影部分的面积是 R2 4 R2 2 =（ -2） 4R2 0.285R2根据题意，有0.285R2 =5.72，所以 R2 =40，从

10、而SABC= R2 1 40 1 10 （平方厘米）.446 / 17【例 9】（难度等级 ）图中，已知圆心是，半径 r=9 厘米，1=2=150 ，那么阴影部分的面积是 平方厘米 (3.14)【分析与解】因为圆的半径都相等，于是 OA=OB在等腰三角形 AOB 中两个底角1=2=150 又知道三角形内角之和是1800 ，所以，三角形 AOB 的顶角AOB=1800 一(150 +150 )=1500 .同理AOC=1500 因此，BOC= 3600 (1500 1500 ) 600这就是说，阴影部分扇形的面积是圆面积的六分之一，即1 2 1 3.14 92 42.39 （平方厘米）.66【例

11、 10】（难度等级 ）图中阴影部分的面积是 平方厘米( 3.14)【分析与解】半圆面积是1 3.14 52 39.25 (平方厘米)，2扇形面积是453.14102 39.25 (平方厘米)，360ABC 面积是1(1010 50 平方厘米)2因此阴影面积是39.25+39.2550=28.5(平方厘米).7 / 17【例 11】（难度等级 ）图中两个阴影部分面积的和是多少平方厘米?【分析与解】3.14 ( 20)2 2=157(平方厘米)，2163.14 ()2 2 100.48 （平方厘米)，2123.14 ()2 2 56.52 (平方厘米)，212162=96(平方厘米)，15796=

12、61(平方厘米)，因此，阴影部分面积为100.48+56.5261=96(平方厘米)【例 12】（难度等级 ）如右图，ABCD 是正方形E 是 BC 边的中点，三角形 ECF 与三角形 ADF 面积一样大，那么三角形 AEF(阴影部分)的面积是正方形ABCD 面积的百分之 .（结果保留小数点后两位）【分析与解】设正方形边长为 1，因为三角形 ECF 与三角形 ADF 面积一样大，121而 EC=，AD=1，所以 CF=2DF从而 CF=，DF=.2三角形 AEF 的面积33111251- ( 1 2) =41.67.222312即是正方形 ABCD 面积的百分之 4167【例 13】（难度等级

13、 ）1在图中，已知矩形 GHCD 的面积是矩形 ABCD 面积的，矩形41MHCF 的面积是矩形 ABCD 面积的，矩形 BCFE 的面积等于 368 / 17平方米矩形 AEMG 的面积等于 平方米【分析与解】因为 GM:MH= (1 1) : 1 =1:2，所以矩形 AEFD 的面积等于矩形466BCFE 面积的 1 ，即 3 1 = 3 (平方米)222又因为 AG:AD=(1- 1 ):1=3:4，所以矩形 AEMG 的面积等于矩形 AEFD 面积的 3 ，即43 3 11 (平方米)2484【例 14】（难度等级 ）园林小路，曲径通幽如图所示，小路由白色正方形石板和青、红两色的三角形

14、石板铺成问：内圈三角形石板的总面积大，还是外圈三角形的总面积大?请说明理由【分析与解】两个相接触的正方形夹着一个外圈三角形石板和一个内圈三角形石板如图所示，EAF 与BAC 互补将BAC 绕 A 点顺时针旋转900 补到三角形EAD 的位置因为DAE+EAF=1800 ，所以 D、A、F 在一条直线上又 AD=AC从而 AD=AF可知，EA 为三角形 EDF 的 DF 边上的中线，于是三角形 EAF 与三角形 EAD 面积相等也就是三角形 EAF 与三角形 ABC 面积相等由于两个相接触的正方形石板所夹的外圈三角形面积等于内圈三角形面积，所以内圈三角形石板总面积等于外圈三角形石板的总面积【例

15、15】（难度等级 ）图中正六边形 ABCDEF 的面积是 54，AF=2PF，CQ=2BQ，求阴影四边形 CEPQ 的面积9 / 17【分析与解】如图，将正六边形 ABCDEF 等分为 54 个小正三角形根据平行四边形对角线平分平行四边形面积，PEF 面积=3，CDE 面积=9四边形 ABQP 面积=11上述三块面积之和为 3+9+11=23因此，阴影四边形 CEPQ 面积为 54-23=31.【例 16】（难度等级 ）已知四边形 ABCD 是正方形，边长为 3，BE=1.5，AF=1，求阴影(划线)部分的面积【分析与解】延长 DE 交 AB 的延长线于 H，由于 E 是 BC 中点所以 BH

