2010高三数学高考一本通立体几何第一轮复习教案 棱柱

1、用心 爱心 专心棱柱考点注释了解多面体的概念，了解凸多面体的概念，了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画直棱柱的直观图，会解特殊棱柱的计算与证明问题。1、高考中，棱柱的出现概率较大，考查形式很灵活，既可在选择，填空中，又可在解答题中，考查内容通常借助其性质解决有关的位置关系及角、距离、面积、体积等。2、对于棱柱主要考查（1）棱柱性质的讨论：（2）面积及体积的计算：（3）以棱柱为载体进行有关角与距离的计算知识整合1棱柱的概念及性质（1）定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。棱柱是多面体中最简单的一种，对棱柱的概念应正确理

2、解，准确把握，它有两个本质特征：有两个面（底面）互相平行，其余各面（侧面）每相邻两个面的公共边（侧棱）都互相平行。因此，棱柱有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形。但是要注意“有两个面都是平行四边行，其余各面都是平行四边形的几何体”不一定是棱柱，如图的几何体有两个面平行，其余各面都是平行四边形，但不满足“每相邻两个侧面的公共边互相平行”，所以它不是棱柱。（2）棱柱的分类：按侧棱是否垂直于底面分为直棱柱和斜棱柱，在直棱柱中，若底面是正多边形，则为正棱柱。例如：正方体是正四棱柱，但正四棱柱不是正方体。按底面多边形的边数，棱柱可分为三棱柱，四棱柱，五棱柱，（3）棱柱的性质：侧棱都相等，侧面是平行四

3、边形，两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形。（4）特殊的四棱柱：一些特殊的四棱柱是本节研究的一个重点，为便于理解与掌握，我们把四棱柱与平行六面体及特殊的平行六面体之间的关系图示如下：（5）长方体的对角线有下面的性质长方体一条对角线的长的平方等于一个项点上三条棱的长的 长方体一条对角线与过同一个端点的三条棱成角为则 长方体一条对角线与过同一端点的三个面所成角则 16、棱柱的侧面积和体积S斜侧S1S2SnC直截面（为侧棱长），S直侧C底（C底指底面多边形的周长）。V直棱柱 ，V斜柱 （用直截面的有关几何量来表示）。基础再现1、设有四个命题：底面是矩形的平行

4、六面体是长方体；棱长相等的直四棱柱是正方体；有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体；对角线相等的平行六面体是直平行六面体。以上四个命题中，真命题的个数是（ ）A：1 B：2 C：3 D：42、长方体全面积为11，十二条棱长底的和为24，则长方体的一条对角线长为（ ）A： B： C：5 D：63、长方体ABCDA1B1C1D1中，AB3，BC2，BB11，则A到C1在长方体表面上的最短距离为（ ）A： B： C： D：4、长方体的一条对角线与两组平行的面所成的角都是30，则长方体的这条对角线与另一组平行的面所成的角是（ ）A：45 B：60 C：30 D：45或135例题精析例1、

5、在下面的四个命题中，正确的个数是（ ）1、有两个面互相平行，其余的面都是平行四边行的多面体叫棱柱。2、四个面是全等的等腰三角形的四面体叫正三棱锥。3、四个侧面都是矩形的四棱柱是长方体4、各棱都相等、不共面的任意两条棱都互相垂直的四棱柱是正方体A：1个 B：2个 C：3个 D：4个例2、如图所示，已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，A1B与对角面A1B1CD所成角为30，求证：此四棱柱为正方体。分析；本题的关键是证明正棱柱的底面边长等于侧棱长，故只需证B1BC为等腰直角三角形即可。例3、（1）如图若A1B1C1ABC是正三棱柱，D是AC的中点。证明：AB1平面DBC1假设AB1BC1，求以B

6、C1为棱，DBC1与CBC1为面的二面角的度数。评析；转化是数学的基本思想，本题中，证线面平行转化为线线平行，求二面角的大小转化为求平面角的大小，故要掌握这种转化思想。（2）已知正三棱ABCA1B1C1中，底面边长为10cm，高为12cm过底面一边AB作与底面ABC成60角的截面，求此截面面积。（3）过底面一边AB作与底面ABC成30角的截面，求此截面面积。例3、（1）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，底面边长ABAC2b，BC，AA1，且A1ACA1AB=60，求这个三棱柱的侧面积及体积。点拨本题应要求掌握求斜棱柱的侧面积的方法：其一可求各侧面面积之和；其二可利用公式S侧直截面周长侧棱长（

