高中数学圆锥曲线练习题历年高考试题总结

1、高中数学圆锥曲线练习题及历年高考试题总结高中数学圆锥曲线练习题及历年高考试题总结高中数学圆锥曲线练习题及历年高考试题总结2009年高考数学试题分类汇编圆锥曲线一、选择题1.（2009全国卷理）设双曲线x2y21（a0,b0）的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率等于()a2b2（A）3（B）2（C）5（D）6解：设切点P(x0,y0)，则切线的斜率为y|xx02x0.由题意有y02x0又y0 x021x0解得:x021,b2,e1(b)25.aa2.（2009全国卷理）已知椭圆C:x2y21的右焦点为F,右准线为l，点Al，线段AF交C于点B，若2FA3FB,则|AF|=(A).

2、2(B).2(C).3(D).3解:过点B作BMl于M,并设右准线l与X轴的交点为N，易知FN=1.由题意FA3FB,故|BM|2.又由椭3圆的第二定义,得|BF|222|AF|2.应选A2333.（2009浙江理）过双曲线x2y21(a0,b0)的右极点A作斜率为1的直线，该直线与双曲线的两条a2b21BC，则双曲线的离心率是渐近线的交点分别为B,C若AB(2A2B3C5D10答案：C【解析】对于Aa,0，则直线方程为xya0，直线与两渐近线的交点为B，C，a2,aba2ab，则有BC2a2b2,2a2b),ABabab，因B,C(,)(2ba2b2,ababababaabab2ABBC,4

3、a2b2,e54.（2009浙江文）已知椭圆x2y21(ab0)的左焦点为F，右极点为A，点B在椭圆上，且BFx轴，a2b2直线AB交y轴于点P若AP2PB，则椭圆的离心率是（）A3B2C1D122325D【命题意图】对于对解析几何中与平面向量结合的考察，既体现了几何与向量的交汇，也体现了数形结合的巧妙应用【解析】对于椭圆，因为AP2PB，则OA2OF,a2c,e127.(2009山东卷理)设双曲线x2y21的一条渐近线与抛物线y=x2+1只有一个公共点，则双曲线的离心率为().a2b2A.5B.5C.5D.54222bx,由方程组ybx,消去y,得x2bx1【解析】:双曲线x2y21的一条渐

4、近线为ya0有唯一解,abayx21a所以=(b)240,a所以b2,eca2b21(b)25,应选D.aaaa答案:D.【命题立意】:此题考察了双曲线的渐近线的方程和离心率的观点,以及直线与抛物线的地址关系,只有一个公共点,则解方程组有唯一解.此题较好地考察了基本观点基本方法和基本技术.8.(2009山东卷文)设斜率为2的直线l过抛物线标原点)的面积为4,则抛物线方程为().222A.y4xB.y8xC.y4xy2ax(a2D.y8x0)的焦点F,且和y轴交于点A,若OAF(O为坐【解析】:抛物线y2ax(a0)的焦点F坐标为(a,0),则直线l的方程为y2(xa),它与y轴的交点为44A(

5、0,a)2,所以OAF的面积为1|a|a242|4,解得a8.所以抛物线方程为y28x,应选B.答案:B.【命题立意】:此题考察了抛物线的标准方程和焦点坐标以及直线的点斜式方程和三角形面积的计算.考察数形结合的数学思想,其中还隐含着分类议论的思想,因参数a的符号不定而引发的抛物线开口方向的不定以及焦点地址的相应变化有两种情况,这里加绝对值号能够做到合二为一.9.（2009全国卷文）双曲线x2y21的渐近线与圆(x3)2y2r2(r0)相切，则r=63（A）3（B）2（C）3（D）6答案：A解析：此题考察双曲线性质及圆的切线知识，由圆心到渐近线的距离等于r，可求r=310.（2009全国卷文）已

6、知直线yk(x2)(k0)与抛物线C:y28x相交A、B两点，F为C的焦点。若FA2FB,则k=(A)1(B)2(C)2(D)223333答案：D解析：此题考察抛物线的第二定义，由直线方程知直线过定点即抛物线焦点（2，0），由FA2FB及第二定义知xA22(xB2)联立方程用根与系数关系可求k=22。311.（2009安徽卷理）下列曲线中离心率为6的是2（A）x2y21（B）x2y21（C）x2y21（D）x2y212442464106得c23,1221，选B解析由e2b23,b22a2a2a212.（2009安徽卷文）下列曲线中离心率为的是A.B.C.D.【解析】依据双曲线x2y21的离心率

7、ec可判断得.ec6.选B。a2b2aa213.（2009安徽卷文）直线过点（-1，2）且与直线垂直，则的方程是AB.C.3D.3(x1)即3x【解析】可得l斜率为l:y22y10，选A。2214.（2009江西卷文）设F1和F2为双曲线x2y21(a0,b0)的两个焦点,若F1，F2，P(0,2b)是正三角a2b2形的三个极点,则双曲线的离心率为A3B2C5D322答案：B【解析】由tanc3有3c24b24(c2a2),则ec2,应选B.62b3a15.（2009江西卷理）过椭圆x2y21(ab0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若a2b2F1PF260，则椭圆的离心率

8、为A2B3C1D12323答案：B【解析】因为P(c,b2)，再由F1PF260有3b22a,进而可得ec3，应选Baaa316.（2009天津卷文）设双曲线x2y21(a0,b0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程a2b2为（）Ay2xBy2xCy2xDy1x22【解析】由已知获得b1,c3,ac2b22，因为双曲线的焦点在x轴上，故渐近线方程为bx2xy2【考点定位】本试题主要考察了双曲线的几何性质和运用。考察了同学们的运算能力和推理能力。17.(2009湖北卷理)已知双曲线x2y21的准线过椭圆x2y21的焦点，则直线ykx2与椭圆至多有一224b2个交点的充要条件是11B.

