2025年黑龙江省哈尔滨市中考数学试卷附答案

2025年黑龙江省哈尔滨市中考数学试卷一、选择题（每小题3分，共计30分）1．（3分）的倒数是（）A． B．﹣2 C．﹣ D．22．（3分）传统建筑中的窗格设计精巧、样式繁多，体现了我国建筑独特的艺术表现力和文化内涵．下列窗格图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．3．（3分）黑龙江水系径流资源丰富，水能资源总蕴藏量约32000000千瓦，将32000000用科学记数法表示为（）A．3.2×105 B．3.2×106 C．3.2×107 D．3.2×1084．（3分）六个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其俯视图是（）A． B． C． D．5．（3分）方程的解为（）A．x＝2 B．x＝3 C．x＝﹣3 D．x＝16．（3分）抛物线y＝﹣+4的顶点坐标是（）A．（3，4） B．（﹣3，4） C．（﹣3，﹣4） D．（3，﹣4）7．（3分）如图，用大小相等的小正方形拼大正方形，拼第1个正方形需要4个小正方形，按照这样的方法拼成的第6个正方形需要（）个小正方形．A．30 B．40 C．49 D．568．（3分）如图，AB∥CD∥EF，若BC＝5，则＝（）A． B． C． D．9．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC＝10，以点A为圆心，适当长为半径画弧，AC于点M，N，分别以点M，大于MN的长的一半为半径画弧，两弧交于点D，连接EF，则EF的长是（）A．5 B． C．8 D．10．（3分）如图，在▱ABCD中，∠A＝30°，AD＝3．点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线AD→DC运动，以每秒2个单位长度的速度沿AB向点B运动，其中一个动点到达终点时，运动时间为x秒，则下列图象中大致反映y与x之间函数关系的是（）A． B． C． D．二、填空题（每小题3分，共计30分）11．（3分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是．12．（3分）把多项式3m2﹣12分解因式的结果是．13．（3分）桌上倒扣着背面图案相同的7张扑克牌，其中5张红桃，2张黑桃．从中随机抽取1张．14．（3分）不等式组的解集是．15．（3分）一个扇形的弧长是πcm，半径是3cm.度．16．（3分）某玩具汽车的功率P（单位：W）为定值，行驶速度v（单位：m/s）（单位：N）是反比例函数关系，它的图象如图所示W．17．（3分）定义新运算：a⊗b＝2ab﹣b2，则（3n）⊗（2n）的运算结果是．18．（3分）在△ABC中，∠A＝80°，点D在射线AB上，连接CD，∠BCD＝10°度．19．（3分）抛物线y＝x2﹣2x+c与y轴交于点C（0，﹣3），与x轴交于点A，B，则线段AB长是．20．（3分）如图，▱ABCD中，对角线AC，过点O作BD的垂线，分别交BC，N，延长DC交直线MN于点E，延长BA交直线MN于点F，BE，有如下结论：①OA＝OC；②四边形BEDF是菱形；③若FA＝FN＝1，则OD＝；④若FA＝1，∠ABE＝60°，点P为EF上的一个动点．上述结论中，所有正确结论的序号是．三、解答题（其中21-22题各7分，23-24题各8分，25-27题各10分，共计60分）21．（7分）先化简，再求代数式的值22．（7分）如图，方格中每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，请用无刻度的直尺按下列要求画图．（1）在方格纸中，画出△ACD（点D在格点上），满足；（2）在△ABC的边BA上画出点E，使线段BE的长是3个单位长度（保留作图痕迹，体现作图过程），连接ED23．（8分）跳绳是一项集健身与娱乐为一体的体育活动，有利于学生的身心健康发展．