7、2）在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EFAB，EF，EF与面AC的距离为2，则该多面体的体积为（ ）A： B：5 C：6 D：（3）如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBCCC11，且ACBC，过C1作截面分别交AC、BC于E、F，且二面角C1EFC这60，则三棱锥C1EFC体积的最小值为（ ）A： B： C： D：例4、（2004年北京高考，16）如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB3，AA14，M为AA1的中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC1到M的最短路线长为，设这条最短路线与CC1的交点为N，求该三棱柱的侧面展开图的对角线长；PC和NC的

8、长；平面NMP与平面ABC所成二面角（锐角）的大小（用反三角函数表示）。分析本小题主要考查直线与平面的位置关系、棱柱等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。例5、（2003年福州市高考模拟题）斜三棱柱ABCA1B1C1中，侧面AA1C1C底面ABC， ABC90，BC2，AC，AA1A1C，AA1A1C。（1）求侧棱AA1与底面ABC所成角的大小；（2）求侧面AA1B1B与底面ABC所成二面角的大小；（3）求点C到侧面AA1B1B的距离。分析本题是研究斜棱柱中的有关问题，要充分挖掘题设中的隐含条件：面面垂直、线线垂直、线面垂直。利用垂直问题找出线面角和二面角的平面角；利用等积代换

9、或面面垂直求出点面距离。误区警示求线面角和二面角时，学生不指出这些角的形成过程而是直接解三角形，书写不规范。解题回顾利用直线与平面所成的角的定义，二面角的平面角的定义找出所要求的角，用面的平行线把要求的点到面的距离转化到平面的垂面上的点到平面的距离，是求点到面距离的常用方法，利用三棱锥的体积代换也是求点面距离的常用方法。精采小结1、准确判断一个棱柱是某种特殊棱柱的具体要求是：（1）概念要正确掌握和运用：（2）要对特殊棱柱的基本特征和性质熟练掌握；（3）要善于利用反例否定有关的结论。2、对于直棱柱、正棱柱中的特殊线（如高、侧棱、对角线等）的性质应熟悉并掌握，从几何体中的线面平行或垂直关系中找出其

10、它平行或垂直关系及空间的角和距离。3、平行六面体是一类特殊的棱柱，我们要特别注意它的分类以及各自的特征：侧棱垂直于底面的平行六面体是直平行六面体，底面是矩形的直平行六面体是长方休，底面是正方形的长方体是正四棱柱，高和底边长相等的正四棱柱或棱长都相等的长方体是正方体，另外，长方体是研究问题时经常用的几何体，它有许多重要的性质和结论，学习时要引起重视。随堂巩固1、下列命题中，真命题的个数是（ ）（1）正棱柱的棱长都相等；（2）直棱柱的侧棱就是直棱柱的高；（3）直棱柱的侧面是矩形；（4）有一个侧面是矩形的棱柱是直棱柱；（5）有一条侧棱垂直于底面的棱柱是直棱柱。A：2个 B：3个 C：4个 D：5个2

11、、长方体的高等于h, 底面积等于S，过相对侧棱的截面面积为S1，则长方体的侧面积为（ ）A B C D3、（2004，北京春季高考）两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为5cm，4cm，3cm，把它们重叠在一起组成一个新长方体，在这些新长方体中，最长的对角线的长底是（ ）A：cm B：7cm C：5cm D：10cm4、如图，已知多面体ABCDEFG中，AB、AC、AD两两互相垂直，平面ABC / 平面DEFG，平面DEF 平面ADGC，ABADDG2，ACEF1，则该多面体的体积为（ ）A：2 B：4 C：6 D：85、斜三棱柱的一个侧面面积为S，另一条侧棱到这个侧面的距离为a，则这三个棱柱

12、的体积是（ ）：a ：a ：a ：a6、斜三棱柱A1B1C1ABC中，各棱长为a，A1BA1Ca，则该棱柱的侧面积和体积分别为（ ）A：（）a 2, a3 B：() a2，a3 C：() a2，a3 D：() a2，a3 7、平行六面体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是菱形，BAD60，对角面BB1D1D是边长为a 的正方形，且B1BC60，此平行六面体的高为 。8、如右图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，当底面四边形ABCD满足条件 时，有A1CB1D1（注：填上你认为正确的一种条件即可）9、一个正本棱柱形容器ABCA1B1C1，以三角形ABC为底面成水平放置，其高为2a ,内盛