9、K,11A.K,2,222C.K2,2D.K,22,2222【解析】易得准线方程是a221x2bx2y22a2b24b21即b23所以方程是所以c41可得3x2+(4k2+16k)x3联立ykx240由0可解得A18.（2009四川卷文）已知双曲线x2y21(b0)的左、右焦点分别是F1、F2，其一条渐近线方程为yx，2b2点P(3,y0)在双曲线上.则PF1PF2A.12B.2C.0D.4【解析】由渐近线方程为yx知双曲线是等轴双曲线，双曲线方程是x2y22，于是两焦点坐标分别是（2，0）和（2，0），且P(3,1)或P(3,1).不妨去P(3,1)，则PF1(23,1)，PF2(23,1)

10、.PF1PF2(23,1)(23,1)(23)(23)1019.（2009全国卷理）已知直线ykx2k0与抛物线C:y28x相交于A、B两点，F为C的焦点，若|FA|2|FB|，则k1B.22D.22A.C.3333解：设抛物线C:y28x的准线为l:x2直线ykx2k0恒过定点P2,0.如图过A、B分别作AMl于M,BNl于N,由|FA|2|FB|,则|AM|2|BN|,点B为AP的中点.连结OB,则|OB|1|OB|BF|点B的横坐标为1,故点B的坐标为|AF|,2(1,k2202222),应选D31(2)x2y20,b0的右焦点为20.（2009全国卷理）已知双曲线C：2b21aaF,过

11、F且斜率为3的直线交C于A、B两点，若AF4FB,则C的离心率为w.w.w.k.s.5.u.c.o.mA6B.7C.5D.95585x2y21的右准线为l,过A、B分别作AMl解：设双曲线C：2b2a于M,BNl于N,BDAM于D,由直线AB的斜率为3,知直线AB的倾斜角为60BAD60,|AD|1|AB|,2由双曲线的第二定义有|AM|BN|AD|1(|AF|FB|)1|AB|1(|AF|FB|).e22又AF4FB13|FB|5|FB|e6应选Ae2521.（2009湖南卷文）抛物线y28x的焦点坐标是【B】A（2，0）B（-2，0）C（4，0）D（-4，0）解:由y28x,易知焦点坐标是

12、(p,0)(2,0)，应选B.2（2009辽宁卷文）已知圆C与直线xy0及xy40都相切，圆心在直线xy0上，则圆C的方程为（A）(x1)2(y1)22(B)(x1)2(y1)22(C)(x1)2(y1)22(D)(x1)2(y1)22【解析】圆心在xy0上,除去C、D,再结合图象,或许考证A、B中圆心到两直线的距离等于半径2即可答案B（2009宁夏海南卷理）双曲线x2-y2=1的焦点到渐近线的距离为412（A）23（B）2（C）3（D）140解析：双曲线x2-y23=1的焦点(4,0)到渐近线y3x的距离为d223,选A41224.（2009宁夏海南卷理）设已知抛物线C的极点在坐标原点，焦点

13、为F(1，0)，直线l与抛物线C相交于A，B两点。若AB的中点为（2，2），则直线的方程为_.Ax1,y1,Bx2,y2,则有x1x2，y124x1y224x2解析：抛物线的方程为y24x，两式相减得，y12y224x1x2，y1y241x1x2y1y2直线l的方程为y-2=x-2,即y=x答案：y=x的直线被圆学x2y225.（2009陕西卷文）过原点且倾斜角为604y0所截得的弦长为科网（A）3（B）2（C）6（D）23答案:D.解析:直线方程y=3x,圆的标准方程x2(y2)24,圆心(0,2)到直线的距离d3021，由垂径定(3)2(1)2理知所求弦长为d*2221223应选D.mn0

14、”是“方程mx2ny21”表示焦点在y轴上的椭圆”的26.（2009陕西卷文）“（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件(D)既不充分也不必要条件答案:C.解析:将方程mx2ny21转变为x2y21,根据椭圆的定义，要使焦点在y轴上必须知足10,10,所以11mnmn1，应选C.nm27.（2009四川卷文）已知双曲线x2y21(b0)的左、右焦点分别是F1、F2，其一条渐近线方程为yx，2b2点P(3,y0)在双曲线上.则PF1PF2A.12B.2C.0D.4x2y2【解析】由渐近线方程为yx知双曲线是等轴双曲线，双曲线方程是2，于是两焦点坐标分别是（2，0）和（2，0），