颖立中学为了解全校学生60秒钟的跳绳次数，随机抽取部分学生进行测试A组学生跳绳次数（单位：次）如下：组别次数x（单位：次）频数A组60≤x＜100°9B组100≤x＜140mC组140≤x＜18012D组180≤x＜2203根据以上信息回答下列问题：（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？（2）A组学生跳绳次数的中位数是，m的值是；（3）若颖立中学共有1500名学生，估计该中学60秒钟的跳绳次数在100≤x＜140范围的学生有多少名．24．（8分）已知：在正方形ABCD的内侧作等边三角形CDF，连接AF，BF．（1）如图①，求证△ADF≌△BCF；（2）如图②，过点C作CE⊥CF，交AF的延长线于点E，交AE于点M，连接BM，连接BD交CF于点G，在不添加任何辅助线的情况下（线段AF，BF除外）．25．（10分）为了节能减排，晶扬工厂决定将照明灯换成节能灯．若购买4盏甲型节能灯和5盏乙型节能灯需用64元；若购买6盏甲型节能灯和2盏乙型节能灯需用52元．（1）求1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价各是多少元；（2）晶扬工厂决定购买以上两种型号的节能灯共50盏，总费用不超过360元，那么该工厂最少可以购买多少盏甲型节能灯？26．（10分）已知：△ABC内接于⊙O，圆心O在△ABC的内部，CD为⊙O的直径，∠BCD+2∠ABD＝90°．（1）如图①，求证AB＝AC；（2）如图②，过点A作⊙O的切线，交BD的延长线于点P；（3）如图③，在（2）的条件下，PD＝3BD，连接OE交AC于点M，OE＝AB上一点，，连接CG，连接ON，∠EON＝2∠EDC，点F为的中点，AF，求△AEF的面积．27．（10分）已知：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线AB与y轴交于点A，点A的坐标为（0，7），点B的坐标为．（1）求直线AB的解析式；（2）如图①，C为x轴正半轴上一点，CD⊥AB于点D（点D不与点A重合），连接AC，设点C的横坐标为m，求d与m的函数解析式（不要求写出自变量m的取值范围）；（3）如图②，在（2）的条件下，点D横坐标为﹣3m，∠AEC＝90°，∠OCE＝135°，设点F的横坐标为n（2＜n＜4），点S在OC上n，在第四象限内作SR⊥OC，SR＝，RG⊥OR，交x轴于点G，PG+OR＝PR

题号12345678910答案DBC．ABACDAA11．（3分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是x≠7．【答案】见试题解答内容【解答】解：由题意得：x﹣7≠0，解得：x≠2，故答案为：x≠7．12．（3分）把多项式3m2﹣12分解因式的结果是3（m+2）（m﹣2）．【答案】3（m+2）（m﹣2）．【解答】解：3m2﹣12＝5（m2﹣4）＝7（m+2）（m﹣2），故答案为：3（m+2）（m﹣2）．13．（3分）桌上倒扣着背面图案相同的7张扑克牌，其中5张红桃，2张黑桃．从中随机抽取1张．【答案】．【解答】解：∵共有7张扑克牌，其中5张红桃，∴从中随机抽取7张，则抽取的扑克牌的花色是红桃的概率＝．故答案为：．14．（3分）不等式组的解集是2＜x＜7．【答案】2＜x＜7．【解答】解：由2x+1＞6得，x＞2，由x﹣4＜8得，x＜7，所以不等式组的解集为2＜x＜8．故答案为：2＜x＜7．15．（3分）一个扇形的弧长是πcm，半径是3cm70.度．【答案】70．【解答】解：设扇形的圆心角的度数是n°，则，解得：n＝70，故答案为：70．16．（3分）某玩具汽车的功率P（单位：W）为定值，行驶速度v（单位：m/s）（单位：N）是反比例函数关系，它的图象如图所示20W．【答案】20．