16、=CD=3连 DF，设 DE 与 CF 相交于 G因为 CDFH=3(2+3) 35，所以 DGGH=35DGF 与GHF 的面积的比=DGGH=35113ADH 的面积 3(3+3)=9，ADF 的面积= 31 .22231515575所以DGF 的面积= 9 ，GHF 的面积=，23 51622BEH 的面积= 1 1.5 3 9 ，所求面积是 75 9 75 .2416416【例 17】（难度等级 ）图中 ABCD 是直角梯形，其中，AD=12 厘米，AB=8 厘米，BC=15厘米且三角形 ADE、四边形 DEBF、三角形 CDF 的面积相等那么三角形 EBF 的面积是 平方厘米10 /

17、 17【分析与解】直角梯形 ABCD 的面积是(12+15)82=108(平方厘米)因为三角形 ADE、四边形 DEBF、三角形 CDF 的面积相等，并且这三个图形的面积之和等于梯形 ABCD 的面积所以它们的面积都等于1083=36(平方厘米)在三角形 ADE 中，AD=12 厘米，所以 AE=36122=6(厘米).又知 AB=8 厘米，所以 EB=8-6=2(厘米)因为三角形 CDF 的高=AB=8(厘米)于是FC=3682=9(厘米)由于 BC=15 厘米，可知 BF=15-9=6(厘米)因为 B= 900 ( 24)2 ，所以三角形 EBF 的面积是212EBBF=262=6(平方厘

18、米)【例 18】（难度等级 ）正方形 ABCD 的面积是 160 平方厘米，连接这个正方形 4 条边的中点，又得到一个正方形 EFGH像这样重复几次后得到下图，图中涂黑色部分的面积是 平方厘米【分析与解】白色的三角形分为三层：1第 l 层的面积占总面积的；2111第 2 层的面积占总面积的；428第 3 层的面积占总面积的；1623211111121一共占2832322111所以黑色部分占总面积的1涂黑色的面积是3232160 55 (平方厘米)321111 / 17【例 19】（难度等级 ）如图，三个一样大小的正方形放在一个长方形的盒内，A 和 B 是两个正方形的重叠部分，C、D、E 是空出

19、的部分，每一部分都是矩形，它们的面积比是 A：B：C：D：E=1：2：3：4：5，那么这个长方形的长与宽之比是 【分析与解】为统一起见，对图中的矩形，横向称为长，纵向称为宽因为 A与 B 的宽相等，所以设 A 的长为 x，则 B 的长为 2x(见左上图)因为 C：D：E=3：4：5，C、D、E 的宽相等，所以设 C 的长为 3y，则 D、E 的长分别为 4y 和 5y因为图中的三个正方形相同，边长相等，于是得到 5y+x=2x+4y，化简得 x=y由此推知，若 A 的长为 1，则 B、C、D、E 的长依次为 2、3、4、5(见右上图)，正方形的边长为 6，大长方形的长为62+3=15因为 A

20、与 C 面积之比与长之比都是 1：3，所以它们的宽应相等，同为正方形边长的一半，即 62=3所以大长方形的宽为 6+3=9，长与宽之比为 15：9=5：3【例 20】（难度等级 ）五环图由内圆直径为 8，外圆直径为 10 的五个圆环组成，其中两两相交的小曲边四边形(阴影部分)的面积都相等，已知五个圆环盖住的总面积是 132.5，求每个小曲边四边形的面积(圆周率 取 3.14)【分析与解】每个圆环的面积是 ( 52 42 )=9 如果五个圆环彼此没有重合的部分，则它们的总面积是59 =45 12 / 17因为五环盖住的总面积是 132.5所以每个小曲边四边形的面积是45 132.5 8.8 =1

21、.154 27 26 83111188【例 21】（难度等级 ）已知四边形 ABCD 是直角梯形，上底 AD=8 厘米，下底 BC=10厘米，直角腰 CD=6 厘米，E 是 AD 的中点，F 是 BC 上的点，2BF=BC，G 为 DC 上的点，三角形 DEG 的面积与三角形 CFG3的面积相等那么，三角形 ABG 的面积是 平方厘米【分析与解】由题意可得:121ED DG CGFC2210FC=10(1)=(厘米)，ED=4(厘米)33CGED436 4,DGFC10105DG=6 （1+ 6） 2 8 (厘米),511S 1 4 2 8 60 ,DEG21111（2+3）S 5 60 27