15、且P(3,1)或P(3,1).不妨去P(3,1)，则PF1(23,1)，PF2(23,1).PF1PF2(23,1)(23,1)(23)(23)1028.（2009x2y21，的渐近线与抛物线y2全国卷文）设双曲线b2a0b0 x1相切，则该双曲线的离a2心率等于（A）3（B）2（C）5（D）6【解析】本小题考察双曲线的渐近线方程、直线与圆锥曲线的地址关系、双曲线的离心率，基础题。解：由题双曲线x2y21，的一条渐近线方程为bx，代入抛物线方程整理得a2b2a0b0yaax2bxa0，因渐近线与抛物线相切，所以b24a20，即c25a2e5，应选择C。29.（2009全国卷文）已知椭圆C:x2

16、y21的右焦点为F,右准线l，点Al，线段AF交C于点B。若2FA3FB,则AF=(A)2(B)2(C)3(D)3【解析】本小题考察椭圆的准线、向量的运用、椭圆的定义，基础题。解:过点B作BMl于M,并设右准线l与X轴的交点为N，易知FN=1.由题意FA3FB,故|BM|2.又由椭3222|AF|2.应选A圆的第二定义,得|BF|332x2y2x2230.（2009湖北卷文）已知双曲线的准线经过椭圆y1（b0）的焦点，则b=2214b2A.3B.5C.3D.2【解析】可得双曲线的准线为xa21,又因为椭圆焦点为(4b2,0)所以有4b21.即b2=3故cb=3.故C.31.（2009天津卷理）

17、设抛物线y2=2x的焦点为F，过点M（3，0）的直线与抛物线相交于A，B两点，6与抛物线的准线相交于C，BF=2，则BCF与ACF的面积之比SBCF=SACFC4（A）4（B）2（C）4（D）153722(0.51,0.00)A【考点定位】本小题考察抛物线的性质、三点共线的坐标关系，和综合运算数学的能力，中档题。x=-0.5-2-4-6SBCFBCxB12xB1，F解析：由题知1025SACFACxA12xA12B13又|BF|xBxByB3222由A、B、M三点共线有yMyAyMyB即02xA03，故xMxAxMxB3xA332xA2，SSBCF2xB1314，应选择A。ACF2xA1415

18、32.（2009四川卷理）已知双曲线x2y21(b0)的左右焦点分别为F,F，其一条渐近线方程为yx，点2b212P(3,y0)在该双曲线上，则PF1PF2=A.12B.2C.0D.4（同文8）【考点定位】本小题考察双曲线的渐近线方程、双曲线的定义，基础题。解析：由题知b22，故y0321,F1(2,0),F2(2,0)，PF1PF2(23,1)(23,1)3410，应选择C。解析2：根据双曲线渐近线方程可求出双曲线方程x2y21，则左、右焦点坐标分别为F1(2,0),F2(2,0)，22再将点P(3,y0)代入方程可求出P(3,1)，则可得PF1PF20，应选C。33.（2009四川卷理）已

19、知直线l1:4x3y60和直线l2:x1，抛物线y24x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是A.2B.3C.11D.37516【考点定位】本小题考察抛物线的定义、点到直线的距离，综合题。解析：直线l2:x1为抛物线y24x的准线，由抛物线的定义知，P到l2的距离等于P到抛物线的焦点F(1,0)的距离，故此题化为在抛物线y24x上找一个点P使得P到点F(1,0)和直线l2的距离之和最小，最小值为F(1,0)到直线l1:4x3y6的0距离，即dmin|406|2，应选择A。5|3106|2解析2：如下列图，由题意可知d324234.（2009宁夏海南卷文）已知圆C1：(x1)2+(y

20、1)2=1，圆C2与圆C1对于直线xy10对称，则圆C2的方程为（A）(x2)2+(y2)2=1（B）(x2)2+(y2)2=1（C）(x2)2+(y2)2=1（D）(x2)2+(y2)2=1a1b110a2【解析】设圆C2的圆心为（a，b），则依题意，有22，解得：1b，对称圆的半径不b12a1变，为1，应选B。35.（2009福建卷文）若双曲线x2y21ao的离心率为2，则a等于a2323A.2B.3D.1C.2解析解析由x2y2可知虚轴b=3，而离心率e=ca232，解得a=1或a=3，参照选项知而应选a231aaD.1与圆x2y236.（2009重庆卷理）直线yx1的地址关系为（）A相

21、切B相交但直线可是圆心C直线过圆心D相离【解析】圆心(0,0)为到直线yx1，即xy10的距离d12，而021，选B。22237.（2009重庆卷理）已知以T4为周期的函数f(x)m1x2,x(1,1，其中m0。若方程3f(x)x恰1x2,x(1,3有5个实数解，则m的取值范围为（）A(15,8)B(15,7)C(4,8)D(4,7)333333【解析】因为当x(1,1时，将函数化为方程y221(y0)，实质上为一个半椭圆，其图像如下列图，m同时在坐标系中作出当x(1,3得图像，再根据周期性作出函数其余部分的图像，由图易知直线yx与第二个椭圆32y21(y0)相交，而与第三个半椭圆(x4)m2

22、2y22yy1(无公0共)点时，方程恰有5个实数解，将yx代入(x4)21(y0)得(x4)3m2m2(9m21)x272m2x135m20,令t9m2(t0)则(t1)x28tx15t0由(8t)2415t(t1)0,得t15,由9m215,且m0得m158)2y23同样由yx与第二个椭圆(x1(y0)由0可计算得m73m2综上知m(15,7)38.（200931，且过点（1，2）的圆的方程为（重庆卷文）圆心在y轴上，半径为）Ax2(y2)21Bx2(y2)21C(x1)2(y3)21Dx2(y3)21解法1（直接法）：设圆心坐标为(0,b)，则由题意知(o1)2(b2)1，解得b2，故圆的