【解答】解：设v与F之间的函数关系式为v＝，把（10，2）代入v＝得，答：该玩具汽车的功率P＝20W，故答案为：20．17．（3分）定义新运算：a⊗b＝2ab﹣b2，则（3n）⊗（2n）的运算结果是8n2．【答案】8n2．【解答】解：∵a⊗b＝2ab﹣b2，∴（2n）⊗（2n）＝2×（5n）×（2n）﹣（2n）5＝2×3n×7n﹣4n2＝12n2﹣4n2＝8n2；故答案为：8n7．18．（3分）在△ABC中，∠A＝80°，点D在射线AB上，连接CD，∠BCD＝10°40或60度．【答案】40或60．【解答】解：如图1，∵∠A＝80°，AD＝AC，∴∠ADC＝∠ACD＝50°，∴∠ABC＝∠ADC﹣∠BCD＝50°﹣10°＝40°；如图2，∵∠A＝80°，AD＝AC，∴∠ADC＝∠ACD＝50°，∴∠ABC＝∠ADC+∠BCD＝50°+10°＝60°．故答案为：40或60．19．（3分）抛物线y＝x2﹣2x+c与y轴交于点C（0，﹣3），与x轴交于点A，B，则线段AB长是4．【答案】4．【解答】解：把（0，﹣3）代入y＝x5﹣2x+c，得c＝﹣3．令y＝x7﹣2x﹣3＝4．解得x1＝3，x7＝﹣1．∴A（﹣1，2），0）．∴AB＝3﹣（﹣8）＝4．故答案为：4．20．（3分）如图，▱ABCD中，对角线AC，过点O作BD的垂线，分别交BC，N，延长DC交直线MN于点E，延长BA交直线MN于点F，BE，有如下结论：①OA＝OC；②四边形BEDF是菱形；③若FA＝FN＝1，则OD＝；④若FA＝1，∠ABE＝60°，点P为EF上的一个动点．上述结论中，所有正确结论的序号是①②④．【答案】①②④．【解答】解：①∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，故结论①正确；②∵EF⊥BD，OB＝OD，∴EF是BD的垂直平分线，∴EB＝ED，FB＝FD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠FBO＝∠EDO，在△FBO和△EDO中，，∴△FBO≌△EDO（ASA），∴FB＝ED，∴EB＝ED＝FB＝FD，∴四边形BEDF是菱形，故结论②正确；③∵FA＝FN＝1，AB＝3，∴FB＝FA+AB＝2，∠FAN＝∠FNA，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠FAN＝∠FBM，∠FNA＝∠FMB，∴∠FBM＝∠FMB，∴FM＝FN＝4，在△OAN和△OCM中，，∴△OAN≌△OCM（ASA），∴OM＝ON，∴MN＝2ON，∴FM＝FN+MN＝4+2ON＝4，∴ON＝，∴OF＝FN+ON＝＝，在Rt△OBF中，OB＝＝＝，∴OD＝OB＝，故结论③不正确；④过点A作AH⊥BD于点H，连接PD∴△ABH和△ADH都是直角三角形，∵FA＝1，AB＝3，∴FB＝FA+AB＝2，∵四边形BEDF是菱形，∴EB＝ED＝FB＝FD＝4，∵∠ABE＝60°，∴△BEF是等边三角形，∴FE＝FB＝4，∠FBO＝，∴OE＝OF＝FE＝2，在Rt△OBF中，由勾股定理得：OB＝＝＝，∴OD＝OB＝，∴BD＝OD+OB＝，在Rt△ABH中，∠FBO＝30°，∴AH＝AB＝，由勾股定理得：BH＝＝＝，∴DH＝BD﹣BH＝＝，在Rt△ADH中，由勾股定理得：AD＝＝＝，∵EF是BD的垂直平分线，∴PB＝PD，∴PA+PB＝PA+PD，∴当PA+PD为最小时，PA+PB为最小，根据“两点之间线段最短”得：PA+PD≥AD＝，∴PA+PD的最小值为，∴PA+PB的最小值为，故结论④正确，综上所述：正确的结论是①②④．故答案为：①②④．21．（7分）先化简，再求代数式的值【答案】，．【解答】解：＝＝．当a＝2sin60°+3tan45°＝4×+4×1＝3+时，原式＝．22．（7分）如图，方格中每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，请用无刻度的直尺按下列要求画图．