22、,3S SADGBCGDEG1111 1 （8+10） 6 =54(平方厘米).S梯形ABCD2所以三角形 ABG 的面积是：54 27 26 8 (平方厘米)11113【例 22】A 和 B 两个数的比是 8：5，每一数都减少 34 后，A 是 B 的 2 倍，试求这两个数【分析与解】方法一：设 A 为 8x，则 B 为 5x，于是有(8x-34):(5x-34)=2：1，x=17，所以 A 为 136，13 / 17B 为 85方法二：因为减少的数相同，所以前后 A 、B 的差不变，开始时差占 3 份，后来差占 1 份且与 B 一样多，也就是说减少的 34，占开始的 3-1=2 份，所以开

23、始的 1 份为 342=17， 所以 A 为 178=136，B 为 175=85【例 23】近年来火车大提速，1427 次火车自北京西站开往安庆西站，行驶至全程的511再向前 56 千米处所用时间比提速前减少了 60 分钟，而到达安庆西站比提速前早了 2小时问北京西站、安庆西站两地相距多少千米?【分析与解】设北京西站、安庆西站相距多少千米？(x+56)：x=60：120，即(x+56)：x=1：2，即 x= 10 x+112，解得 x=123255111111即北京西站、安庆西站两地相距 1232 千米，【例 24】两座房屋 A 和 B 各被分成两个单元若干只猫和狗住在其中已知：A 房第一单

24、元内猫的比率(即住在该单元内猫的数目与住在该单元内猫狗总数之比)大于 B 房第一单元内猫的比率；并且 A 房第二单元内猫的比率也大于 B 房第二单元内猫的比率试问是否整座房屋 A 内猫的比率必定大于整座房屋 B 内猫的比率?【分析与解】 如下表给出的反例指出：对所提出问题的回答应该是否定的表中具体写出了各个单元及整座房屋中的宠物情况和猫占宠物总数的比率【例 25】家禽场里鸡、鸭、鹅三种家禽中公篱与母篱数量之比是 2：3，已知鸡、鸭、鹅数量之比是 8：7：5，公鸡、母鸡数量之比是 1：3，公鸭、母鸭数量之比是 3：4试求公鹅、母鹅的数量比【分析与解】公鸡占家禽场家禽总数的2112464515 :

25、 (35 4 4) 45 : 46 : (3 5 4 4) 46 : 47.=33338113，母鸡占总数的；8 7 5 1 310108334，母鸭占总数的；公鸭占总数的8 7 53 4202021332342（），母鹅占总数的（），公鹅、母公鹅占总数的3 21020203 210202032鹅数量之比为： ：3：220 2014 / 17【例 26】在古巴比伦的金字塔旁，其朝西下降的阶梯旁 6m 的地方树立有 1 根走子，其影子的前端正好到达阶梯的第 3 阶(箭头)另外，此时树立 l 根长 70cm 自杆子，其影子的长度为 175cm，设阶梯各阶的高度与深度都是 50cm，求柱子的高度为多

26、少？【分析与解】70cm 的杆子产生影子的长度为 175cm;所以影子的长度与杆子的长度比为：175：70=2.5 倍于是，影子的长度为 6+1.5+1.52.5=11.25，所以杆子的长度为 11.252.5=4.5m【例 27】已知三种混合物由三种成分 A、B、C 组成，第一种仅含成分 A 和 B，重量比为3：5；第二种只含成分 B 和 C，重量比为 I：2；第三种只含成分 A 和 C，重量之比为 2：3以什么比例取这些混合物，才能使所得的混合物中 A，B 和 C，这三种成分的重量比为 3：5：2 ?【分析与解】注意到第一种混合物种 A、B 重量比与最终混合物的 A、B 重量比相同，均为

27、3： 5.所以，先将第二种、第三种混合物的 A、B 重量比调整到 3：5，再将第二种、第三种混合物中 A、B 与第一种混合物中 A、B 视为单一物质.第二种混合物不含 A，第三种混合物不含 B，所以 1.5 倍第三种混合物含 A 为 3，5 倍第二种混合物含 B 为 5，即第二种、第三种混合物的重量比为 5：1.5于是此时含有 C 为 52+1.53=14.5，在最终混合物中 C 的含量为 3A5B 含量的 2 倍有 14.52-1=6.25，所以含有第一种混合物 6.25即第一、二、三这三种混合物的比例为 6.25：5：1.5=25：20：6【例 28】现有男、女职工共 1100 人，其中全体男工和全体女工可用同样天数完成同样的工作；若将男工人数和女工人数对调一下，则全体男 25 天完成的工作，全体女工需 36 天才能完成，问：男、女工各多少人?【分析与解】直接设出男、女工人数，然后在通过方程求解，过程会比较繁琐设开始男工为“1”，此时女工为“k”，有 1 名男工相当 k 名女工男工、女工人数对调以后，则男工为“k”，相当于女工“k