23、方程为x2(y2)21。解法2（数形结合法）：由作图根据点(1,2)到圆心的距离为1易知圆心为（0，2），故圆的方程为x2(y2)21解法3（考证法）：将点（1，2）代入四个选择支，除去B，D，又由于圆心在y轴上，除去C。39.（2009年上海卷理）过圆：221的圆心，作直线分别交x、y正半轴于点A、B，AOB被C(x1)(y1)圆分红四部分（如图），若这四部分图形面积知足SS￥SS|,则直线AB有（）（A）0条（B）1条（C）2条（D）3条【解析】由已知，得：SIVSIISIIISI,，第II，IV部分的面积是定值，所以，SIVSII为定值，即SIIISI,为定值，当直线AB绕着圆心C移动时

24、，只可能有一个地址吻合题意，即直线AB只有一条，应选B。二、填空题1.（2009四川卷理）若O1:x2y25与O2:(xm)2y220(mR)相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是w【考点定位】本小题考察圆的标准方程、两直线的地址关系等知识，综合题。解析：由题知O1(0,0),O2(m,0)，且5|m|35，又O1AAO2，所以有m2(5)2(25)225m5，AB25204。52.（2009全国卷文）若直线m被两平行线l1:xy10与l2:xy30所截得的线段的长为22，则m的倾斜角能够是1530456075其中正确答案的序号是.（写出所有正确答案的序号）【解析】

25、本小题考察直线的斜率、直线的倾斜角、两条平行线间的距离，考察数形结合的思想。解：两平行线间的距离为d|31|2，由图知直线m与l1的夹角为30o，l1的倾斜角为45o，所以直线m11的倾斜角等于30o450750或45o300150。故填写或3.（2009天津卷理）若圆x2y24与圆x2y22ay60（a0）的公共弦的长为23，则a_。【考点定位】本小题考察圆与圆的地址关系，基础题。解析：由知x2y22ay60的半径为6a2，由图可知6a2(a1)2(3)2解之得a14.（2009湖北卷文）过原点O作圆x2+y2-6x8y20=0的两条切线，设切点分别为P、Q，则线段PQ的长为。【解析】可得圆

26、方程是(x3)2(y4)25又由圆的切线性质及在三角形中运用正弦定理得PQ45.（2009重庆卷文）已知椭圆x2y21(ab0)的左、右焦点分别为F1(c,0),F2(c,0)，若椭圆上存在一aca2b2点P使，则该椭圆的离心率的取值范围为sinPF2F1sinPF1F2.解法1，因为在PF1F2中，由正弦定理得PF2PF1sinPF1F2sinPF2F1则由已知，得ac，即aPF1cPF2PF2PF111设点(x0,y0)由焦点半径公式，得PF1aex0,PF2aex0则a(aex0)c(aex0)记得x0a(ca)a(e1)由椭圆的几何性质知x0a则a(e1)a，整理得e(ca)e(e1)

27、e(e1)e22e10,解得e21或e21，又e(0,1)，故椭圆的离心率e(21,1)解法2由解析1知PF1cPF2由椭圆的定义知aPF1PF22a则cPF2PF22a即PF22a2，由椭圆的几何性质知acaPF2ac,则2a2ac,既c22ca20,所以e22e10,以下同解析1.ca6.（2009重庆卷理）已知双曲线x2y21(a0,b0)的左、右焦点分别为F1(c,0),F2(c,0)，若双曲线上存a2b2在一点P使sinPF1F2a，则该双曲线的离心率的取值范围是sinPF2F1c解法1，因为在PF1F2中，由正弦定理得PF2PF1sinPF1F2sinPF2F1则由已知，得ac，即

28、aPF1cPF2，且知点P在双曲线的右支上，PF2PF111设点(x0,y0)由焦点半径公式，得PF1aex0,PF2ex0a则a(aex0)c(ex0a)解得x0a(ca)a(e1)由双曲线的几何性质知x0a则a(e1)a，整理得e(ca)e(e1)e(e1)e22e10,解得21e21，又e(1,)，故椭圆的离心率e(1,21)解法2由解析1知PF1cPF2由双曲线的定义知a2a2PF1PF22a则cPF2PF22a即PF2，由椭圆的几何性质知acaPF2ca,则2a2ca,既c22aca20,所以e22e10,以下同解析1.ca7.（2009北京文）椭圆x2y21的焦点为F,F，点P在椭

29、圆上，若|PF|4，则|PF|；FPF29212121.的大小为.w【解析】此题主要考察椭圆的定义、焦点、长轴、短轴、焦距之间的关系以及余弦定理.属于基础知识、基本运算的考察.a29,b23，ca2b2927，F1F227，又PF14,PF1PF22a6，PF22，又由余弦定理，得224222cosF1PF271，F1PF2120，2242故应填2,120.8（.2009北京理）设f(x)是偶函数，若曲线yf(x)在点(1,f(1)处的切线的斜率为1，则该曲线在(1,f(1)处的切线的斜率为_.【解析】此题主要考察导数与曲线在某一点处切线的斜率的观点.属于基础知识、基本运算的考察.取fxx2，