13、水若干，水面高度为,若将此容器放倒，使它的一个侧面为底面成水平放置，这时水面恰为中截面，则 。10、在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，已知对角线A1C4，BD12，若空间一点P使PA13，PC5，则PB2PD12 。11、（1）已知斜三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面成60角，底面是边长为a的正三角形，侧面BB1C1C是菱形且与底面垂直求侧棱AA1与侧面BB1C1C间的距离 求证：AB1BC（2）如图所示，已知在斜平行六面体ABCDA1B1C1D1中，ABAD，A1ABA1ADBAD求证：平面B1D1DB平面A1C1CA当A1B1，且直线A1A到平面B1D1DB间的距离为1时，求BAD

14、12、（1）如图，将长ADa，宽ABa 的长方形ABCD沿痕折成一个正三棱柱的三个侧面，则原对角线AC成了绕在三棱柱面上的折线段，求此折线段相邻两段所成的角。（2）如图所示，斜三棱柱ABCA1B1C1的底面为直角三角形，ACB90，BC2，B1在下底面上的射影为D，DBC，且D为BC的中点，侧棱BB1和底面成60角，侧面AA1B1B和侧面CC1B1B成30角，求这个三棱柱的侧面积和体积。13、如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AA12a，ABa ,点D是AC之中点。（1）求证：平面A1BD平面AA1C1C；（2）求二面角BA1C1D的平面角的正切值（3）若AB1A1BE，求四面体C1BED

15、的体积。14、如图，M、N、P分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱AB、BC、DD1上的点（1）若，求证：无论点P在D1D上如何移动，总有BPMN （2）若D1P:PD1:2，且PB平面B1MN，求二面角MB1NB的大小（3）在棱DD1上是否存在这样的点P，使得平面APC1平面ACC1？证明你的结论。 综合创新（2004年上海春季高考题）如图623所示，点P为斜三棱柱ABCA1B1C1的侧棱BB1上一点，PMBB1交AA1于点M，PNBB1交CC1于点N（1）求证CC1MN（2）在任意DEF中有余弦定理：DE2DF2EF22DFEFcosDFE，拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱

16、柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明。棱锥考点诠释了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质，会画正棱锥的直观图。1、高考中棱锥与棱柱一样出题概率较大，形式较灵活，尤其棱锥注意等积法的灵活运用，对五种正多面体，重点掌握正四面体和正六面体，它们是高考中常考模型。2、简单的几何体中求锥体的侧面积、体积的体形还会出现，等积变换、割补思想的应用仍将有所体现，关于棱锥可能与代数、三角、空间向量进行综合，出现综合性问题。以棱锥为载体考查点、线、面的位置关系，或求空间角、距离和面积、体积，也有可能会利用不等式或导数研究最值问题。知识整合1、棱锥的概念及性质（1）棱锥的定义：有一个面是多边

17、形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫棱锥，棱锥是多面体中重要的一种，它有两个本质特征：有一个面是多边形；其余的各面是有一个公共顶点的三角形，二者缺一不可，因此棱锥有一个面是多边形，其余各面都是三角形。但是要注意“有一个面是多边形，其余各面都是三角形”的几何体未必是棱锥，如图，此多面体底面是四边形，其余各面都是三角形，但它不是棱锥。一个棱锥至少有四个面，所以三棱锥也叫四面体。（2）正棱锥的概念如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面上的射影是底面的中心，这样的棱锥叫正棱锥。判断一棱锥是否是正棱锥必须满足下面两个条件：一是底面是正多边形，二是顶点在底面上的射影必须是底

18、面正多边形的中心，这也是掌握正棱锥定义的两个要点。（3）正棱锥的性质：各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等，它叫做正棱锥的斜高。由此可知，正棱锥的各侧面都是等腰三角形，但“各侧面都是全等的等腰三角形”的棱锥不一定是正棱锥。如图三棱锥SABC中，可令SASBBCAC，SCAB，且SBAB，则此三棱锥的各侧面为全等三角形，但它不是正三棱锥。棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形。除此两个直角三角形外，正棱锥的底面半径，边心距和半边长也组成一个直角三角形。这三个直角三角形称为棱锥中的特征三角形，有好多

19、立体问题都是转化到平面中的这三个直角三角形中去处理，如有关侧棱与底面、侧面与底面所成二面角的计算，有关侧棱、斜高、底面边长的计算等，要熟练掌握。（4）一般棱锥的性质定理：定理：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么截面和底面相似，并且它们面积的比等于截得的棱锥的高和原棱锥的高的平方比。一般棱锥的重要性质定理应用很广泛，其结论还可加以引申：截面面积与底面面积的比等于截得的小棱锥与原棱锥的侧棱长的平方比；截得的小棱锥的侧面积与原棱锥的侧面积之比，也等于截得的小棱锥的棱长与原来棱锥对应棱长的平方比，也等于截面面积与底面积之比等等。（5）棱锥的侧面积和体积公式侧面积：S侧S1S2Sn(n棱锥)；正棱锥的

