初中数学竞赛试题

1、学习必备 欢迎下载中学数学竞赛试题一,选择题（共5 小题,每道题 7 分,共35 分. 以下每道小题均给出了代号为 A,B,C,D 的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的 . 请将正确选项的代号填入题后的括号里,不填,多填或错填都得 0 分）1已知非零实数 a,b 中意2a 4 b2 a 3b 24 2a ,就a b 等于（）（A ）1 （B）0 （C）1 （D）2 D C2如图,菱形 ABCD 的边长为a,点O 是对角线 AC 上的一点,且 OAa,OB O OCOD1,就a 等于（）（A ）5 1 （B ）5 1 （C）1 （D）2 A （第2 题）B 2 23将一枚六个面编号分别为 1

2、,2,3,4,5,6 的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次,记第一次掷出的点数为a ,其次次掷出的点数为 b ,就使关于x,y 的方程组 ax by 3,只有正数解的概率为（）x 2y 21 2 5 13 （A ）（B）（C）（D）12 9 18 36 4如图1 所示,在直角梯形 ABCD 中,ABDC ,B 90 . 动点P 从点B 动身,沿梯形的边由 B C D A 运动. 设点P 运动的路程为x,ABP 的面积为y. 把y 看作x 的函数,函数的图像如图 2 所示,就ABC 的面积为（）（A ）10 （B）16 （C）18 （D）32 图1 图2 （第4 题）5关于x,y 的方程2 x x

3、y 2 2 y 29 的整数解（x,y）的组数为（）（A ）2 组（B ）3 组（C）4 组（D）无穷多组二,填空题（共5 小题,每道题7 分,共35 分）6一个自行车轮胎,如把它安装在前轮,就自行车行驶5000 km 后报废；如把它安装在后轮,就自行车行驶3000 km 后报废,行驶确定路程后可以交换前,后轮胎假如交换前,后轮胎,要使一辆自行车的一 对新轮胎同时报废,那么这辆车将能行驶 km 第 1 页,共 10 页学习必备 欢迎下载7已知线段AB 的中点为C,以点A 为圆心,AB 的长为半径作圆,在线段AB 的延长线上取点 D,使得BD AC；再以点D 为圆心,DA 的长为半径作圆,与就A

4、H 的值为AB A 分别相交于F,G 两点,连接FG 交AB 于点H,8已知 a1,a2,a3,a4,a5 是中意条件 a1 a2 a3 a4 a5 9 的五个不同的整数,如 b 是关于x 的方程x a1 x a2 x a3 x a4 x a5 2022 的整数根,就b 的 C值为9如图,在ABC 中,CD 是高,CE 为 ACB 的平分线如 AC15,BC 20,CD 12,就CE 的长等于A D E B 1010 个人围成一个圆圈做玩耍玩耍的规章是：每个人心里都想好一个数,并把自己想好的数照实地告知他两旁的两个人,然后每个人将他两旁的两个人告知他的数的平均数报出来如报出来的数如以下图,就报

5、 3的人心里想的数是（第10 题）三,解答题（共 4 题,每题20 分,共80 分）11已知抛物线y x 2与动直线y 2t 1 x c 有公共点 x1 , y1 , x2 , y2 ,且x1 2x2 2t 2 2 t 3 . （1）求实数t 的取值范畴；（2）当t 为何值时,c 取到最小值,并求出 c 的最小值. 12已知正整数a 中意192 a 3191,且a 2022 ,求中意条件的全部可能的正整数 a 的和第 2 页,共 10 页学习必备 欢迎下载13如图,给定锐角三角形 ABC,BC CA ,AD,BE 是它的两条高,过点C 作ABC 的外接圆的切线l ,过点D,E 分别作l的垂线,

6、垂足分别为F,G试比较线段DF 和EG 的大小,并证明你的结论n1 an 2022 ；且a1,a2,an 中任意14n 个正整数a1,a2,an 中意如下条件：1 a1 a2 个不同的数的算术平均数都是正整数求 n 的最大值参考答案一,选择题（共5 小题,每道题 7 分,共35 分. 以下每道小题均给出了代号为 A,B,C,D 的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的 . 请将正确选项的代号填入题后的括号里,不填,多填或错填都得 0 分）21已知非零实数 a,b 中意2a 4 b2 a 3b 4 2a ,就a b 等于（）（A ）1 （B）0 （C）1 （D）2 第 3 页,共 10 页学习必