30、如图，采用数形结合法，易得该曲线在(1,f(1)处的切线的斜率为1.故应填1.9.（2009北京理）椭圆x2y21的焦点为F1,F2，点P在92椭圆上，若|PF1|4，则|PF2|_；F1PF2的小大为_.（第11题解答图）【解析】此题主要考察椭圆的定义、焦点、长轴、短轴、焦距之间的关系以及余弦定理.属于基础知识、基本运算的考察.a29,b23，ca2b2927，F1F227，224222又PF14,PF1PF22a6，PF22，又由余弦定理，得cosFPF71，2242F1PF2120，故应填2,120.10.（2009江苏卷）如图，在平面直角坐标系xoy中，A1,A2,B1,B2为椭圆x2

31、y21(ab0)的四个极点，Fa2b2为其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为.【解析】考察椭圆的基本性质，如极点、焦点坐标，离心率的计算等。以及直线的方程。直线A1B2的方程为：xy1；ab直线B1F的方程为：xy1。二者联立解得：T(2ac,b(ac)，cbacac则acb(ac)在椭圆x2y21(ab0)上，M(,)a2b2ac2(ac)(ac2(ac)21,c210ac3a20,e210e30，c)24(ac)2解得：e27511.（2009全国卷文）已知圆O：x2y25和点A（1，2），则过A且与圆O相切的直线与两坐

32、标轴围成的三角形的面积等于。解析：由题意可直接求出切线方程为y-2=1(x-1)，即x+2y-5=0,进而求出在两坐标轴上的截距分别是5和5，所以所求面积为1525。25222412.（2009广东卷理）巳知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为3，且G上一点到G的12，则椭圆G的方程为2两个焦点的距离之和为【解析】e3，2a12，a6，b3，则所求椭圆方程为x2y21.236913.(2009年广东卷文)以点（2，1）为圆心且与直线xy6相切的圆的方程是.【答案】(x2)2(y1)2252|216|525【解析】将直线xy6化为xy60,圆的半径r,所以圆的方程为(x2)2(y1)2

33、112214.（2009天津卷文）若圆x2y24与圆x2y22ay60(a0)的公共弦长为23，则a=_.【解析】由已知，两个圆的方程作差能够获得相交弦的直线方程为y1，利用圆心（0，0）到直线的a|1|2距离da为221，解得a=131【考点定位】本试题考察了直线与圆的地址关系以及点到直线的距离公式的运用。考察了同学们的运算能力和推理能力。15.（2009四川卷文）抛物线y24x的焦点到准线的距离是.【解析】焦点F（1，0），准线方程x1，焦点到准线的距离是216.（2009湖南卷文）过双曲线C：x2y2(a0,b0)的一个焦点作圆x2y22的两条切线，a2b21a切点分别为A，B，若AOB

34、120（O是坐标原点），则双曲线线C的离心率为2.解:AOB120AOF60AFO30c2a,c2.ea17.（2009福建卷理）过抛物线y22px(p0)的焦点F作倾斜角为45的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则p_解析：由题意可知过焦点的直线方程为py22pxx2p20，又yx，联立有p3px2yx42AB(12(3p)2p28p2。1)4418.（2009辽宁卷理）以知F是双曲线x2y21的左焦点，A(1,4),P是双曲线右支上的动点，则PFPA412的最小值为。【解析】注意到P点在双曲线的两只之间,且双曲线右焦点为F(4,0),于是由双曲线性质|PF|PF|2a4而|PA

35、|PF|AF5|两式相加得|PF|PA|9,当且仅当A、P、F三点共线时等号成立.【答案】919.（2009四川卷文）抛物线y24x的焦点到准线的距离是.【解析】焦点F（1，0），准线方程x1，焦点到准线的距离是220.（2009宁夏海南卷文）已知抛物线C的极点坐标为原点，焦点在x轴上，直线y=x与抛物线C交于A，B两点，若P2,2为AB的中点，则抛物线C的方程为。【解析】设抛物线为y2kx，与yx联立方程组，消去y，得：x2kx0，x1x2，故y24x.k2221.(2009湖南卷理)已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中，有一个内角为60o，则双曲线C的离心率为.【解析】

36、连虚轴一个端点、一个焦点及原点的三角形，由条件知，这个三角形的两边直角分别是b,c(b是虚半轴长，c是焦半距)，且一个内角是30，即得btan30，所以c3b，所以a2b，离心率ec36ca2222.（2009年上海卷理）已知F1、F2是椭圆C:x2y21（ab0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，a2b2且PF1PF2.若PF1F2的面积为9，则b=_.|PF1|PF2|2a【解析】依题意，有|PF1|PF2|18，可得4c2364a2，即a2c29，故有b3。|PF1|2|PF2|24c2是椭圆C:x2223.（2009上海卷文）已知F1、F22y21(ab0)的两个焦点，p为椭圆C上的一点，

37、且abPF1PF2。若PF1F2的面积为9，则b.|PF1|PF2|2a【解析】依题意，有|PF1|PF2|18，可得4c2364a2，即a2c29，故有b3。|PF1|2|PF2|24c2三、解答题1.(2009年广东卷文)（本小题满分14分）已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在x轴上,离心率为3,两个焦点分别为F1和F2,椭圆G上一点到F1和F2的距离之和为12.圆Ck:x2y222kx4y210(kR)的圆心为点Ak.求椭圆G的方程求AkF1F2的面积问是否存在圆Ck包围椭圆G?请说明原因.【解析】（1）设椭圆G的方程为：x2y21（ab0）半焦距为c;a2b22a12a6则c3,解得,b