（1）在方格纸中，画出△ACD（点D在格点上），满足；（2）在△ABC的边BA上画出点E，使线段BE的长是3个单位长度（保留作图痕迹，体现作图过程），连接ED【答案】（1）△ACD．如图所示．（2）如图，点E即为所求．tan∠EDA＝．【解答】解：（1）△ACD．如图所示．（2）如图，点E即为所求．过点E作EH⊥AD于点H．∵AB＝＝5，BN＝6，∴＝＝＝，∴EH＝，AH＝，∴HN＝AN﹣AH＝4﹣＝，∴DH＝DN+HN＝1+＝，∴tan∠EDA＝＝＝．23．（8分）跳绳是一项集健身与娱乐为一体的体育活动，有利于学生的身心健康发展．颖立中学为了解全校学生60秒钟的跳绳次数，随机抽取部分学生进行测试A组学生跳绳次数（单位：次）如下：组别次数x（单位：次）频数A组60≤x＜100°9B组100≤x＜140mC组140≤x＜18012D组180≤x＜2203根据以上信息回答下列问题：（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？（2）A组学生跳绳次数的中位数是85，m的值是36；（3）若颖立中学共有1500名学生，估计该中学60秒钟的跳绳次数在100≤x＜140范围的学生有多少名．【答案】（1）60名；（2）85，36；（3）900名．【解答】解：（1）12÷20%＝60（名）．答：一共抽取60名学生．（2）A组学生跳绳次数的中位数85，m＝60﹣9﹣12﹣3＝36．故答案为：85，36；（3）（名）．答：估计该中学60秒钟的跳绳次数在100≤x＜140范围的学生有900名．24．（8分）已知：在正方形ABCD的内侧作等边三角形CDF，连接AF，BF．（1）如图①，求证△ADF≌△BCF；（2）如图②，过点C作CE⊥CF，交AF的延长线于点E，交AE于点M，连接BM，连接BD交CF于点G，在不添加任何辅助线的情况下（线段AF，BF除外）．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝BC．∠ADC＝∠BCD＝90°．∴△CDF是等边三角形，∵DF＝CF，∠FDC＝∠FCD＝60°．∴∠ADF＝∠BCF＝30°．∴△ADF≌△BCF（SAS）．（2）与线段BF相等的线段有BM，EM，BG，FN．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝BC．∠ADC＝∠BCD＝90°．∵△CDF是等边三角形，∴DF＝CF，∠FDC＝∠FCD＝60°．∴∠ADF＝∠BCF＝30°．∴△ADF≌△BCF（SAS）．（2）解：与线段BF相等的线段有BM，EM，FN，∵△CDF为等边三角形，∴∠FCD＝60°＝∠DFC＝∠FDC，CF＝CD＝CB＝DF＝DA，∴∠ADF＝∠BCF＝90°﹣60°＝30°，∴，∴∠CFE＝180°﹣∠AFD﹣∠DFC＝180°﹣75°﹣60°＝45°，∠FAB＝∠FBA＝90°﹣75°＝15°，∴∠ANB＝90°﹣15°＝75°＝∠CNM＝∠CBF，∠MFB＝15°+15°＝30°，∴BF＝FN，∵四边形ABCD是正方形，BD为对角线，∴∠CDB＝45°，∴∠CGD＝∠FGB＝180°﹣45°﹣60°＝75°＝∠GFB，∴BG＝BF，∵CE⊥CF，∠FCE＝90°，∴∠BCE＝∠FCE﹣∠BCF＝90°﹣30°＝60°，∠E＝180°﹣∠FCE﹣∠CFE＝180°﹣90°﹣45°＝45°＝∠CFE，∴CF＝CE，∵CM平分∠BCE，∴∠BCM＝∠ECM＝30°，∴∠CMN＝180°﹣75°﹣30°＝75°，∵CM＝CM，∴△BCM≌△ECM（SAS），∴BM＝EM，∠CMB＝∠CME＝180°﹣45°﹣30°＝105°，∴∠BMF＝105°﹣75°＝30°＝∠BFM，∴BF＝BM，∴BF＝BM＝BG＝FN＝EM．25．（10分）为了节能减排，晶扬工厂决定将照明灯换成节能灯．若购买4盏甲型节能灯和5盏乙型节能灯需用64元；若购买6盏甲型节能灯和2盏乙型节能灯需用52元．