7、备 欢迎下载【答】C解：由题设知a 3,所以,题设的等式为b22 a 3b 0 ,于是a3,b 2 ,从而a b 12如图,菱形ABCD 的边长为a,点O 是对角线AC 上的一点,且OAa,OB OCOD1,就a 等于（）（C）1 （D）2 （第2 题）（A ）5 1 （B ）5 1 22【答】A 解：由于BOC ABC,所以BO BC ,即1a,）AB AC aa1所以,a2 a1 0 由a 0 ,解得a1253将一枚六个面编号分别为1,2,3,4,5,6 的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次,记第一次掷出的点数为a ,其次次掷出的点数为b ,就使关于x,y 的方程组ax by 3,只有正数解

8、的概率为（x 2y 2（A ）1（B）2（C）5（D）13 12 918 36 【答】D 解：当2a b 0 时,方程组无解6 2b x , 当2a b 0 时,方程组的解为 2a b2a 3 y . 2a b6 2b 2a b 0, 2a b 0, 由已知,得 2a b 0, 即 a 3, 或 a 3, 2 a 3 0, 2 22a b b 3, b 3. 由a ,b 的实际意义为 1,2,3,4,5,6,可得a 2,3,4,5,6,a 1,共有 5 210 种情形；或 共3 种情形b 1,2,b 4,5,6,又掷两次骰子显现的基本事件共 6636 种情形,故所求的概率为 13 36 第 4

9、 页,共 10 页学习必备欢迎下载B C 2 所示,4如图1 所示,在直角梯形ABCD 中,ABDC ,B 90 . 动点P 从点B 动身,沿梯形的边由 D A 运动. 设点P 运动的路程为x,ABP 的面积为y. 把y 看作x 的函数,函数的图像如图就ABC 的面积为（）（A ）10 （B）16 （C）18 （D）32 【答】B 图1 （第4 题）图2 解：依据图像可得BC4,CD 5,DA5,进而求得AB 8,故SABC18416. ）22 5关于x,y 的方程x xy 2 2 y 29 的整数解（x,y）的组数为（A ）2 组（B ）3 组（C）4 组（D）无穷多组【答】C解：可将原方程

10、视为关于x 的二次方程,将其变形为3 ；916 2 x 2 yx 2 y 29 0 由于该方程有整数根,就判别式 0 ,且是完全平方数由2 y 2 42 y 29 2 7 y 116 0 ,解得2 y 116 于是72 y 014116 109 88 53 4明显,只有2 y 16 时,4 是完全平方数,符合要求当y 4 时,原方程为x2 4 x 30 ,此时x 1, x 当y4 时,原方程为2 x 4 x 30 ,此时x 31, x 3 所以,原方程的整数解为x1 1, x2 3, x3 1, x4 3, 4. y1 4; y2 4; y3 4; y4 二,填空题（共5 小题,每道题7 分,

11、共35 分）第 5 页,共 10 页学习必备 欢迎下载6一个自行车轮胎,如把它安装在前轮,就自行车行驶5000 km 后报废；如把它安装在后轮,就自行车行驶3000 km 后报废,行驶确定路程后可以交换前,后轮胎假如交换前,后轮胎,要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废,那么这辆车将能行驶 km 【答】3750解：设每个新轮胎报废时的总磨损量为 k, 就安装在前轮的轮胎每行驶 1 km 磨损量为 k , 安装在后轮的轮胎每行驶 1km 的磨损量为 k . 5000 3000 又设一对新轮胎交换位置前走了 x km ,交换位置后走了 y km. 分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列kx ky k,

12、方程, 有 5000 3000 ky kx k, 5000 3000 两式相加,得 k x y k x y 2k ,5000 3000 就 x y 1 21 3750 5000 3000 7已知线段AB 的中点为 C,以点A 为圆心,AB 的长为半径作圆,在线段AB 的延长线上取点 D,使得BD AC；再以点 D 为圆心,DA 的长为半径作圆,与A 分别相交于F,G 两点,连接FG 交AB 于点H,AH 就 的值为AB 解：如图,延长AD 与D 交于点E,连接AF,EF 由题设知AC 1 AD ,3AB 1 AE ,在3FHA 和EFA 中,（第7 题）EFA FHA 90 ,FAH EAF