38、2a2c23627933a2c所求椭圆G的方程为：x2y21369(2)点AK的坐标为K,2SVAKF1F21F1F2216326322（3）若k0，由620212k021512kf0可知点（6，0）在圆Ck外，若k0，由(6)20212k021512kf0可知点（-6，0）在圆Ck外；无论K为何值圆Ck都不能包围椭圆G.2.（2009全国卷理）（本小题满分12分）如图，已知抛物线E:y2x与圆M:(x4)2y2r2(r0)相交于A、B、C、D四个点。（I）求r得取值范围；（II）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P坐标解析：（I）这一问学生易下手。将抛物线E:y2x与圆M

39、:(x4)2y2r2(r0)的方程联立，消去y2，整理得x27x16r20（）抛物线E:y2x与圆M:(x4)2y2r2(r0)相交于A、B、C、D四个点的充要条件是：方程（）有两个不相等的正根即可.易得r(15,4).考生利用数形结合及函数和方程的思想来办理也能够2（II）考纲中明确提出不考察求两个圆锥曲线的交点的坐标。因此利用设而不求、整体代入的方法办理本小题是一个较好的切入点设四个交点的坐标分别为A(x1,x1)、B(x1,x1)、C(x2,x2)、D(x2,x2)。则由（I）根据韦达定理有x1x27,x1x216r2，r(15,4)2则S12|x2x1|(x1x2)|x2x1|(x1x

40、2)2S2(x1x2)24x1x2(x1x22x1x2)(7216r2)(4r215)令16r2t，则S2(72t)2(72t)下面求S2的最大值。方法一：利用三次均值求解。三次均值当前在两纲中虽不要求，但在办理一些最值问题有时很方便。它的主要手段是配凑系数或常数，但要注意取等号的条件，这和二次均值近似。S2(72t)2(72t)1(72t)(72t)(144t)21(72t72t144t)31(28)32323当且仅当72t144t，即t7时取最大值。经查验此时r(15,4)知足题意。62方法二：利用求导办理，这是命题人的意图。详细解法略。下面来办理点P的坐标。设点P的坐标为：P(xp,0)

41、由A、P、C三点共线，则x1x2x1得xpx1x2t7。x1x2x1xp6以下略。223.（2009浙江理）（此题满分15分）已知椭圆C1：y2x21(ab0)的右极点为A(1,0)，过C1的焦点且1ab垂直长轴的弦长为（I）求椭圆C1的方程；（II）设点P在抛物线C2：yx2h(hR)上，C2在点P处的切线与C1交于点M,N当线段AP的中点与MN的中点的横坐标相等时，求h的最小值b1a22解析：（I）由题意得b2,所求的椭圆方程为yx21，2a1b14（II）不妨设M(x1,y1),N(x2,y2),P(t,t2h),则抛物线C2在点P处的切线斜率为yxt2t，直线MN的方程为y2txt2h

42、，将上式代入椭圆C1的方程中，得4x2(2txt2h)240，即22222，因为直线MN与椭圆C1有两个不同的交点，所以有41tx4t(th)x(t)h40116t42(h2)t2h240，设线段MN的中点的横坐标是x3，则x3x1x2t(t2h)，22(1t2)设线段PA的中点的横坐标是x4，则x4t1，由题意得x3x4，即有t2，其中的2(1h)t1022(140,h或h3；h)1当h3时有h20,4h20，因此不等式116t42(h2)t2h240不可立；因此h1h1，当时代入方程t2(1h)t10得t1，将h1,t1代入不等式116t42(h2)t2h240成立，因此h的最小值为14.

43、（2009浙江文）（此题满分15分）已知抛物线C：x22py(p0)上一点A(m,4)到其焦点的距离为174I）求p与m的值；II）设抛物线C上一点P的横坐标为t(t0)，过P的直线交C于另一点Q，交x轴于点M，过点Q作PQ的垂线交C于另一点N若MN是C的切线，求t的最小值解析（）由抛物线方程得其准线方程：yp，根据抛物线定义2p171点A(m,4)到焦点的距离等于它到准线的距离，即4，解得p抛物线方程为：x2242y，将A(m,4)代入抛物线方程，解得m2（）由题意知，过点(,2)的直线PQ斜率存在且不为0，设其为k。Ptt则lPQ:yt2k(xt)，当y0,xt2kt,则M(t2kkt,0

44、)。k联立方程yt2k(xt)，整理得：x2kxt(kt)0 x2y即：(xt)x(kt)0，解得xt,或xktQ(kt,(kt)2)，而QNQP，直线NQ斜率为1klNQ:y(kt)21(kt)，联立方程y(kt)21x(kt)xkkx2y整理得：x21x1(kt)(kt)20，即：kx2x(kt)k(kt)10kkk(kt)1，或xkkxk(kt)1x(kt)0，解得：xtk2k(kt)12(k2kt1)2k(kt)1k(kt)1KNMk2N(,k2)，k(kt)1t2ktk(t2k21)kkk而抛物线在点N处切线斜率：k切yk(kt)12k(kt)2kkxMN是抛物线的切线，(k2kt1