（1）求1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价各是多少元；（2）晶扬工厂决定购买以上两种型号的节能灯共50盏，总费用不超过360元，那么该工厂最少可以购买多少盏甲型节能灯？【答案】（1）1盏甲型节能灯的售价是6元，1盏乙型节能灯的售价是8元；（2）该工厂最少可以购买20盆甲型节能灯．【解答】解：（1）设1盏甲型节能灯的售价是x元，1盏乙型节能灯的售价是y元，根据题意得：，解得：．答：3盏甲型节能灯的售价是6元，1盏乙型节能灯的售价是5元；（2）设购买m盏甲型节能灯，则购买（50﹣m）盏乙型节能灯，根据题意得：6m+8（50﹣m）≤360，解得：m≥20，∴m的最小值为20．答：该工厂最少可以购买20盏甲型节能灯．26．（10分）已知：△ABC内接于⊙O，圆心O在△ABC的内部，CD为⊙O的直径，∠BCD+2∠ABD＝90°．（1）如图①，求证AB＝AC；（2）如图②，过点A作⊙O的切线，交BD的延长线于点P；（3）如图③，在（2）的条件下，PD＝3BD，连接OE交AC于点M，OE＝AB上一点，，连接CG，连接ON，∠EON＝2∠EDC，点F为的中点，AF，求△AEF的面积．【答案】（1）∵CD为⊙O的直径，∴∠CBD＝90°．设∠ABD＝α．∴∠ABC＝90°﹣α，∠ACD＝∠ABD＝α．∵∠BCD+2∠ABD＝90°，∴∠BCD＝90°﹣2α．∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝90°﹣α．∴∠ABC＝∠ACB．∴AB＝AC．（2）连接OA，OB，并延长AO交BC于点R．∵AB＝AC，OB＝OC，∴AO垂直平分BC．∴∠ARB＝90°，BR＝CR．∵AF是⊙O的切线，∴∠PAR＝90°．∵CD是⊙O的直径，∴∠CBD＝90°．∵四边形PARB是矩形，∴PA＝BR＝CR．∴BC＝2PA．（3）．【解答】（1）证明：∵CD为⊙O的直径，∴∠CBD＝90°．设∠ABD＝α．∴∠ABC＝90°﹣α，∠ACD＝∠ABD＝α．∵∠BCD+2∠ABD＝90°，∴∠BCD＝90°﹣2α．∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝90°﹣α．∴∠ABC＝∠ACB．∴AB＝AC．（2）证明：连接OA，OB，∵AB＝AC，OB＝OC，∴AO垂直平分BC．∴∠ARB＝90°，BR＝CR．∵AF是⊙O的切线，∴∠PAR＝90°．∵CD是⊙O的直径，∴∠CBD＝90°．∵四边形PARB是矩形，∴PA＝BR＝CR．∴BC＝5PA．（3）解：如图③，连接OF，并延长AO|交BC于点R．∵F为的中点，∴OF⊥AC，∵CD为⊙O的直径，∴∠DAC＝90°，∴OF∥AD，∴∠COF＝∠EDC，∠EON＝2∠EDC，∴∠AOC＝∠EON，∴∠AOM＝∠COM，∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠OAC，∵＝，∴∠ACO＝∠DCN，∴∠ACO＝∠OCN＝∠OAC，∴△AOM≌△CON（ASA），∴AM＝CN＝7，∵PD＝2DB，∴设BD＝x，则PD＝3x，∵四边形PARB是矩形，∴AB＝PB＝4x，∵OC＝OD，∴OR＝，OA＝OC＝x，∴CD＝2x，BC＝2PA＝4x，∴AD＝x，AB＝2x，∵OE＝AB，∴OE＝7x过点O作OH⊥AD于点H．∴．∴．∴．∴∠DEO＝30°．∴．∴．解得．∴OH＝14．∵OF∥AD，∴S△AEF＝S△OAE＝＝×7．27．（10分）已知：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线AB与y轴交于点A，点A的坐标为（0，7），点B的坐标为．（1）求直线AB的解析式；（2）如图①，C为x轴正半轴上一点，CD⊥AB于点D（点D不与点A重合），连接AC，设点C的横坐标为