13、所以RtFHA RtEFA,AH AF . AF AE a3 a4 a5 9 的五个不同的整数,如b 是关于x 的方程而AF AB ,所以AH 1. AB 38已知a1,a2,a3,a4,a5 是中意条件a1 a2 x a1 x a2 x a3 x a4 x a5 2022 的整数根,就b 的值为【答】10第 6 页,共 10 页解：由于ba1 b a2 b a3 学习必备欢迎下载是五个不同的整数,b a4 b a5 2022,且a1,a2,a3,a4,全部b a1,b a2,b a3,b a4,b a5 也是五个不同的整数又由于 2022 1 1 7 7 41,所以b a1 b a2 b a

14、3 b a4 b a5 41由a1 a2 a3 a4 a5 9 ,可得b 10 9如图,在ABC 中,CD 是高,CE 为 ACB 的平分线如 AC15,BC20,CD12,就CE 的长等于【答】60 2 7解：如图,由勾股定理知 AD 9,BD 16,所以ABADBD 25 故由勾股定理逆定理知ACB 为直角三角形,且 ACB 90 作EFBC ,垂足为F设EFx,由 ECF 1ACB 45 ,得CFx,于是BF20 x2由于EFAC,所以即x 20 x ,20 EF BF ,BC （第9 题）AC 15 解得x 60 所以CE 2 x 60 2 771010 个人围成一个圆圈做玩耍玩耍的规

15、章是：每个人心里都想好一个数,并把自己想好的数照实地告诉他两旁的两个人,然后每个人将他两旁的两个人告知他的数的平均数报出来如报出来的数如以下图,（第10 题）就报3 的人心里想的数是【答】2 解：设报3 的人心里想的数是x ,就报5 的人心里想的数应是8 x 于是报7 的人心里想的数是12 8 x 4x ,报9 的人心里想的数是16 4 x 12 x ,报1 的人心里想的数是20 12 x 8 x ,报3 的人心里想的数是4 8 x 4x 所以x 4 x ,解得x 2 第 7 页,共 10 页三,解答题（共学习必备欢迎下载4 题,每题20 分,共80 分）11已知抛物线y 2 x 与动直线y

16、2t 1 x c 有公共点 x1 , y1 , x2 , y2 ,且2 x1 2 x2 2 t 2t 3 . （1）求实数t 的取值范畴；（2）当t 为何值时,c 取到最小值,并求出c 的最小值. 5 分 10 分20 分a 的和5 分解：（1）联立y 2 x 与y 2t 1 x c ,消去y 得二次方程2 x 2t 1x c 0有实数根x1 ,x2 ,就x1 x2 2t 1, x1 x2 c 所以c x x 1 2 1 x 1 x 2x 2x 22= 1 2t 1 2 t 22t 3 1 3t 22 2把式代入方程得x 2 2t 1x 1 3t 2 26t 4 6t 4 0 t 的取值应中意

17、2 t 2t 3 2 x1 2 x2 0,且使方程有实数根,即2 2 t 12 23t 6t 4 2 2t 8t 7 0,解不等式得t -3 或t 1,解不等式得22 t 22. 22所以,t 的取值范畴为22 t 22. 15 分222 由式知c 1 3t 226t 4 3 t 22 1 1. 2由于c 3t 2 1 1在22 t 2 2时是递增的,2222所以,当t 22时, cmin 32 22 1 111 62. 2222412已知正整数a 中意192 a3191,且a 2022 ,求中意条件的全部可能的正整数解：由192 a3191 可得192 3 a1192 326 ,且3 a 1

18、 a1 aa 1 1 a 1a a 1 a 1由于a a 11 是奇数,所6 3 2 a 1 等价26a 1,以于第 8 页,共 10 页学习必备 欢迎下载又由于3 a 1aa 1,所以 3 a 3 1 等价 3 a 1于因此有 192 a 1,于是可得a 192k 1 15 分又0 a 2022 ,所以k 0,1,10因此,中意条件的全部可能的正整数 a 的和为11192（1210）1057120 分13如图,给定锐角三角形 ABC,BC CA ,AD,BE 是它的两条高,过点C 作ABC 的外接圆的切线l,过点D,E 分别作 l 的垂线,垂足分别为 F,G试比较线段 DF 和EG 的大小,并证明你的结论解法1：结论是 DF EG 下面给出证明5 分由于 FCD EAB ,所以Rt FCD RtEAB 于是可得DF BE CD AB 同理可得 EG AD CE 10 分AB 又由于 tan ACB AD BE ,所以有 BE CD AD CE ,于是可得（第1