45、)22k(kt)2，整理得k2tk12t20k(t2k21)kt24(12t2)0，解得t2（舍去），或t2，tmin23335.（2009北京文）（本小题共14分）已知双曲线C:x223。2y21(a0,b0)的离心率为3，右准线方程为xab3（）求双曲线C的方程；（）已知直线xym0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2y25上，求m的值.【解析】此题主要考察双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考察曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考察推理、运算能力a23（）由题意，得c3，解得a1,c3，c3ab2c2a22，所求双曲线C的方程为x2y21.（）设A、B两

46、点的坐标分别为2x1,y1,x2,y2，线段AB的中点为Mx0,y0，x2y21得x22mxm220（鉴别式0）,由2xym0 x1x2m,y0 x0m2m,x02点Mx0,y0在圆x2y25上，m225，m1.2m6.（2009北京理）（本小题共14分）22已知双曲线C:x2y21(a0,b0)的离心率为3，右准线方程为x3ab3（）求双曲线C的方程；（）设直线l是圆O:x2y22上动点P(x0,y0)(x0y00)处的切线，l与双曲线C交于不同的两点A,B，证明AOB的大小为定值.【解法1】此题主要考察双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考察曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，

47、考察推理、运算能力a23（）由题意，得c3，解得a1,c3，c3ab2c2a22，所求双曲线C的方程为x2y21.在圆x2y22（）点Px0,y0 x0y002上，圆在点Px0,y0处的切线方程为yy0 x0 xx0，y0化简得x0 xy0y2.由x2y21222224x0 x820，2及x0y0得3x04x2x0 x0 xy0y2切线l与双曲线C交于不同的两点A、B，且0 x022，3x0240，且16x0243x02482x020，设A、B两点的坐标分别为x1,y1,x2,y2，4x082x02则x1x23x024,x1x23x024，cosAOBOAOB，且OAOBOAOBx1x2y1y

48、2x1x2122x0 x12x0 x2，y0 x1x221x242x0 x1x2x02x1x2082x02148x02x0282x022224243x042x03x03x082x0282x020.3x0243x024AOB的大小为90.【解法2】（）同解法1.（）点Px0,y0 x0y00在圆x2y22上，圆在点Px0,y0处的切线方程为yy0 x0 xx0，y02.由x2y21及x02y02化简得x0 xy0y22得x0 xy0y23x024x24x0 x82x0203x024y28y0 x82x020切线l与双曲线C交于不同的两点A、B，且0 x022，3x0240，设A、B两点的坐标分别

49、为x1,y1,x2,y2，则x1x282x022x028，2,y1y2243x043x0OAOBx1x2y1y20，AOB的大小为90.（x02y022且x0y00，0 x022,0y022，进而当3x0240时，方程和方程的鉴别式均大于零）.7.（2009江苏卷）（此题满分10分）在平面直角坐标系xoy中，抛物线C的极点在原点，经过点A（2，2），其焦点F在x轴上。1）求抛物线C的标准方程；2）求过点F，且与直线OA垂直的直线的方程；（3）设过点M(m,0)(m0)的直线交抛物线C于D、E两点，ME=2DM，记D和E两点间的距离为f(m)，求f(m)对于m的表达式。【解析】必做题本小题主要考

50、察直线、抛物线及两点间的距离公式等基本知识，考察运算求解能力。满分分。8.(2009山东卷理)（本小题满分14分）设椭圆E:x2y21（a,b0）过M（，），N(6,1)两点，O为坐标原点，a2b222（I）求椭圆E的方程；（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的随意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且OAOB？若存在，写出该圆的方程，并求|AB|的取值范围，若不存在说明原因。解:（1）因为椭圆E:x2y21（a,b0）过M（2，2），N(6,1)两点,a2b242111所以a2b2解得a28所以a28椭圆E的方程为x2y2161111b2484a2b2b24（2）假定存在圆心在原点的圆，

51、使得该圆的随意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且OAOB,设该ykxm圆的切线方程为ykxm解方程组x2y2得x22(kxm)28,即(12k2)x24kmx2m280,184则=16k2m24(12k2)(2m28)8(8k2m24)0,即8k2m240 x1x24km12k2,2m28x1x212k2y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2k2(2m28)4k2m2m2m28k2要使OAOB,需12k212k212k2使x1x2y1y20,即2m28m28k20,所以3m28k280,所以k23m280又8k2m240,12k212k28所以m22,所以m28,

52、即m26或m26,因为直线ykxm为圆心在原点的圆的一条切线,3m28333所以圆的半径为rm,r2m2m28,r26,所求的圆为x2y28,此时圆的切线1k21k23m2833318ykxm都知足m26或m26,而当切线的斜率不存在时切线为x26与椭圆x2y21的33384两个交点为(26,26)或(26,26)知足OAOB,综上,存在圆心在原点的圆x2y28，使得33333该圆的随意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且OAOB.x1x24km12k2因为,x1x22m2812k2所以(x1x2)2(x1x2)24x1x2(4km2)242m288(8k2m24),12k12k2(12k2