20、侧面积S侧C底h1，其中C底是底面的 ，h1是 体积；V锥 基础再现1、一个四棱锥是正四棱锥的充分不必要条件是（ ）A：各侧面与底面成相等的二面角B：各侧面都是等腰三角形，且底面是正方形C；各侧面是正三角形D：各侧棱与底面成相等的角2、正六棱锥底面边长为a，体积为，那么侧棱与底面所成的角等于（ ）A： B： C： D：3、一个正四棱锥的中截面面积是Q，正四棱锥的底面边长是（ ）A： B： C： D：24、正四面体ABCD中，ABa，相邻两面所成二面角的大小是_；AB与底面BCD所成的角是 ；若顶点A在底面BCD内的射影为O，则OB ，OA ，正四面体的体积为 。例题精析例1、（1）有四个命题：

21、各侧面是全等的等腰三角形的四棱锥是正四棱锥；底面是正多边形的棱锥是正棱锥；棱锥的所有面可能都是直角三角形；四棱锥中侧面最多有四个直角三角形，正确的命题有 。（2）已知正四面体PABC的棱长为4，用一平行于底面的平面截此四面体，所得截面面积为，求截面与底面之间的距离。分析：因截面平行于底面，可以考虑用棱锥的平行于底面的截面面积与底面面积之比等于截得的棱锥与原棱锥的对应边之比的平方来解。评注：由棱锥平行平底面的截面性质进一步可得截面面积与底面积之比等于截得棱锥与原棱锥的对应边长的平方比等，只要是边相对应即可。例2、（1）如图所示，在三棱锥DABC中，DA平面ABC，ACB90，ABD30，ACBC

22、，求异面直线AB与CD所成的角的余弦值。【思路分析】本题是以棱锥为背景考查异面直线所成的角，求异面直线所成的角抓平移，化为平面内的角，利用正弦、余弦定理求解。也可以补体、构造成长方体，然后求解。【解题回顾】（1）求异面直线所成角常要作出所成角的平面图形，作法有：平移法；在异面直线中的一条直线上选择“特殊点”，作另一条直线的平行线，如解法一，或利用中位线，如解法二。补形法：把空间图形补成熟悉的几何体，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系，如解法三。（2）解立体几何计算题要先作出所求的角，并要有严格的推理论证过程，还要合理的计算步骤，例如解法三把等腰三角形转化为直角三角形使得计算简单。（2）已知

23、正四棱锥PABCD的侧面与底面所成的角为，相邻侧面所成的角为 求证：分析：可将，用正四棱锥中的某些三角形的内角来表示，再利用解三角形求出 评注：解决这类问题的关键是要掌握正棱锥的性质及各无素间的关系，用好正棱锥的有关特征直角三角形。例3、（1）如图，在三棱锥PABC中，PA、PB、PC两两所成角都为60，PAa，PBb，PCc，求三棱锥PABC的体积。【思路分析】由条件APBAPC60，可以得到顶点A在底面ABC上的射影H应在BPC的平分线上，但这个结论一定要先证明才能使用。【解题回顾】（1）把A、B、C中任一个点作为顶点（其余三点构成的三角形作为底面）是解题的关键，这说明改变几何体的放置方式

24、或改变对几何体的观察角度在解题中是十分重要的（2）当a=b=c时得到正四面体的体积是（3）若在PA、PB、PC上各任取一点M、N、R，设PMm，PNn，PRr,则容易证明，这一结论与PA、PB、PC成多大的角度无关。（2）四棱锥PABCD中，侧面PDC是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是面积为的菱形，ADC为菱形的锐角。求证：PACD；求二面角PABD的度数；求棱锥PABCD的侧面积。例4、（2004年天津高考，19）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底在ABCD，PDDC，E是PC的中点，作EF PB交PB于点F证明：PA平面EDB证明：PB平面EFD求