53、)2|AB|(x1x2)2y1y22(1k2)(x1x2)2(1k2)8(8k2m24)(12k2)2324k45k2132k2,34k44k2114k44k231当k0时|AB|321134k214k2因为4k2148所以011,k24k2148k2所以32321112,334k214k2所以46|AB|23当且仅当k2时取”=”w.32当k0时,|AB|46.3当AB的斜率不存在时,两个交点为(26,26)或(26,26),所以此时|AB|46,综上,|AB|的取值范围为43343336|AB|23即:|AB|6,2333【命题立意】:此题属于探究是否存在的问题,主要考察了椭圆的标准方程确

54、实定,直线与椭圆的地址关系直线与圆的地址关系和待定系数法求方程的方法,能够运用解方程组法研究相关参数问题以及方程的根与系数关系.(2009山东卷文)（本小题满分14分）设mR,在平面直角坐标系中,已知向量a(mx,y1),向量b(x,y1),ab,动点M(x,y)的轨迹为E.1）求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状（2）已知m1,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的随意一条切线与轨迹E恒有两个交点A,B,且4OAOB(O为坐标原点),并求出该圆的方程;(3)已知m1l与圆C:x2y221l与轨迹E只有一个公共点1,设直线R(1R2)相切于A,且B,当R为何值时,|A14?并求最大值.1

55、取得最大值B|解:（1）因为ab,a(mx,y1),b(x,y1),所以abmx2y210,即mx2y21当m=0时,方程表示两直线,方程为y1;当m1时,方程表示的是圆当m0且m1时,方程表示的是椭圆;当m0时,方程表示的是双曲线.1x22ykxt(2).当m时,轨迹E的方程为1,设圆心在原点的圆的一条切线为ykxt,解方程组yx2y2441得x2t)24,即(14k2)x24t244(kx8ktx40,要使切线与轨迹E恒有两个交点A,B,则使=64k2t216(14k2)(t21)16(4k2t21)0,x1x28kt即4k2t210,即t24k214k21,且x1x24t2414k222

56、22t2t22y1y2(kx1t)(kx2t)k2x1x2kt(x1x2)t2k(4t24)8kt24k2,14k14k14k要使OAOB,需使x1x2y1y20,即4t24t24k25t24k240,1214k2124k4k所以5t24k240,即5t24k24且t24k21,即4k2420k25恒成立.所以又因为直线ykxt为圆心在原点的圆的一条切线,tt24(1k2)424所以圆的半径为r25所求的圆为x2y,r1k21k2,.1k255当切线的斜率不存在时,切线为x25,与x2y21交于点(25,25)或(25,25)也知足OAOB545555.4，使得该圆的随意一条切线与椭圆综上,存

57、在圆心在原点的圆x2y2E恒有两个交点A,B,且OAOB.5(3)当m1时,轨迹E的方程为x2y21,设直线l的方程为ykxt,因为直线l与圆C:x2y2R2(1R0 x的左、右两个交点，直线l过点B,且与x轴垂直，S为l上异于点B的一点，连结AS交曲线C于点T.若曲线C为半圆，点T为圆弧AB的三平分点，试求出点S的坐标；II）如图，点M是以SB为直径的圆与线段TB的交点，试问：是否存在a,使得O,M,S三点共线？若存在，求出a的值，若不存在，请说明原因。解法一：()当曲线C为半圆时，a1,如图，由点T为圆弧AB的三平分点得BOT=60或120.(1)当BOT=60时,SAE=30.又AB=2

58、,故在SAE中,有SBABtan30,s(t,);23(2)当BOT=120时,同理可求得点S的坐标为(1,23),综上,S(1,)或S(1,23)()假定存在a(a0),使得O,M,S三点共线.由于点M在以SB为直线的圆上,故BTOS.显然,直线AS的斜率k存在且k0,可设直线AS的方程为yk(xa).x2y21得(1a2k2)x22a2k2xa4k2a2由a20yk(xa)设点a2k2a21a2k2,T(xT,yT),xT(a)aa2k2k(xTa)故xT2k2,进而yT1aaa2k22ak2).亦即T(a2k2,2k11aB(a,0),BT(2a2k22ak2)a2k2,2k11a2ak

59、22.1ak由xa得s(a,2ak),OS(a,2ak).yk(xa)由BTOS,可得BTOS2a2k24a2k20即2a2k24a2k201a2k2k0,a0,a2经查验,当a2时,O,M,S三点共线.故存在a2,使得O,M,S三点共线.解法二:()同解法一.()假定存在a,使得O,M,S三点共线.由于点M在以SO为直径的圆上,故SMBT.显然,直线AS的斜率k存在且K0,可设直线AS的方程为yk(xa)x2y21得(1a2b2)x22a2k2xa2k2a2由a20yk(xa)设点T(xT,yT),则有xT(a)a4k2a21a2k2.a2k2a2k2故xTa2aka2ak22,进而yTk(

60、xTa)22亦即T(2222).aakyT121ak1ak1akB(a,0),kBTxT,故kSMa2kaak由xa得S(a,2ak),所直线SM的方程为y2aka2k(xa)yk(xa)O,S,M三点共线当且仅当O在直线SM上,即2ak2.ak(a)a0,K0,a2故存在a2,使得O,M,S三点共线.（2009辽宁卷文）（本小题满分12分）已知，椭圆C以过点A（1，3），两个焦点为（1，0）（1，0）。21）求椭圆C的方程；2）E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值。(22)解：（）由题意，c1,可设椭圆方程为x2y21