25、二面角CPBD的大小。【思路分析】本小题考查直线与平面平行、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查空间相象能力和推理论证能力。例5、如图所示，在正三棱锥S-ABC中，过底面顶点B 和侧棱SA、SC上的E、F点做一截面BEF和侧面SAC的垂直（1）若E、F分别为SA、SC中点时，求此三棱锥的侧面积与底面积之比（2）若AB =8，斜高h1=，求截面BEF的面积。分析：计算面积时，离不开计算对应底边上的高，尤其是斜高，底面三角形的高和截面三角形的高，相互间的关系，这种关系应通过直截面来体现。评注：在本题的图形条件下，可进一步思考，若求BEF分三棱锥所成的两个多面体的体积比是多少？若截面BEF与侧面S

26、AC所成角为时，这类问题的如何解？精彩小结1、深刻理解棱锥、正棱锥的定义及性质，平行于棱锥底面的截面性质，是解决有关棱锥问题的基础，判断一个棱锥是否为正棱锥的条件是：（1）底面是正多边形；（2）顶点在底面上的射影为底面多边形的中心，两者缺一不可。2、充分利用正棱锥中的三个“特征直角三角形”，把空图形转化为平面图形，是解决正棱锥有关问题的基础，3、几个重要结论：（1）棱锥的侧棱均相等，则顶点在底面上的射影是底面多边形的外心；棱锥的各侧面与底面所成的二面角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的内心；如果三棱锥的三条侧棱两两垂直，那么顶点在底面上的射影是底面三角形的垂心。（2）由正棱锥的定义以及

27、三角形全等，我们不难得到正棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等，侧棱与底面所成的角都相等，相邻两侧面所成的二面角也相等。4、三棱锥的等（体）积变换是解决点到面的距离的常见方法之一，同时也是使计算简化的灵活手法；“割”“补”是解决体积问题常用技巧，正棱锥的四个“特征”直角三角形，是将“空间问题”转化为“平面问题”的桥梁。随堂巩固一、选择题1、具有下列性质的三棱锥中，哪一个是正棱锥（ ）A：顶点在底面上的射影到底面各顶点的距离相等B：底面是正三角形，且侧面都是等腰三角形C：相邻两条侧棱的夹角相等D：三条侧棱相等，侧面与底面所成的角也相等2、两个平行于底面截面将棱锥的侧面积分成三个相等的部分，则两截面

28、将棱锥的高分成的三段（自上而下）之比是（ ）A、1: : B、1:（） : C、1: （）: D、1: （）: 3、例如某平行六面体各棱长均为4，在由顶点P出发的三条棱上分别截面取PA=1、PB2、PC3，则三棱锥PABC的体积是原平行六面体体积的（ ）A、 B、 C、 D、4、如图所示，已知三棱柱ABCA1B1C1的体积为V、P、Q、R分别是侧棱AA1、BB1、CC1、上的点且AP+CR=AA，则四棱锥QACRP的体积为（ ）A、 B、 C、 D、5、如图所示，已知三棱柱ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点，EFDE，且BC=1，则正三棱锥ABCD的体积是（ ）A、 B、 C、 D、6、

29、如图所示，E、F、M、N是正方体的四个顶点，记d1为E到面FMN有距离；d2为F到面EMN的距离，d3为M到面EFN的距离，那么d1 、d2 、d3的大小关系为（ ）A、d1d2d3 B、d2d3d1 C、d2d1d3 D、d3d2d1二、填空题7、三棱锥的各个侧面与底面都成60的二面角，底面三角形的边长是7cm、8cm、和9cm，那么这个三棱锥的体积是 cm3。8、在正四棱锥内有一内接正方体，这正方体的四个顶点在棱锥的侧棱上，另四个顶点在棱锥底面内，若棱锥底面边长为a，高为h，则内接正方体的棱长为 。9、（2001年武汉重点中学联考）在三锥SABC中，下面能使顶点S在底面内的射影是底面三角形

30、外心的条件是： （把你认为正确的都填上）。侧棱与底面所成的角相等；侧面与底面所成的角相等；侧棱两两相垂直；侧棱满足SA2+SB2+SC2=SASB+ SBSC+ SCSA10、若三棱锥PABC中过点P的三条侧棱两两垂直，长都是a，则底面上任一点到三侧面的距离之和为 ；正四面体ABCD的棱长为a，体内任一点P到四个侧面的距离分别d1、d2、d3、d4，则d1d2d3d4 三、解答题11、（1）棱锥的底面是正方形，一条侧棱垂直于底面，不通过此棱的一个侧面与底面所成的二面角为45，且最长的侧棱为15cm，求棱锥的高。（2）已知四棱锥VABCD的高为h，底面为菱形，侧面VDA 和侧面CDV所成的角为120，且都垂直于底面，另两侧面与底面所成的角为45，求棱锥的全面积。12、（1）在如图所示的三棱锥PABC中